通关练33 二项式定理-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第三册)

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一、单选题
1．（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）的展开式的第3项为（ ）
A．60B．－120C．D．
【答案】C
【分析】利用二项展开式通项公式即可求得该展开式的第3项.
【详解】的展开式的第3项为
故选：C
2．（2023春·贵州毕节·高二校考期中）的展开式中，常数项为（ ）
A．1365B．3003C．5005D．6435
【答案】C
【分析】求出给定的二项式展开式的通项公式，再确定常数项的参数值即可计算作答.
【详解】二项式展开式的通项，
由得，此时，
所以所求常数项为5005.
故选：C
3．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的二项式展开式中，的系数为（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理展开计算即可.
【详解】设的二项式展开式通项为，
即：，令，则，故的系数为.
故选:B
4．（2023春·河南焦作·高二统考期中）的展开式中的系数是（ ）
A．20B．C．10D．
【答案】D
【分析】先把二项式分为三部分，分别求每个二项式展开式中的系数计算即可.
【详解】因为,
展开式中的项是,
则展开式中的系数是.
故选:D.
5．（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7.则展开式中的的系数最小为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】由题意可得 ，求得最大为 12，展开式中的的系数为，由此可求得展开式中的的系数的最小值.
【详解】由题意可得 , , 故最大为 12 , 此时, 、一个为 3 , 另一个为 4 .
展开式中 的系数为
.
故选：B.
6．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若，则 （ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】由已知展开式，利用二项式定理对等号右边进行化简，与等号左边组成方程求解.
【详解】
则，即.
故选：B
7．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）若，则（ ）
A．45B．120C．D．
【答案】D
【分析】将展开，即可得出展开式中含有的系数，计算即可得出答案.
【详解】，
展开式中含有的系数为
.
故选：D.
8．（2023春·江西吉安·高二校考期中）已知的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（ ）
A．-70B．-40C．40D．70
【答案】D
【分析】先有，求得，再由通项公式求常数项.
【详解】依题意可得，所以，
则展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中常数项为.
故选：D
9．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（ ）
A．B．
C．数列的前n项和为D．数列的前n项和为
【答案】A
【分析】确定，计算，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.
【详解】.
对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：当时，，错误；
对选项D：当时，，错误；
故选：A
二、多选题
10．（2023春·浙江·高二期中）已知的二项展开式各项系数和为32，则下列说法正确的是（ ）
A．B．含的项系数为90
C．第3项的二项式系数为10D．常数项为1
【答案】AC
【分析】用赋值法判断A；根据二项式系数的定义判断C；根据二项式的展开式的公式判断B，D.
【详解】解：对于A，将代入得，解得，故正确；
对于B，因为，所以的展开式中第项为：，
所以当时，，故错误；
对于C，当时，，故正确；
对于D，当时，，即常数项为-1，故错误.
故选：AC.
11．（2023春·广东梅州·高二统考期中）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中所有项的二项式系数的和为
【答案】ABD
【分析】采用赋值法，分别令和可以判断选项A、C；根据二项式展开式的通项求得x的系数，可以判断选项B；直接由展开式中所有项的二项式系数的和的知识就可以判断选项D.
【详解】令，得，所以A正确；
展开式的通项为，
令，得，所以B正确；
令，得，又，
所以，所以C不正确；
展开式中所有项的二项式系数的和为，所以D正确.
故选：ABD.
12．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和相等均为64，则下列结论正确的是（ ）
A．B．二项式系数最大的项为第3项
C．有理项有3项D．系数最小项为第2项
【答案】AD
【分析】先根据各项系数和与二项式系数和均为64求出，利用通项公式结合选项可得答案.
【详解】因为各项系数和与二项式系数和相等均为64，所以且；
解得，或（舍），所以A正确；
因为，所以二项式系数中最大，即二项式系数最大的项为第4项，所以B不正确；
通项公式为，其中；
当时为有理项，所以C不正确；
由通项公式可知时，系数才可能最小，
，
，
，
比较发现系数最小项为第2项，所以D正确.
故选：AD.
13．（2023春·重庆南岸·高二校考期中）已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．展开式中二项式系数最大的项为第5项
C．展开式中有2项有理项D．展开式中含项的系数为112
【答案】BD
【分析】由题意，得，可判断A；由二项式系数的性质可判断B；利用展开式的通项可判断C，D.
【详解】的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则，得，故A错误；
二项式的展开式有9项，由二项式系数的性质可知，二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
的展开式的通项为，
令，即，则展开式中有理项有5项，故C错误；
令，即，，即含项的系数为112，故D正确.
故选：BD.
14．（2023春·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考期中）二项式的展开式中第项是常数项，则（ ）
A．B．
C．二项式系数最大的项为第项D．系数最小的项为第项
【答案】ACD
【分析】由二项式定理可得，由指数部分为0可得的值，根据二项式系数的性质可判断CD.
