通关练29 利用导数研究函数的图象及性质-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第二册)

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一、单选题
1．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用导数求得的单调区间，结合函数值确定正确选项.
【详解】由，可得函数的减区间为，增区间为，
当时，，可得选项为A．
故选：A
2．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）函数 的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数符号，单调性即可判断.
【详解】对于 ，当 时， ，故A，B错误；
，显然在定义域内 ，
即在 和 都是增函数，C正确，D错误；
故选：D.
3．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象.
【详解】定义域为，，
则，为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
，故排除A；
∵，当时，可得，当时，，单调递增，故排除D.
故选：C.
4．（2023·江苏·高二专题练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象.
【详解】解：因为，所以，
令，则，
令，解得，且时，，时，，
所以时，单调递减，时，单调递增，且，，，
所以在上存在，使得，又，令，则有2个实数根，
所以当或时，，当时，，
所以函数在和上是增函数，在上是减函数，且，，结合选项得出A选项符合函数的大致图象.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等．
5．（2023春·江西·高二校联考开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先得到当时，，排除BD，再求导，得到函数单调性，结合，排除C.
【详解】，当时，，
故当时，恒成立，排除BD，
，
令得：，此时单调递增，令得：，
此时单调递减，其中，排除C，
故当时，取得最大值，故A正确.
故选：A
6．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，根据函数的图象得到的正负，即得解.
【详解】解：设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，且.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
故选：C
7．（2022春·北京·高二北京师大附中校考期中）已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象得到单调性，从而确定不等式的解集.
【详解】由图象可知：在，上单调递增，在上单调递减，
故等式的解集为.
故选：B
8．（2022秋·陕西延安·高二校考阶段练习）已知，为的导函数，则的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先对求导，再利用奇偶性排除B、D，然后通过取特殊值排除C即可.
【详解】因为，则，
又因为，所以为奇函数，由此可排除B、D；
，说明的图像在区间上函数值存在负数，由此C不满足，故A正确.
故选：A
9．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
【详解】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
10．（2022春·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考阶段练习）为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的正负决定函数的增减，以及导数的几何意义即可得出正确选项.
【详解】导数正负决定函数的增减，
根据导数先正，后负，后正，
所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，
再根据导数的几何意义是切线斜率，
所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，
所以应选B，不选C.
故选：B.
11．（2022春·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.
【详解】由题给函数的图象，可得
当时，，则，则单调递增；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递增；
则单调递增区间为，；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
12．（2022秋·天津河西·高二校考期末）设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由原函数的单调性是由导函数的函数值的正负，单调递增可得，单调递减可得，数形结合即可得解.
【详解】解：由的图像知:当时，单调递减，，
当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
由选项各图知：选项C符合题意，
故选：C.
13．（2022·高二单元测试）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极大值
【答案】A
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．
【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选：A.
14．（2022春·海南·高二校考期中）如图是函数 的导函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间内是增函数
B．在区间内是减函数
C．在区间内是增函数
D．在时，取极小值
【答案】C
【分析】根据图象确定的正负，即可得函数的单调性.
【详解】由图象可知：当，时，，此时单调递减，
当和时， 此时单调递增，
对于A，在单调递减，单调递增，故A错误，
对于B，在单调递增，单调递减，故B错误，
对于C，在单调递增，故C正确，
对于D，时，取极大值，故D错误，
故选：C
15．（2022春·重庆·高二校联考期中）如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数图象确定函数的单调性，由此确定的值，比较其大小.
【详解】由已知可得：
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，函数在时取极小值，
所以，
所以，
故选：A.
16．（2022·江苏·高二期末）已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题设令，根据存在性将问题转化为在上有解，参变分离后可求实数的取值范围.
【详解】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，
令
则
即在上有解，
即在上有解
即在上有解，
设，，
则，
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
而，
故在上的值域为，
故
即，
故选：D.
17．（2022·高二单元测试）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】原不等式等价于，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求.
【详解】原不等式等价于，设，，所以，得．当时，，
所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，取极大值.
