2022-2023学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
2.某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是( )
A. 0.58B. 0.61C. 0.62D. 0.627
3.已知直线a与平面α满足a//α，直线b⊂α，下列结论正确的是( )
A. a与b无公点B. a与b异面C. a//bD. a⊥b
4.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面向上”，事件B=“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是( )
A. A⊆BB. A=BC. 相互独立D. 互斥
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是A1C1的中点，则异面直线AO与BC1的夹角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
6.已知数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为5和4，则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的平均数和方差分别为( )
A. 9，8B. 9，16C. 19，15D. 20，16
7.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器分类的方法，最早见于《周礼⋅春宫⋅大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，则这“两音”同为打击乐器的概率为( )
A. 15B. 310C. 25D. 35
8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据下列四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为2，方差为4B. 平均数为3，众数为2
C. 平均数为3，中位数为2D. 中位数为3，方差为0.16
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
10.已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
C. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
11.下列结论正确是( )
A. 已知一次试验事件A发生的概率为0.9，则重复做10次试验，事件A可能一次也没发生
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现偶数点”，B=“出现1点或2点”，则事件A与B相互独立
C. 小明在上学的路上要经过4个路口，假设每个路口是否遇到红灯相互独立，且每个路口遇到红灯的概率都是23，则小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为23
D. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，若A与B不独立，则P(A∪B)≠P(A)+P(B)
12.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是线段PB的中点，F是线段BC上的动点，则以下结论正确的是( )
A. 平面AEF⊥平面PAB
B. 直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为 2
C. 二面角B−AE−F余弦值的最小值为 33
D. 线段BC上不存在点F，使得PD//平面AEF
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第1列和第2列的数字开始，由左到右依次选取两个数字(作为个体的编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第4个个体的编号为______ .
14.向一个目标射击两次，用y表示“命中目标”，n表示“没有命中目标”，则该试验的样本空间W=______ ；若每次命中目标的概率都为0.6，且每次射击结果互不影响，则事件“恰有一次命中目标”的概率为______ .
15.某校高一年级的学生有300人，其中男生180人，女生120人.为了解该校高一年级学生的身高信息，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得男生样本的平均数为x−=170(单位：cm)，方差为s12=14，女生样本的平均数为y−=160(单位：cm)，方差为s22=24，根据上述数据，估计该校高一年级学生身高的平均数为______ ；方差为______ .
16.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，三棱锥P−ABC外接球的表面积为16π，则二面角P−BC−A正切值的最小值为______ .
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
甲、乙两台机床同时生产某种零件，科研部门随机抽取了它们10天中生产的产品，统计其每天生产的次品数分别为：
(1)计算这10天中甲、乙机床次品数的平均数和方差；
(2)从计算结果看，哪台机床的性能更好？
18.(本小题10分)
已知甲袋中装有3个红球、2个白球，乙袋中装有2个红球、4个白球，这些球除颜色外没有其它差异，现从甲、乙两袋中各随机抽取一球.
(1)求所抽取的两球都是红球的概率；
(2)求所抽取的两球至少有一个红球的概率.
19.(本小题10分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘，AA1=AB，D，E分别是AB1，A1C的中点.
(1)求证：DE//平面ABC；
(2)求证：AB1⊥A1C.
20.(本小题10分)
2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查.已知该市这样的社区有240个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.
(1)根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第75%分位数；
(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数；
(3)市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率.
21.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=6，将△BCD沿直线BD折起至△PBD，点E在线段AB上.
(1)若PE⊥平面ABD，求BE的长；
(2)过点P作平面ABD的垂线，垂足为O，在△BCD折起过程中，点O在△ABD内部(包含边界)，求直线AB与平面PBD所成角正弦值的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度．
故选：D.
利用数字特征的含义求解即可．
本题主要考查了平均数、中位数和众数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适，即0.61.
故选：B.
利用频率和概率的关系求解即可．
本题考查概率的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a//α，所以直线a与面α无交点，又因为直线b⊂α，所以直线a，b无交点．
故选：A.
由题意可知直线a与面α无交点，进而可得a，b无交点．
本题考查线面的位置关系，判断线线的位置关系，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查互斥事件，相互独立事件的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合互斥事件，相互独立事件的定义，即可依次求解．
【解答】
解：依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为 1 ，反面向上为 0 ，
则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是： 1,1,1,0,0,1,0,0 ，
事件A包含的结果有： 1,1,1,0 ，事件B包含的结果有： 1,0,0,0 ，
而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误；
显然事件A，事件B都含有“ 1,0 ”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，
因此，事件A与事件B不互斥，故D错误；
因为 P(A)=24=12,P(B)=24=12,P(AB)=14 ，则 P(AB)=P(A)P(B) ，
所以A与B相互独立，故C正确.
