通关练26 奇偶及正负相间求和-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第二册)

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一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知数列满足，，则数列前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，当为偶数时，，利用并项求和法可求得结果.
【详解】由题意可知，当为偶数时，，
因此，数列前项和为.
故选：D.
2．（2022秋·广东珠海·高二统考期末）已知数列的通项公式是，则（ ）
A．10100B．-10100C．5052D．-5052
【答案】D
【分析】根据已知条件，用并项求和法即可求得结果.
【详解】∵
∴
∴
.
故选：D.
3．（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．0B．50C．100D．2525
【答案】B
【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到，再分组求和；
法二：先利用求出，又易知，从而得到为常数列，求出，再分组求和.
【详解】法一：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，易知，
所以．
又满足，故，则，
易知，所以.
法二：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，又易知，
所以数列为常数列，所以，所以，则，
易知，所以.
故选：B．
4．（2022秋·福建龙岩·高二统考期末）已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（ ）
A．621B．622C．1133D．1134
【答案】C
【分析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可.
【详解】由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即：
共10项，
和为；
，共10项，
其和为；
∴该数列前20项的和；
故选：C.
5．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）
A．60B．61C．62D．63
【答案】B
【分析】讨论奇偶性，应用等差、等比前n项和公式对作分组求和即可.
【详解】当且为奇数时，，则，
当且为偶数时，，则，
∴.
故选：B.
6．（2022秋·山西运城·高二康杰中学校考期末）数列的通项公式为，前项和为，则（ ）
A．B．4950C．D．5050
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简数列，代入即可求解.
【详解】
.
故选：B.
二、多选题
7．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】A选项直接由递推关系式即可求出即可；C选项由即可判断；B选项由即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.
【详解】，A正确；
对于，有，两式相加得，C正确；
由知，则，B错误；
由偶数项均为可得为偶数时，，则
，则，D正确.
故选：ACD.
8．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知数列的前项和为，若首项，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据等比数列的定义结合条件可判断AC，根据数列的前3项可判断B，根据等比数列的求和公式可判断D.
【详解】因为，且满足，
所以，，
所以，又，
所以是首项为6，公比为2的等比数列，故A正确；
由，，可得，，
所以，，
所以不是等比数列，故B错误；
由，可得，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，故C正确；
因为，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（2023秋·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）数列的通项公式为，是其前项和，则__________.
【答案】
【分析】根据分析出是偶数时，，从而分组求和即可.
【详解】，若是偶数，则为奇数，
此时，
故
.
故答案为：-17
10．（2022秋·天津静海·高二静海一中校考期末）数列满足，数列的前项和为，且，则___________.
【答案】31
【分析】根据题意写出，然后利用并项求和法即可求解.
【详解】因为，，数列的前项和为，
所以
.
故答案为：31.
11．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知数列的通项公式为：，，前n项和为，则___________.
【答案】800
【分析】利用并项求和法求解即可.
【详解】解：由，
得
.
故答案为：800.
12．（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市红旗中学校考期末）在数列中，，，，则的前2022项和为______.
【答案】1015
【分析】分奇偶项讨论，结合并项求和运算求值.
【详解】∵，令，则，故，
当为偶数时，则，，
∴；
当为奇数时，则，，
∴；
设数列的前n项和，
则
.
故答案为：1015.
13．（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知数列满足，且前项和为，则_______．
【答案】
【分析】当为奇数时，采用累加法可求得；当为偶数时，；采用分组求和的方式，分别求解奇数项和偶数项的和，从而利用前项和为构造方程求得结果.
【详解】当为奇数时，；
，，…，，
各式相加得：，
当为偶数时，；
，解得：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式求解数列首项的问题，解题关键是能够分别在为奇数和为偶数两种情况下得到奇数项和偶数项满足的关系式，采用分组和并项求和的方式可构造方程.
14．（2022春·全国·高二期末）已知是等差数列，，，设，数列的前n项的和为，则______．
【答案】-3033
【分析】先求得，进而得到，再利用并项法求解.
【详解】解：因为是等差数列，且，，
所以，解得，
所以，则，
所以，
，
，
，
.
故答案为：-3033
15．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）已知数列,则________．
【答案】
【分析】根据等差与等比数列求和公式分组求和即可.
【详解】解：数列，
所以，，
故答案为：
16．（2023秋·上海徐汇·高二上海中学校考期末）已知，则数列前2m项之和为______.
【答案】
【分析】利用分组求和法即可求得数列前2m项之和.
【详解】
.
故答案为：
四、解答题
17．（2023秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知数列各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）由得到，结合得到，所以数列是等差数列，求出通项公式；
（2）在第一问的基础上得到，从而分组求和得到答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为是各项均为正数的数列，所以，故
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
则.
（2），则，
所以.
18．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）在已知数列中，.
(1)若数列是等比数列，求常数和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，化简得到，得出时首项为，公比为的等比数列，求得，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合等比数列的求和公式和并项求和法，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列满足，所以，
又由，可得，
所以数列时首项为，公比为的等比数列，
又因为数列是等比数列，所以，
可得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知：，可得，
所以数列的前项的和为：
，
所以.