又，且时，，因此与的图象如下，直线恒过点.
当时，显然不满足条件；当时，只需要满足，即，解得．
故选：D.
18．（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象判断函数值的正负，根据函数的单调性判断导数值的正负，即可求得答案.
【详解】由函数图象可知当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
故的解集是，
故选:C.
19．（2022春·广西百色·高二统考期末）设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求导得出的单调性，进而画出的图象，将题设转化为函数与有两个交点，结合图象求出实数的取值范围即可.
【详解】当时，函数单调递增；当时，，则时，，
所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图：
因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时
函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
20．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知函数的图像如图所示，是的导函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由函数的图像得到函数的单调性，根据单调性得到导函数的符号，从而可得答案.
【详解】由函数的图像可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以当或时，；当时，，
所以，，，.
故选：BC .
21．（2022春·广东中山·高二中山纪念中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．方程无实数解
【答案】BC
【分析】先证明为偶函数，再根据图象可判断，，从而可判断ABC的正误，根据函数有极值点可判断D的正误.
【详解】因为为上的奇函数，故，
所以，即，所以为偶函数，
又，由图可得，故，故A错误，
而，故B正确.
，由图可得，
故，所以C正确.
由图可得在上存在极值点，故在上有解，故D错误.
故选：BC
22．（2022春·福建漳州·高二校考阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上递减，在上递减
B．函数在上递增，在上递增
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
【答案】BD
【分析】结合函数图象，对分区间讨论与大小关系，从而推导出在区间上的单调性即可；
【详解】解：由图可知：当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增；
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
即函数有极大值和极小值；
故选：BD．
23．（2022春·湖南衡阳·高二统考期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)有4个极值点
C．f(x)在上单调递减
D．
【答案】AC
【分析】根据给定导函数图象，确定导数值大于0、小于0的区间即可分析判断作答.
【详解】观察图象知，当时，，当时，，
函数在上单调递增，而，则在上单调递增，A正确；
在上单调递减，而，在上单调递减，C正确；
函数在处都取得极小值，在0处取得极大值，有3个极值点，B不正确；
因当时，，当且仅当时取“=”，即在上单调递减，
而，则有，D不正确.
故选：AC
24．（2022·高二课时练习）下列图像中，可以作为函数的导函数的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】为二次函数，根据参数确定可能的图像即可
【详解】由题意得，则的图像开口向上．
当时，，为偶函数，其图像可以为A中的图像．
当时，不是偶函数，其图像不关于y轴对称，∴当时，的图像可以为C中的图像．
故选：AC
三、填空题
25．（2022春·北京房山·高二北京市房山区房山中学校考期中）函数的定义域为，函数与的图象如图所示，则不等式 的解集为_________________.
【答案】
【分析】由导函数与原函数的图象关系，判断实线为的图象，虚线表示的为的图象，结合图象即可得到不等式的解集；
【详解】解：依题意由图可知：
实线函数在时函数值小于零，当时函数值大于零，且在上单调递减，在上单调递增，
虚线函数在时函数值小于零，当时函数值大于零，且在上单调递减，在上单调递增，
根据导函数与原函数图象的关系可知实线函数表示的为的图象，
虚线函数表示的为的图象，
所以当时；
故答案为：
26．（2022春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期末）在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】或
【分析】根据原函数的图象可得导数的符号，从而可求不等式的解.
【详解】由的图象可得的解为或，
的解为.
而即为或，
故或，
故答案为：或
27．（2022·全国·高二专题练习）如果函数的导数的图像如题图所示，则以下关于函数的判断：
①在区间上为严格增函数；
②在区间上为严格减函数；
③在区间上为严格增函数；
④是极小值点；
⑤是极大值点．
其中正确的序号是______．
【答案】③⑤
【分析】由导函数的图象可判断出导数的正负，从而可判断出函数的单调区间和极值点，进而可得答案
【详解】由导函数的图象可知，当或时，，
当时，，
所以在和上递减，在上递增，
所以是函数的极小值，是函数的极大值点，
所以正确的序号有③⑤，
故答案为：③⑤
28．（2022春·上海静安·高二校考期末）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是___________.（填序号）
①恒成立；
②；
③；
④；
⑤
【答案】②⑤
【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据图象的单调性判断①②③选项，根据图象的凹凸性判断④⑤选项.
