湖南省永州市2024届高三上学期二模数学试题（Word版附答案）

这是一份湖南省永州市2024届高三上学期二模数学试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡，已知函数在区间上单调递增，则，在中，若，则的面积的最大值为，已知函数，下列结论正确的是，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题人：蒋志刚（永州四中） 周海洋（双牌二中）
陶先国（蓝山二中） 陈诗跃（永州一中）
审题人：胡元紧（永州市教科院）
注意事项：
1．全卷满分150分，时量120分钟。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
3．考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．己知，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
5．若正四棱锥的侧面三角形底角的正切值为2，则侧面与底面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，点M在C的准线上，、若的面积为32，则（ ）
A． B．2 C． D．4
7．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象是中心对称图形
B．在区间上单调递增
C．若方程有三个解，，则
D．若方程有四个解，则
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．已知样本数据的方差为2，则数据的方差为4
B．已知概率，则
C．样本数据6，8，8，8，7，9，10，8的第75百分位数为8.5
D．己知（a，b为有理数），则
10．若圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则（ ）
A．该圆锥的母线与底面所成的角为 B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的内切球的体积为 D．该圆锥的外接球的表面积为
11．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．为奇函数 B．在处的切线斜率为7
C． D．对
12．在平面直角坐标系中，已知曲线，与圆相切的直线l交于P，Q两点，点M，N分别是曲线与上的动点，且，则（ ）
A． B．的最小值为2
C．的最小值为 D．O点到直线MN的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为第二象限角，，则__________．
14．已知盒中有3个红球，2个蓝球，若无放回地从盒中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次抽到蓝球的概率为__________．
15．已知函数有一个极值点为零点，则__________．
16．己知数列满足，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和．
18，（12分）记三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B为锐角，．
（1）求；
（2）求的最小值．
19．（12分）如图所示，在四棱锥中，，平面平面ABC，点F为BD的中点．
（1）证明：；
（2）若，AF与平面ABE所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．
20．（12分）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．
（1）若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量X，求X的分布列与期望；
（2）若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．
21．（12分）已知椭圆的离心率为与，左、右焦点分别为，点D为线段的中点，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点．的面积最大值为．
（1）求C的方程；
（2）设直线MD，ND分别交C于点P，Q，直线PQ的斜率为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）若时，，求实数a的取值范围；
（2）设，证明：．
永州市2024年高考第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
13． 14． 15． 16．1785
部分小题提示解析：
8．解：因为，所以，即关于直线对称，所以为轴对称函数．
关于直线对称，只需研究性质，
当时，，易知
所以，故在单调递减
所以当时，单调递减，故B错．
当时，，此时单调递增，而
所以有三解，则
又因为，联立解得，所以C错误．
要有四个解，则，解得，故选D．
16．解：由已知可得，，
则，
则由累加法可得．
四、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解析：
（1）当时，，则 1分
当时，，则 3分
则数列是以2为公比的等比数列，则． 5分
（2）因为 6分
所以， 8分
则． 10分
18．解析：
（1）因为
由正弦定理可得 1分
由余弦定理可得： 2分
解得或（一个答案一分） 3分
又因为B为锐角，所以 4分
所以． 6分
（2）由（1）得 7分
令，则
因为，所以 9分
所以，当单调递增 10分
所以时，，所以无最值 11分
所以无最值． 12分
19．解析：
（1）因为，所以 1分
又因为平面平面ABC，平面平面 2分
所以平面ABC 3分
又因为平面ABC
所以． 4分
（2）取AB、BE的中点分别为O、G，连接OC、OG
所以
E因为，所以
而平面ABC，所以平面ABC
因为
所以 5分
以O为坐标原点，分别以直线OB，OC，OG为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 6分
设，则
所以，易知是平面ABE的一个法向量 7分
所以，解得 8分
设是平面ACDE的一个法向量，因为
则，即 9分
令，则 10分
又因为
则点B到平面ACDE的距离为 11分
所以． 12分
20．解析：
（1）依题意可得，随机变量 1分
设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则， 2分
则 3分
4分
则分布列：
数学期望． 5分
（2）设在甲参加的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y
则所获总分为，若，则 6分
则，因为 7分
则 8分
同理可得 9分
则 10分
11分
故． 12分
21．解析：
（1）易知当M与椭圆的短轴的端点重合时面积有最大值 1分
所以，即 2分
因为 3分
解得
所以椭圆C得方程为． 4分
（2）设
则直线MP的方程为 5分
由联立得： 6分
则，即 7分
代入直线得：
同理可得： 8分
所以 9分
又因为N、、M三点共线，所以
即 10分
所以 11分
所以存在实数使得． 12分
22．解析：
（1）要使有意义，则需满足
当时，由在恒成立
当时，由，得，由
解得 1分
2分
令
当时，在恒成立，则在恒成立
所以在单调递增，所以恒成立 3分
当时，，令
则
则在恒成立，所以在单调递减
又因为，所以，使得
当，即，所以在单调递增
当，即，所以在单调递减 4分
①若时，，所以时，，又
所以，使得，当，即
在单调递增，当，即
在单调递减，又因为，所以要使在恒成立
只需，解得，而
所以 5分
②当时，，又在单调递增，所以一定使时，，即在单调递减，这与在恒成立矛盾，不合题意 6分
综上：．
（2）令，则恒成立，所以在上单调递增
又，所以当时，，即 7分
所以
即不等式右边恒成立 8分
由（1）得：当，时，成立 9分
取
所以 11分
所以题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
C
B
D
D
题号
9
10
11
12
答案
BCD
BD
ACD
ABD
X
3
5
7
9
P