故选：C.
5.【答案】A
【解析】解：连接AD1，D1O，

因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//C1D1，AB=C1D，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1//BC1，
所以∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角，
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则AD1=2 2，D1O= 2，AO= A1A2+A1O2= 6，
故AD12=D1O2+AO2，即D1O⊥AO，则0∘<∠D1AO<90∘，
所以sin∠D1AO=D1OAD1=12，则∠D1AO=30∘.
故选：A.
先利用线线平行推得∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角，再利用勾股定理依次求得AD1，D1O，AO从而得解．
本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为5和4，
则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的平均数和方差分别为2×5−1=9，22×4=16.
故选：B.
根据平均数和方差的性质公式计算即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：记“金、石、木”为a，b，c，“土、竹、丝”为 m，n，l，则a，b，c为打击乐器，
从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，
组成的基本事件包含：ab，ac，am，an，al，bc，bm，bn，bl，cm，cn，cl，mm，ml，nl 共15种情况，
其中“两音”同为打击乐器的有ab，ac，bc，共包含3种情况，
则“两音”同为打击乐器的概率P=315=15.
故选：A.
由条件列举从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”的所有基本事件的个数，再计算“两音”同为打击乐器所包含的所有基本事件个数，最后求其概率即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，1，1，6时，满足平均数为2，
其方差s2=15[4×(1−2)2+(6−2)2]=4，可以出现点数6，所以A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，众数为2，可以出现点数6，所以B错误；
对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，所以C错误；
对于D，假设当投掷骰子出现的结果为a，b，3，c，6时，满足中位数为3，方差为0.16，且出现点数6，
假设其平均数为x−，则[15(a−x−)2+(b−x−)2+(3−x−)2+(c−x−)2+(6−x)2]=0.16，
即(a−x−)2+(b−x−)2+(3−x−)2+(c−x−)2+(6−x−)2=0.8，
因为x−=a+b+3+c+65≥1+1+3+3+65=145，
x−=a+b+3+c+65≤3+3+3+6+65=215，
即145≤x−≤215，所以95≤6−x−≤165，则(6−x−)2≥8125>0.8，
显然方差不成立，即一定没有出现点数6，所以D正确．
故选：D.
利用特例法可判断ABC；利用反证法，结合中位数和方差的计算公式，可判定D正确，由此得解．
本题考查数据的数字特征，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，⋯，x6的平均数，A错误；
B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于x3+x42，x1，x2，⋯，x6的中位数等于x3+x42，B正确；
C选项，设样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，
x1，x2，⋯，x6的方差s12=15×[(0−5)2+(1−5)2+(2−5)2+(8−5)2+(9−5)2+(10−5)2]=20，
x2，x3，x4，x5的方差s22=15×[(1−5)2+(2−5)2+(8−5)2+(9−5)2]=10，
s12>s22，∴s1>s2，C错误．
D选项，x6>x5，x2>x1，∴x6−x1>x5−x2，D正确．
故选：BD.
根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则当m与n相交时，α//β，否则，α与β不一定平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α//β，故B正确；
若m//α，n//β，α⊥β，则m与n的位置关系有三种：平行、相交或异面，故C错误；
若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m//β，又n⊥β，∴m⊥n，故D正确．
故选：BD.
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于选项A：对于重复做10次试验，事件A发生的次数为0，1，2，…10，
所以可能一次也没发生，故A正确；
对于选项B：事件A=“出现偶数点”，B=“出现2点或4点或6点”，事件AB=“出现2点”，
可得P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16，
因为P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与B相互独立，故B正确；
对于选项C：小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为(1−23)×(1−23)×23=227，故C错误；
对于选项D：因为P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，
若A与B互斥(满足A与B不独立)，则P(AB)=0，
此时P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D错误．
故选：AB.
根据随机事件的概率，结合独立事件和互斥事件逐项分析判断．
本题考查概率的应用，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC.
因为ABCD为正方形，
所以AB⊥BC，
又PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAB，
所以AE⊥BC.
