湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第三阶段测试数学试题（Word版附解析）

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请注意：时量120分钟 满分150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
命题“”的否定为
A． B． C． D．
2．己知集合，则
A． B． C． D．
3．已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为R，，则下述正确的是
A．的图象关于点对称 B．的图象关于y轴对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
5．在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，D点为AC上一点且，则的最小值为
A． B． C． D．
6．已知，则
A． B． C． D．
7．己知函数，则函数的零点个数是
A．6 B．5 C．4 D．3
已知三棱柱，DA，DE，DF两两互相垂直，且 ，
M，N分别是 BE，AB边的中点，P是线段CA上任意一点，过三点P，M，
N的平面与三棱柱的截面有以下几种可能：①三角形；
②四边形；③五边形；④六边形.其中所有可能的编号是
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．若，则使“”成立的一个必要不充分条件是
A． B C． D．
10. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是 D．若，，则的最小值为
11．设等比数列的公比为q，其前和项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B C．是数列中的最大项 D．
12. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．的最小值为5
C．的最大值为7 D．若在上，则的最小值为
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 的展开式中，第5项为常数项，则_______
14. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有 种
15. 若项数为n的数列满足：我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为2的等差数列，数列的最大项等于8．记数列的前项和为，若，则___________．
16．若不等式恒成立，则a的取值范围为___________．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
已知等差数列和等比数列满足，．
（1）求数列，的通项公式：
（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．
18．（本题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）己知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值．
（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，，
D是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角．
（本题满分12分）
已知函数是大于0的常数，记曲线的切线为，在轴上的截距为
当时求切线的方程；
证明：
（本题满分12分）
设点P为圆上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点Q，动点M满足（点P、Q不重合）
（1）求动点M的轨迹方程E；
（2）若过点的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为，直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（本题满分12分）
有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前 颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为. (其中取);
（1）若
（2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.