19．（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）时，根据和的关系可推出，，两式作差整理可得，验证可得，即可得出数列为等差数列；
（2）由（1）可得.当为偶数时，.并项求和可得当为偶数时，，进而当为奇数时，由即可得出答案.
【详解】（1）证明：当时，，，所以.
当时，有，，
两式相减得，
所以，则，
两式相减得，即，
因为数列各项均为正数，所以有，
又时，则，即，整理可得，
解得或（舍去），
所以，满足.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）可得，，所以.
所以，当为偶数时，.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
综上所述，.
20．（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）已知数列各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求是数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简已知等式可求得，知数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，采用并项求和方法和求得，综合两种情况可得结果.
【详解】（1）由得：，
又，，
，数列是以为首项，为公差的等差数列，
.
（2）由（1）得：；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
21．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知为数列的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求前项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得；
（2）结合（1）得，进而分组求和即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，当时，，解得，
当时，，，
所以，即，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，
所以，
记前项的和为，
所以，
.
22．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知正项数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）Sn前后两项作差消去，求得an的前后两项关系，从而求得an的通项公式；
（2）由（1）求得bn，对n分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n项和.
【详解】解：（1）由已知，①
所以有，②
②-①，得，即，∴，
所以数列是公比为的等比数列．
又，∴．所以
（2）由（1）得，
当n为奇数时，
当n为偶数时，
综上所述，
【点睛】方法点睛：（1）通过an+1=Sn+1-Sn得到an前后两项的关系，从而求得通项公式；
（2）对于含有(-1)n的问题可以讨论n的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n项和.
23．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）设数列的前项和为，，，.
(1)求证： 是等比数列；
(2)设求数列的前项和．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）使用与的关系，再将替换为进行证明即可；
（2）对为奇数、偶数进行分组求和，为奇数时使用裂项相消法，为偶数时使用等比数列求和公式即可.
【详解】（1）由已知，
①当时，，∴，∴，；
②当时，∵，∴，
两式相减，得，
∴，∵，∴，
∴，∴（），
又∵，，∴，
∴，且数列中任意一项均不为，∴，
∴数列是首项，公比的等比数列.
（2）由第（1）问，，
∴①当为奇数时，
，
∴，
②当为偶数时，，
，
综上所述，数列的前项和.
24．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证.
（2）首先求出的表达式，然后利用分组求和即可.
【详解】（1）（法一）由，知，
又，故是首项为1，公比为2的等比数列，得证.
（法二），可知：，
又，所以，
∴是首项为1，公比为2的等比数列，得证.
（2）由（1）知：，则，
，，
，
∴
25．（2022秋·湖北襄阳·高二校考期末）设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）由题意得：；
当时，，又，；
当且时，，
整理可得：，
，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（2）由（1）得：，
.
26．（2022秋·浙江金华·高二期末）设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）令可得的值，当时，与已知条件两式相减可得，由等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列的通项公式，设的公差为，将整理成关于的方程，解出的值，即可得到的通项公式；
（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．
【详解】（1）解：在中，令得，，
当时，，
，即，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
设的公差为，由题意可得，即，
整理得，
解得或舍去，
．
（2）解：由题意可得，
．
27．（2022春·辽宁营口·高二统考期末）设数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式：
(2)若，求数列和的前10项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和的关系即可相减求解是等比数列，进而可求通项，
（2）由，可得的通项，进而根据分组求和即可求前10项的和.
（1）
由得:当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.
（2）
当为偶数时，
当为奇数时，，
所以数列和的前10项的和：
28．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）已知各项都为正数的等比数列的前项和为，数列的通项公式，若，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用等比数列的通项公式及性质，由，，结合题设条件，即可求解；
（2）借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.
【详解】（1）∵数列的通项公式，
∴，
设各项都为正数的等比数列的公比为，则，
∵，∴，①
∵是和的等比中项，∴，解得，②
由①②得，解得或（舍去），
∴；
（2）
当为偶数时，
，
设，③
则，④
③减④，得，
∴，∴，
当为奇数，且时，
，
经检验，符合上式，
∴
29．（2022秋·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知数列，的各项都是正数，是数列的前项和，满足；数列满足，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先根据条件算出 ，再算出 和 ；
（2）对于 采用分组求和的方法，推出 的解析式，再根据条件，计算不等式 ，确定 的范围.
【详解】（1）依题意，根据，得，
又，，得；
当时，；当时，适合上式，
所以数列的通项公式，所以，，
又因为，所以数列为等比数列，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）由题意可知，，；
由已知可得 ，
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当为奇数时，，
所以
，
当为偶数时，，所以，
由，得，即，
当为偶数时，对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以，
当为奇数时，对一切奇数成立，当 时 为最大值，所以此时，
故对一切恒成立，则．
综上，，， 的取值范围是.
30．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，，证明：.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比q，再求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用等比数列前n项和公式、裂项相消法分组求和作答.
（2）求出，验证当时不等式成立，当时，证得，再利用放缩的方法结合裂项相消法求和推理作答.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
则，即有，
即，因此，，而，解得，又，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，
，
，
所以数列的前项和.
（3）由（1）知，，则，有，，，
当时，，当时，，当时，，
即当时，不等式成立，
当时，
，
则，
，
综上得：，.
【点睛】易错点睛：裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．