备考2024届高考物理一轮复习讲义第五章万有引力与宇宙航行第1讲万有引力定律及应用考点2万有引力定律的理解与应用

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1.万有引力定律的理解及应用
（1）表达式：F＝[5] Gm1m2r2 ，其中G为引力常量，大小为6.67×10－11N·m2/kg2.
（2）适用条件：适用于相距很远，可以视为质点的物体之间的相互作用.质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离.
2.行星动力学规律
（1）天上：万有引力提供向心力，则GMmr2＝[6] ma ＝[7] mv2r ＝[8] mω2r ＝[9] m（2πT）2r .
（2）
地上不考虑自转：GMmR2＝mg⇒[10] GM＝gR2 考虑自转两极：GMmR2＝mg0赤道：GMmR2－FN＝mω2R，即GMmR2－mg赤＝mω2R一般位置：GMmR2等于mg与F向的矢量和越靠近两极，向心力越小，g越大
3.星体表面及上空的重力加速度
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝GMmR2，得g＝GMR2.
（2）地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g'：由mg'＝GMm（R＋h）2，得g'＝GM（R＋h）2，所以gg'＝（R＋h）2R2.
4.万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
推论2：均匀球体对球外质点的引力大小等于将均匀球体的全部质量集中在球心时，它与质点间的引力大小.
牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上经过研究得出了万有引力定律F＝Gm1m2r2，G为引力常量，判断下列说法的正误.
（1）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Gm1m2r2计算物体间的万有引力.（ ✕ ）
（2）地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心.（ √ ）
（3）两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.（ ✕ ）
（4）引力常量G是一个与任何天体质量无关的常量.（ √ ）
（5）牛顿利用扭秤比较准确地测出了引力常量.（ ✕ ）
牛顿发现了万有引力定律一百多年后，英国物理学家卡文迪什在实验室里通过测量几个铅球之间的引力，从而测出了引力常量G.
（1）如图为卡文迪什的实验示意图，他巧妙地利用了 扭秤 装置；
（2）卡文迪什测量引力常量的基础原理式为G＝ Fr2mm' .
解析 （1）卡文迪什巧妙地利用了扭秤装置，成功地测量出引力常量G.
（2）根据题图中所示，m、m'之间的万有引力为F，距离为r，由万有引力定律有F＝Gmm'r2，解得G＝Fr2mm'.
研透高考 明确方向
命题点1 万有引力定律的理解和简单计算
4.[2023山东]牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足F∝Mmr2.已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ C ）
A.30πrgB.30πgr
C.120πrgD.120πgr
解析 设地球质量为M，月球质量为m，地球半径为R，依题意有r＝60R，对月球绕地球做匀速圆周运动，有GMmr2＝m4π2T2r，对在地球表面附近的物体，有m0g＝GMm0R2，即GM＝gR2，解得月球绕地球公转的周期T＝120πrg，C正确.
命题点2 不同天体表面引力的比较与计算
5.[不同天体表面受力分析/2021山东]从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越.已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍.在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程.悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（ B ）
A.9：1B.9：2
C.36：1D.72：1
解析 在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受着陆平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力大小，则F祝＝GM火m祝R火2，F玉＝GM月m玉R月2，其中M火M月＝91，R火R月＝21，m祝m玉＝21，代入数据解得F祝：F玉＝9：2，故B正确，A、C、D错误.
命题点3 重力与万有引力的关系
6.[多选]由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（ BCD ）
A.质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C.地球的半径为（g0－g）T24π2
D.地球的密度为3πg0GT2（g0－g）
解析 因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，A错误；因在地球的两极有GMmR2＝mg0，则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为F＝GMmR2＝mg0，B正确；在地球赤道上有GMmR2－mg＝m4π2T2R，联立解得R＝(g0-g)T24π2，C正确；地球的密度为ρ＝M43πR3，联立解得ρ＝3πg0GT2(g0-g)，D正确.
命题点4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
7.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ A ）
A.1－dRB.1＋dR
C.（R－dR）2D.（RR－d）2
思维引导
质量分布均匀的球体（模型）可以看成无数个球壳（模型）的组合.球体内部某一点的重力加速度，可以等效为以球心到该点为半径的球体（如图中阴影部分的球体）表面的重力加速度.
解析 物体在地面上时的重力加速度可由mg＝Gρ·43πR3mR2得出.根据题中条件，球壳对其内部物体的引力为零，可知从地面到矿井底部的环形部分对矿井底部物体的引力为零，故对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的半径为R－d，矿井底部处重力加速度可由mg'＝Gρ·43 π(R-d)3m(R-d)2得出，故g'g＝R-dR，A正确.
命题拓展
命题条件不变，设置易错选项
[多选]若题设条件不变，下列有关物理过程说法正确的有（ AD ）
A.矿井底部和地面高h处的重力加速度大小之比为（R－d)(R＋h）2R3
B.从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做匀速直线运动
C.如果将小球放入地心，由万有引力定律公式计算引力巨大，会将小球拉碎
D.从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动
解析 地球的质量M＝ρV球＝ρ·43πR3，根据万有引力定律，可知在地面高h处有mg1＝GMm(R＋h)2，可得g1＝GM(R＋h)2.根据题意，可知在矿井底部，对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的质量为M1＝ρV'球＝ρ·43π(R－d)3，则有mg2＝GM1m(R-d)2，可得g2＝GM1(R-d)2，则有g2g1＝(R-d)(R＋h)2R3，A正确；靠近地心时重力加速度逐渐减小，所以从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动，B错误，D正确；万有引力定律公式成立的条件是两个物体可以看作质点，如果将小球放入地心，公式将不再成立，C错误.