【详解】二项式的展开式中第项，
令，得，即A正确，B错误；
因为展开式的项共有项，故第项的二项式系数最大，故C正确；
则展开式的通项为，
因为展开式的系数为，第项的系数为负数，且其绝对值最大，
所以系数最小的项为第项．
故选：ACD．
15．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知，则（ ）
A．B．
C．展开式中所有二项式系数的和为1024D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值，分别求ABD；再利用二项式系数和公式，判断B.
【详解】A.令时，，故A正确；
B.令，，
所以，故B错误；
C. 展开式中所有二项式系数的和为,故C正确；
D.令，，
令，，
两式相加得，
所以，故D正确.
故选：ACD
16．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知，下列命题中，正确的有（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为D．
【答案】ABC
【分析】根据二项式系数的和即可判断A；分别令，即可判断B、C；令即可判断D．
【详解】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，，故B正确；
对于C，令，则，
两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
所以，故D错误．
故选：ABC．
17．（2023春·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．常数项为第三项
B．展开式的二项式系数和为729
C．展开式系数最大项为第三项
D．展开式中系数最大项的系数为240
【答案】CD
【分析】写出的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断A，求出展开式的二项式系数和可判断B，解出不等式组可判断CD.
【详解】的二项展开式的通项为，
令得，所以常数项为第四项，故A错误；
展开式的二项式系数和为，故B错误；
由可得，所以，
所以展开式系数最大项为第三项，展开式中系数最大项的系数为，故C、D正确；
故选：CD.
18．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项
B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中的常数项是
D．展开式中的奇数项的二项式系数之和为32
【答案】BD
【分析】根据二项式展开式的项数判断A；根据二项式系数和性质可判断B，D；根据二项式通项公式求得常数项判断C.
【详解】因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A错误；
令，则展开式中各项系数之和为1，故B正确；
的通项为，
令，得，故展开式中的常数项为，故C错误；
展开式中奇数项的的二项式系数之和为，故D正确.
故选：BD
三、填空题
19．（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）设,且,若能被整除,则__________.
【答案】1
【分析】由,利用二项展开式可知只需能被整除整除即可,由的范围即可得到结果.
【详解】,
要使能被整除,
则能被整除,
又,,
,解得.
故答案为:.
20．（2023春·浙江·高二期中）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.
【答案】
【分析】根据数字之间的关系找到规律，然后进行求解即可.
【详解】因为从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，
所以可以判断从第三个数开始，每个数是它前两个数的和，
所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，
因此第10条斜线上，各数之和为，
故答案为：
21．（2023春·山西·高二统考期中）除以所得的余数为__________.
【答案】
【分析】由二项式定可得，即可得出结论.
【详解】因为，则
，
因为能被整除，
因此，除以所得的余数为.
故答案为：.
22．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）的展开式中的系数是__________.
【答案】14
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】的展开式的通项为，
令，则，
令，则，
故的系数是.
故答案为：14.
23．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第______行．
【答案】
【分析】设这一行为第行，且这三个数分别为、、，利用组合数公式可得出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】由题意可知，这一行为第行，且这三个数分别为、、，
由题意可得，解得，
因此，这一行是第行.
故答案为：.
24．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则的展开式中项的系数为__________.
【答案】
【分析】由已知求出.进而得出的展开式中含有的项为，然后根据二项式系数的性质求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以.
的展开式的通项为
，，，且，
展开式中含有的项为，
所以，的展开式中项的系数为
.
故答案为：.
25．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）若，且，则的展开式中二项式系数最大的项的系数是________．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据给定条件，求出二项式的展开式的通项并求出n，再求出展开式中二项式系数最大的项的系数作答.
【详解】二项式展开式的通项为，
于是，整理得，而，解得，
所以展开式中二项式系数最大的项是第5项，
所以的展开式中二项式系数最大的项的系数是.
故答案为：
26．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）展开式中的系数为__________.
【答案】
【分析】表示个因式的乘积，分类讨论即可得出答案.
【详解】表示个因式的乘积，
的项可以是：从个因式中选个提供，个提供，个提供，
此时的系数为，
的项也可以是：从个因式中选个提供，个提供，个提供，
此时的系数为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
27．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）对任意实数有，则__________；__________.
【答案】 6 27
【分析】将展开，即可得出各项的系数，然后得出答案.
【详解】因为，
将该式展开可得，.
所以，，.
故答案为：6；27.
28．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考期中）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则____________；并且所有项的系数之和为，则含项的系数为____________（用数字作答）．
【答案】 10
【分析】由二项式定理与赋值法求解，
【详解】由题意得是唯一的最大值，故，
而所有项系数和为0，令得，得，
则，令，得，
故项的系数为，
故答案为：10；-120
四、解答题
29．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）（1）证明：能被整除；
（2）求的近似值（精确到0.001）.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用二项式展开式证明即可；
（2）构造二项式展开式进行求解即可.