因为PA=AB，E为线段PB的中点，
所以AE⊥PB，
又因为PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
又因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，故A正确；
对于B，由选项A可知BC⊥平面PAB，
所以∠FEB为直线EF与平面PAB所成角，则0<∠FEB<π2，
不妨设PA=AB=2，
则在Rt△PAB中，PB=2 2,BE= 2，
在Rt△EFB中，tan∠FEB=BFBE=BF 2，
因为F是线段BC上的动点，故BF≤BC=2，
则tan∠FEB=BF 2≤ 2，
所以直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为 2，故B正确；
对于C，由选项A可知AE⊥平面PBC，BE，EF⊂平面PBC，
所以AE⊥BE，AE⊥EF，
则∠FEB为二面角B−AE−F的平面角，
因为cs∠FEB=BEEF= 2 BF2+2≥ 2 4+2= 33，
所以二面角B−AE−F余弦值的最小值为 33，故C正确；
对于D，当F与C重合时，连接AC∩BD=O，连接EO，如图，
因为底面ABCD是正方形，
所以O是BD的中点，
又E为线段PB的中点，
所以OE//PD，
又OE⊂平面AEF，PD⊄平面AEF，
所以PD//平面AEF，
即线段BC上存在点F，使得PD//平面AEF，故D错误．
故选：ABC.
对于A，利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可；对于BC，利用线面角与面面角的定义，结合BF的取值范围求解即可；对于D，找特殊点F与C重合时，证得PD//平面AEF，由此得解．
本题考查面面垂直，线面平行的判定，考查线面角以及二面角，解决的关键是利用线面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAB与AE⊥平面PBC，从而得到直线EF与平面PAB所成角与二面角B−AE−F的平面角，由此得解，属于中档题．
13.【答案】14
【解析】解：从随机数表第1行的第1列和第2列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，
得78，16，65，72，08，02，63，14，…
其中满足要求的编号依次是16，08，02，14，…
所以选出来的第4个个体的编号为14.
故答案为：14.
利用随机数表的使用方法求解即可．
本题考查简单的随机抽样的应用，属于基础题．
14.【答案】{yy,yn,ny,nn}0.48
【解析】解：第一空，由题意可知该试验的样本空间W={yy,yn,ny,nn}，
第二空，因为每次命中目标的概率都为0.6，且每次射击结果互不影响，
所以事件“恰有一次命中目标”的概率为2×0.6×(1−0.6)=0.48.
故答案为：{yy,yn,ny,nn}；0.48.
利用样本空间的定义与独立事件的概率公式求解即可．
本题主要考查了样本空间的概念，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
15.【答案】166 42
【解析】解：依题意，知学生总数为300，其中男生人数180，女生人数为120，
设该校高一年级学生身高的平均数为z−，方差为s2，
则z−=180300×x−+120300×y−=35×170+25×160=166，
s2=180300[s12+(x−−z−)2]+120300[s22+(y−−z−)2]=35×[14+(170−166)2]+25×[24+(160−166)2]=42.
故答案为：166；42.
利用分层抽样的平均数与方差公式求解即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
16.【答案】2 33
【解析】解：依题意，设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P−ABC外接球的半径为R，
则4πR2=16π，则R=2(负值舍去)，
因为PA⊥平面ABC，PA=2，所以R2=(12PA)2+r2，即4=1+r2，则r= 2(负值舍去)，
因为AB⊥AC，所以BC为△ABC的外接圆的直径，即BC=2 3，
过A作AD⊥BC交BC于D，连接PD，如图，
则∠PDA二面角P−BC−A的平面角，
设AB=m，AC=n，则由m2+n2=12，即mm≤m2+n22=6
故AD=mm2 3≤62 3= 3，当且仅当m=n= 6时等号成立，
故tan∠PDA=PAAD≥2 3=2 33，即二面角P−BC−A正切值的最小值为2 33.
故答案为：2 33.
先由球的表面积求得其半径，再利用球的截面性质求得△ABC的外接圆的半径，从而求得AD的取值范围，进而求得二面角P−BC−A正切值的取值范围，由此得解．
本题解决的关键是利用基本不等式求得ad的取值范围，再推得∠PAD为二面角P−BC−A的平面角，从而得解，考查了空间想象能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得：甲机床生产某种零件次品的平均数x−=110i=110xi=1.5，方差s12=110i=110(xi−x−)2=1.65，
乙机床生产某种零件次品的平均数y−=110i=110yi=1.5，方差s22=110i=110(yi−y−)2=0.65，
所以这10天中甲、乙机床次品数的平均数均为1.5，方差分别为1.65，0.65.
(2)由(1)可知：x−=y−且s12>s23，
即两机床的平均水平相同，但乙机床相对稳定所以乙机床的性能更好．
【解析】(1)根据平均数，方差的计算公式运算求解；
(2)根据平均数，方差的数字特征分析判断即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设A=“从甲袋中随机抽取一球是红球”，B=“从乙袋中随机抽取一球是红球”，
则P(A)=35，P(B)=13，由题意得A与B，A与B−，A−与B，A−与B−都相互独立，
所以P(AB)=P(A)P(B)=35×13=15，
即所抽取的两球都是红球的概率为15；
(2)解法一：“所抽取的两球至少有一个红球”=AB−∪A−B∪AB，且AB−、A−B与AB两两互斥，
由概率的加法公式和事件独立定义可得P(AB−∪A−B∪AB)=P(AB−)+P(A−B)+P(AB)
=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)+P(A)P(B)=35×23+25×13+35×13=1115.
