人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线随堂练习题，共9页。试卷主要包含了双曲线的性质等内容，欢迎下载使用。


知识点一 双曲线的性质
根据双曲线的标准方程研究它的几何性质．
1．范围
，即．
双曲线位于两条直线的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量的范围，由不等式，得，由，得.
提示
双曲线在直线与之间没有图象，当无限增大时，也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.
2．对称性
双曲线的图象关于轴、轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把轴、轴叫做双曲线的对称轴，原点叫做双曲线的对称中心，简称中心.
提示
（1）把双曲线标准方程中的换成，方程并没有发生变化，说明当点在双曲线上时，它关于轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线的图象关于轴成轴对称.
（2）同理，把双曲线标准方程中的换成，可以说明双曲线的图象关于关于轴成轴对称；把双曲线标准方程中的换成，换成，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称.
（3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.
（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.
3．顶点与实轴、虚轴
如图所示．

（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为，.
（2）线段叫做双曲线的实轴，线段叫做双曲线的虚轴.
（3）实轴长，虚轴长，分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.
拓展
双曲线中的几何意义及特征三角形：
（1）当双曲线焦点在轴上时，是半实轴长，是半虚轴长，且，所以以为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.
（2）当双曲线的焦点在轴上时，可得类似的结论.
4．渐近线
（1）渐近线画法：经过点，作轴的平行线，经过点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.
（2）渐近线方程：.
拓展
（1）双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.
（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
（3）与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为；与双曲线共焦点的双曲线方程可设为.
5．离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式.
（2）范围：.
由等式，得，因此越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.
提示
因为，，所以，，所以，在四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系.
知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线
1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长相等，离心率为.
2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；
（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距.
知识点三 直线与双曲线的位置关系
1. 直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.
（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.
（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.
2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.
3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.
考点一 由方程求双曲线的几何性质
例1 求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.
解：将双曲线化为，
可知半实轴长，半虚轴长，于是有，
所以焦点坐标为，离心率为，
渐近线方程为，即.
为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线，
且顶点坐标为，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取，算出.由题意，知点在双曲线上，将三点，，依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.

已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出的值，进而求出的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.
考点二 由双曲线的几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一个焦点为，且离心率为；
（2）渐近线方程为，且经过点 .
解：（1）由题意，知双曲线的焦点在轴上，且，由于，所以，.
故所求双曲线的标准方程为.
（2）因为双曲线的渐近线方程为，
若焦点在轴上，设所求双曲线标准方程为，则.（Ⅰ）
因为点在双曲线上，所以. （Ⅱ）
联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.
若焦点在轴上，设所求双曲线标准方程为，则.（Ⅲ）
因为点在双曲线上，所以. （Ⅳ）
联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得.
故所求双曲线的标准方程为.
当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为，则可设方程为，避免讨论焦点的位置.
考点三 双曲线的离心率
1．求离心率的值
例3 已知是双曲线的两个焦点，是经过且垂直与轴的双曲线的弦，如果,求双曲线的离心率.
解：设，将代入双曲线方程，得，所以.
由,,知,
所以，，所以.
即，解得或（舍去）.
故所求双曲线的离心率为.
求双曲线离心率的常用方法
（1）依据条件求出，计算；
（2）依据条件建立关于的关系式，一种方法是消去转化为关于的方程求解；另一种方法是消去转化为含的方程，求出后利用求解.
例4 设双曲线的焦距长为，直线过点，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .
解析：如图所示，在△OAB中，，，，.

因为,
所以，即，两边同除以，得，
解得或（舍去），
所以.
答案：2
本题利用等面积法得方程，此方程可称为关于的齐次方程，转化为以为变量的一元二次方程是求解的关键.
2．求离心率的范围
例5 双曲线的焦距为，直线过点，两点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围.
解：由题意，知直线的方程为，即.
因为点到直线的距离，点到直线的距离，
所以.
由，得，即.
于是得，即.解得.
因为，所以的取值范围是.
求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.
例6 双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是 .
解：由，消去，得到，
由题意知，，解得.
所以，所以.
答案： .
利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系.
考点四 直线与双曲线的位置关系
例7 已知双曲线及直线.若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数则的取值范围.
解：由，消去，得到，
由题意，知，
解得，且.
故实数的取值范围是.
直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.