【详解】（1）证明：因为
所以能被整除；
（2）
30．（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）已知，其中．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
【答案】(1)9
(2)19682
【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解；
（2）利用赋值法，令求得所有项的系数和，再令得到，即可得出答案.
【详解】（1）二项式的展开式的通项公式为，
又，则令得：，解得：，
所以的值为.
（2）由（1）得：，
令得：，
令得：，
则.
31．（2023春·山西太原·高二统考期中）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.
(1)求的值；
(2)若展开式中的常数项为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二项式系数的定义及组合数计算即可；
（2）设二项式的展开式通项，待定系数计算即可.
【详解】（1）因为前三项的二项式系数之和等于79，所以，
解得或.因为，所以.
（2）设的通项为，
所以当时，，
此时，常数项为，解得.
32．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）在（n为正整数）二项展开式中，若，求：
(1)展开式中所有项的系数之和；
(2)展开式中含的项的系数.
【答案】(1)729
(2)240
【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得，再令，求所有项的系数之和；
（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得，可得，
故二项式为，
令，可得，
所以展开式中所有项的系数之和为729.
（2）设的通项为，
令时，则，此时，
故展开式中含的项的系数为240.
33．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)7
(2)；
【分析】（1）根据条件求接建立等式，再利用组合数公式即可求出结果；
（2）利用二项展开式的通项公式，通过的取值即可得到结果.
【详解】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
所以，得到，整理得，即，
又因为，，所以的值为7.
（2）当时，展开式的第项为，其中，，
当，即，时，得到展开式中的有理项，
当时，，当时，，所以展开式中所有的有理项为，.
34．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）在的展开式中，含项的系数是.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)2
(2)0
【分析】（1）利用的展开式与的展开式即可求得的值；
（2）利用赋值法分别求得，的值，进而求得的值.
【详解】（1）由，
可得在的展开式中含的项是由
的展开式中含项与的展开式中含项合并得到的，
则
（2）由（1）得，，
令，则
令，则
则，
则.
35．（2023春·山西·高二统考期中）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①展开式中第4项与第7项的二项式系数相等；②偶数项的二项式系数和为256；③前三项的二项式系数之和为46.
已知在的展开式中，__________.
(1)求含项的系数；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】(1)-144
(2)
【分析】（1）若选填条件①②，由二项式系数的性质可得；若选填条件③，由组合数的计算可得.结合二项式展开式的通项公式计算即可求解；
（2）由（1），设第项系数绝对值最大，则，利用组合数的计算公式可解得，求解r即可求解.
【详解】（1）若选填条件①，，由二项式系数的性质可得，；
若选填条件②，偶数项的二项式系数和为256，即，可得，；
若选填条件③，，
即，解得或，因为，所以
二项式展开式的通项：.
由，得.
展开式中含项的系数为.
（2）假设第项系数绝对值最大，则，
所以，
所以，因为，所以，
所以展开式中系数绝对值最大的项为.
36．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知，.
(1)若的展开式中，二项式系数之和是，求展开式中的第项；
(2)若的展开式中，二项式系数最大的项仅是第项，求展开式中的常数项
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项式系数和求出的值，然后利用二项展开式通项可求得展开式中的第项；
（2）由二项式系数的基本性质可求得的值，然后写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】（1）解：若的展开式中，二项式系数之和是，则，可得，
所以，的展开式中的第项为.
（2）解：若的展开式中，二项式系数最大的项仅是第项，则，可得，
所以，，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，，其中、，
令可得，则，
因此，展开式中的常数项为.
37．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）对于的展开式，若所有二项式系数的和为512
(1)求n；
(2)展开式的常数项是第几项；
(3)求展开式有多少个有理项？并写出升幂排列的第二个有理项.
【答案】(1)9
(2)第7项
(3)5个，
【分析】（1）直接利用二项展开式的二项系数和即可求得结果；
（2）利用二项展开式通项公式，即可求出常数项为第七项；
（3）先利用二项展开式通项公式，再由，得出结果.
【详解】（1）由已知得，所以.
（2）因为的展开式的通项为：，其中，
由，得，即时为常数项，常数项为第7项.
（3）由二项展开式的通项公式，
当或2或4或6或8时，展开式的项为有理项，共5个，
升幂排列的第二个有理项为.
38．（2023春·河南洛阳·高二统考期中）已知二项式.
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式的第8项；
(2)若展开式中前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，列出关于的方程，再根据组合数的计算公式求出，再根据展开式的通项即可的解；
（2）根据展开式中前三项的二项式系数的和等于79，结合组合数的计算公式求出，再根据二项式系数的性质可得出答案.
【详解】（1）因为展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，
所以，且，
即，
解得或，
当时，，
当时，；
（2）展开式中前三项的二项式系数的和等于79，即，
所以，解得或（舍去），
所以展开式中第项的二项式系数最大，
.