湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第二阶段测试数学试题（Word版附解析）

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请注意：时量120分钟 满分150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数列满足，且，则
A． B． C． D．
2. 已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
3．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．B．
C．对任意正数，D．对任意正数，
4．已知,，，则
A．B． C． D．
5. 已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是
A．B． C． D．
6．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有
A．60种B．150种 C．180种 D．300种
已知是双曲线的右焦点,为坐标原点,与双曲线交于（在第一象限），，两点,,且,则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
8. 已知定义在上的奇函数满足：当时，. 若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．

二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，则下列描述正确的有
A. 甲、乙两组成绩的平均分相等 B. 甲、乙两组成绩的中位数相等
C. 甲、乙两组成绩的极差相等 D. 甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
10. 已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为
A．3 B．4 C．5 D．6
设正整数，其中.记，当时，，则
A． B．
C．数列为等差数列 D．
12. 已知函数，若，则
A. B. C. D.
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．多项式展开式中的系数为 ．
14．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则 ．
15．如图，由到的电路中有4个元件，分别为，，，，若，，，能正常工作的概率都是，记“到的电路是通路”，求 .
16．若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为 .
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）
已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
18．（本小题12分）
新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度?（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元?（结果保留一位小数）参考数据：，.
附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距
19．（本小题12分）
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在使？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
20.（本小题12分）
已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
21.（本小题12分）
某公司在一种传染病毒的检测试剂吅上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列;
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才可以确定为“感染高危户”率为，若该家庭被确定为“感染高危户”，且当时，最大，求的值.
22.（本小题12分）
已知函数.
（1）若函数在上有极值，求的取值范围及该极值；
（2）求使对任意恒成立的自然数的取值集合.
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11