解法二：“所抽取的两球都是白球”=A−B−，则P(A−B−)=P(A−)P(B−)=25×23=415，
由对立事件的性质可得，“所抽取的两球至少有一个红球”的概率为1−P(A−B−)=1−415=1115.
【解析】(1)根据独立事件的乘法公式可求出结果；
(2)解法一：根据互斥事件的加法公式求解；解法二：根据对立事件的概率公式求解．
本题主要考查了独立事件的乘法公式，考查了互斥事件的加法公式，以及对立事件的概率公式，属于基础题．
19.【答案】证明：(1)连接AC1，由题意可得E为AC1的中点，在△AB1C1中，D是AB1的中点，所以DE//B1C1，
在直棱柱中，BC//B1C1，所以DE//BC，而DE⊄面ABC，BC⊂面ABC，
可证得DE//面ABC；
(2)因为AA1=AB，即四边形ABB1A1为正方形，
连接A1B，所以AB1⊥A1B，
在直棱柱中，∠ABC=90∘，
所以A1B为A1C在面A1B内的投影，
可证得AB1⊥A1C.
【解析】(1)连接AC1，由题意可得DE为△AB1C1的中位线，可证得DE//B1C1，再由直棱柱的性质可证得DE//BC，再由线面平行的条件可证得结论；
(2)由题意可得A1B为A1C在面A1B内的投影，由投影的性质可证得结论．
本题考查线面平行的证法及投影的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：
[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)的频率分别为：
0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，
而0.08+0.1+0.2+0.24=0.62，0.62+0.18=0.8，
故这50个社区垃圾量的第75%分位数在[12,14]内，
设为x，则(x−12)⋅0.09=0.75−0.64，解得：x≈13.2.
(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2，
∴这240个社区中“超标”社区的概率为0.2，
∴这240个“超标”社区的个数为240×0.2=48.
(3)由题意得样本中“超标”社区共有50×(0.12+0.08)=10个，
其中垃圾量为[14,16)的社区有50×0.12=6个，
垃圾量为[16,18)的社区有50×0.08=4个，
按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，
按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，
从中选取2个基本事件为：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10个，
其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为：
(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共7个，
∴重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为：
P=710=0.7.
【解析】(1)由频率分布直方图以及分位数的定义计算即可；
(2)由频率分布直方图求出该样本中“超标”社区的频率，由此能求出这240个“超标”社区的个数．
(3)先求出样本中“超标”社区共有10个，其中垃圾量为[14,16)的社区有6个，垃圾量为[16,18)的社区有4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，从中选取2个，利用列举法能求出重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．
本题考查了频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是中档题．
21.【答案】解：(1)如图，连接DE，
因为PE⊥面ABD，DE⊂面ABD，BE⊂面ABD，
所以PE⊥DE，PE⊥BE，
在△ADE中，DE2=AD2+AE2=AD2+(AB−BE)2=117−18BE+BE2，
在△PDE中，PD=AB=9，PE2=PD2−DE2=18BE−BE2−36，
在△PBE中，PB=AD=6，PE2=PB2−BE2=36−BE2，
因为18BE−BE2−36=36−BE2，
解得BE=4.
(2)如图，连接AP，设点A到平面PBD的距离为d，
则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为dAB=d9，
因为VP−ABD=VA−PBD，
所以13S△ABD⋅OP=13S△PBD⋅d，
所以d=OP，
当点O在AB上时，由(1)可知点O与点E重合，
此时OP取最小值为PE= PB2−BE2=2 5，
当平面PBD⊥平面ABD时，点O在BD上，
此时OP取最大值，
因为S△PBD=12PB⋅PD=12BD⋅OP，
所以OP=PB⋅PDBD=9×6 92+62=18 1313，
因为2 5≤OP≤18 1313，
所以2 59≤d9=OP9≤2 1313，
所以直线AB与平面PBD所成角正弦值的取值范围为[2 59,2 1313].
【解析】(1)连接DE，由PE⊥面ABD，推出PE⊥DE，PE⊥BE，又勾股定理得18BE−BE2−36=36−BE2，解得BE.
(2)连接AP，设点A到平面PBD的距离为d，则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为dAB=d9，由VP−ABD=VA−PBD，得13S△ABD⋅OP=13S△PBD⋅d，即d=OP，计算OP的取值范围，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要具备运算求解能力，属于中档题．第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
甲
0
2
1
0
3
0
2
1
2
4
乙
2
1
1
2
1
0
2
1
3
2