【详解】由题中图象可知，导函数的图象在x轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．
选项①，导函数只能反映原函数的单调性，不能反映原函数的正负，故①错；
选项②表示与异号，即图象的割线斜率为负，故②正确，
选项③表示与同号，即图象的割线斜率为正，故③不正确；表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，故④不正确，⑤正确．
故答案为:②⑤．
四、解答题
29．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若在上有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1），当时，，，利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可求出切线方程；
（2）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，构造函数，，利用导数研究的单调性、极值以及最值，从而得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
，
，
在处的切线方程为，即；
（2）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根，
即在上有两个不同的实数根，
令，，

令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，，
当时，方程在上有两个不同的实数根，
实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1）在运用求导法则求的导数时，注意运算的正确性；
（2）在运用导数的几何意义求在某点处的切线的斜率时，斜率，切线方程最好为一般式；
（3）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根；
（4）运用参变分离得到，构造函数，；
（5）利用导数研究函数的性质时，应说明清楚单调性以及、、的取值情况.
30．（2022春·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考阶段练习）给定函数.
(1)判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
(2)画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；
(3)求出方程的解的个数.
【答案】(1)函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；
(2)具体见解析；
(3)具体见解析.
【分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；
（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；
（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案.
【详解】（1），时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.
（2）
作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.
（3）结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.
31．（2022春·广东广州·高二统考期末）已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；
(3)讨论关于x的方程的实根个数．
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；极小值为，无极大值
(2)图象见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由导数得出其单调性以及极值；
（2）由单调性画出函数的大致图像；
（3）画出函数与函数的简图，由图像得出方程根的个数.
（1）
，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为
极小值为，无极大值.
（2）
当时，；当时，，且
结合单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示
（3）
画出函数与函数的简图，如下图所示
由图可知，当时，方程没有实数根；
当或时，方程只有一个实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根；
32．（2023秋·山西太原·高二统考期末）已知函数.
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)若有两个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1），分和讨论即可；
（2），题目转化为有两个零点，利用分离参数法得，设，利用导数研究得图像即可得到答案.
【详解】（1），，
当，则
若,则在上单调递增；
若,令，即，
则在上单调递增.
令，解得，则在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2），，
因为有两个极值点,所以有两个零点,
显然,1不是的零点，由,得.
即直线与有两个交点，
，
令,
令，解得，
且当时，，当时，
所以在上单调递增,在上单调递减,
而,故,
所以在,和上单调递减，
又在上,趋近于0时,趋近于正无穷，趋近于1时,趋近于负无穷，
故函数在之间存在唯一零点，
在上, 趋近于1时, 趋近于正无穷，趋近于正无穷时,趋近于0.
作出图形如下图所示：
所以.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于等价转化为导函数在定义域上有两零点，然后利用分离参数法，得到，转化为直线与有两个交点，研究的图象，数形结合即可得到的范围.
33．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；
（2）参变分离，构造函数，求导研究函数图像的单调性及极值，最值情况，求出的取值范围.
【详解】（1）解：函数的定义域为，，
所以，当时，恒成立，在上单调递增；
当时，得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：定义域为，
有两个零点，即有两个实数解
当时，不成立，故不是零点，
当时，，
设，，则，
当或时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，是的极小值点，
画出函数的图像如下：

因为要使有两个实数解，则与图像有两个交点，
所以，当时，与图像有两个交点
综上，的取值范围是
【点睛】思路点睛：已知函数有零点或零点个数，求解参数取值范围问题，通常思路，一是参变分离，构造函数，研究其单调性及极值，最值情况，求出参数的取值范围；二是整体求导，再对参数进行分类讨论，结合零点存在性定理进行求解参数的取值范围.