通关练35 离散型随机变量及其分布列、数字特征-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第三册)

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一、单选题
1．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知随机变量的分布列为
则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东深圳·高二校考期中）随机变量的分布列如下，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考期中）随机变量的分布列如表：则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期末）随机变量的分布列如下表所示：
则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
5．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）设，随机变量的分布是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已如两个离散型随机变量，，满足，的分布列如下：
当时，（ ）
A．B．C．D．5
8．（2023春·山西太原·高二统考期中）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A．B．C．D．1
9．（2023春·福建漳州·高二校考期中）已知随机变量服从正态分布，则与的值分别为（ ）
A．13 18B．13 6C．7 18D．7 6
10．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知随机变量（i＝1，2）的分布列如表所示：
其中，若，且，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
11．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性（都没有被感染）则只要检验1次，如果检验结果为阳性（至少有1人被感染），就要再全部进行单管检验．设10名人员都未被感染的概率为p，若对这10名人员采用10合一混管检验，总检验次数为，则的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）一个质点从数轴上的原点出发，每一秒等可能地向前或向后移动1个单位，设第n秒末质点所在位置对应的数为随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量为空盒的个数，下列说法正确的是（ ）
A．随机变量的取值为B．
C．D．
15．（2023春·广东深圳·高二校考期中）将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球．采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止．记总抽取次数为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．已知从甲袋第一次就取到了黑球，则的概率为
C．
D．若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，记总抽取次数为，则
16．（2023秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考期末）一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为，则（ ）
A．抛掷一次，“漂亮”的概率为
B．＝2时，“漂亮”的次数必为8
C．E()＝－10
D．
三、填空题
17．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）设X是一个离散随机变量，其分布列为：
则实数q的值为______.
18．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________
19．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.
20．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节．若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是______________．（用既约分数作答）
21．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）已知，则______.
22．（2023·上海·统考模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.
四、解答题
23．（2023春·山西太原·高二统考期中）在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前三道题，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第四道题，答对和答错的概率均为.
(1)求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；
(2)设该同学在本次考试中，填空题的总得分为，求的分布列及均值.
24．（2023春·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考期中）彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
25．（2023春·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动.一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一对含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，每道题都是甲先回答，且两人每道题目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.
(1)求第一队答对第1题的概率；
(2)记为第一队获得的总分，求随机变量的分布列和数学期望.
26．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数的分布列、数学期望和方差.
27．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）甲、乙两人参加两个项目的对抗赛，每一个项目的对抗赛均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），且每个项目每一局都没有平局．按以往两人比赛结果的统计估计，甲在项目A中每一局获胜的概率为，在项目B中每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1)分别求甲在项目A、项目B中获胜的概率；
(2)设甲获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
28．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）“东方味王”餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一套新产品．该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废．公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），假设该新产品每日销量相互独立，得到如下的柱状图：
(1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
(2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份，28百份两种方案中应选择哪种？
29．（2023春·江苏苏州·高二校联考期中）从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，
(1)至少选到1名女生的的方法有多少种?
(2)设随机变量X表示所选2人中女生的人数，求X的分布列及期望、方差.
30．（2023春·山西太原·高二统考期中）在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前两道题，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为.
(1)求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；
(2)设该同学在本次考试中，填空题的总得分为，求的分布列及均值.
31．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）某一部件由4个电子元件按如图方式连接而成，4个元件同时正常工作时，该部件正常工作，若有元件损坏则部件不能正常工作，每个元件损坏的概率为，且各个元件能否正常工作相互独立.
(1)当时，求该部件正常工作的概率；
(2)使用该部件之前需要对其进行检测，有以下2种检测方案：
方案甲：将每个元件拆下来，逐个检测其是否损坏，即需要检测4次；
方案乙：先将该部件进行一次检测，如果正常工作则检测停止，若该部件不能正常工作则需逐个检测每个元件；
进行一次检测需要花费a元.
①求方案乙的平均检测费用；
②若选方案乙检测更划算，求p的取值范围.
32．（2023秋·山西·高三校联考期末）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”（）混检方式共需检测X次．
(1)求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)已知当时，．若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？
33．（2023·全国·高三专题练习）袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；
(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；
(3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
0
1
0
1
2
1
2
3
1
2
3
4
0.1
0.3
0
1
2
P
a
b
0
p
X
－1
0
1
P
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.1