2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一上学期教学测评月考（四）（12月）数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一上学期教学测评月考（四）（12月）数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∣−3A. (−3,3]B. (−1,1]C. [−1,3]D. (1,3]
2.命题“∀x≥ 3，x2≥3”的否定为
( )
A. “∀x≤ 3，x2≥3”B. “∃x< 3，x2<3”
C. “∀x≥ 3，x2<3”D. “∃x≥ 3，x2<3”
3.已知扇形的圆心角是60∘，半径为3，则扇形的面积为
( )
A. 60B. 120C. 2π3D. 3π2
4.在平面直角坐标系中，角α的终边经过点P−1, 3，则sinπ2−α=( )
A. −12B. − 32C. 32D. 12
5.已知0( )
A. 0a2
6.已知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)+g(x)=x2−x+1，则f(2)=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
7.已知函数f(x)=3cs2x−π3(x∈[0,π])，且fx1=fx2=65x1≠x2，则x1+x2=( )
A. 5π6B. 4π3C. 5π3D. 2π3
8.已知偶函数fx的定义域为R，若fx在0,+∞上单调递减且f1=3，则满足flg3x≤3的x的取值范围是
( )
A. 3,+∞B. 0,13C. 13,3D. 0,13∪3,+∞
9.已知命题p:x2−5x+4<0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是
( )
A. x≤1B. 110.已知sinα=− 53，且csα>0，则
( )
A. tanα<0B. sinα+csα>0C. tan2α>1D. α为第四象限角
11.已知函数f(x)=2sinxcsx+cs2x−π6，下列结论正确的是
( )
A. f(x)的最小正周期是π
B. f(x)的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ(k∈Z)
C. f(x)的图象关于点π12,0对称
D. 要得到g(x)= 3sin2x的图象，只需把f(x)的图象向左平移π6个单位
12.对任意两个实数a,b，定义mina,b=a,a≤bb,a>b，若fx=2−x2，gx=x，下列关于函数Fx=minfx,gx的说法正确的是
( )
A. 函数Fx是奇函数B. 方程Fx=0有三个解
C. 函数Fx在区间−1,1上单调递减D. 函数Fx有4个单调区间
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知x>0,y>0，且1x+4y=1，则x+y的最小值为．
14.已知命题p:若α,β为第二象限角，且α>β，则sinα>sinβ.能说明命题p为假命题的一组α,β的值可以是α= ，β= ．
15.设ω是正实数，已知函数f(x)=sinωx−csωx在区间(0,π)上恰有两个零点，则ω的最大值是．
16.已知函数f(x)=x2−2kx+6在[1,3]上的最大值为−10，则实数k的值为．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知tanα=3．
(1)求sin(π2+α)+3sin(−π−α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)的值；
(2)求sin2α−2sinαcsα的值．
18.已知集合A=x∣x2−x−6<0，B=x∣x2+2mx−3m2<0．
(1)若集合B={x∣−9(2)若m≥0，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19.已知α,β为锐角，tanα=34，cs(α+β)=− 55．
(1)求sin2α−cs2α的值；
(2)求tan(α−β)的值．
20.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，其中fx的图象与x轴的一个交点的横坐标为−π12．
(1)求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；
(2)求函数fx在区间−π2,π12上的最大值和最小值．
21.已知函数f(x)=x2+4x,x∈(−∞,0∪0,+∞．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)判断f(x)在(2,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)求f(x)在[−8,−2]上的值域．
22.已知函数f(x)=4x−a⋅2x．
(1)当a=2时，求f(x)在[−2,2]上的最值；
(2)设函数g(x)=f(x)+f(−x)，若g(x)存在最小值−11，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】用集合的交集运算求出即可．
【详解】集合A={x∣−3则A∩B={x∣−1故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】利用全称命题的否定形式判定即可．
【详解】命题“∀x≥ 3，x2≥3”的否定为：“∃x≥ 3，x2<3”.
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】因为扇形的圆心角是60∘，半径为3，所以扇形的面积S=60π×32360=3π2，
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算即可．
【详解】因为角α的终边经过点P−1, 3，则csα=−1 −12+ 32=−12，
故sinπ2−α=csα=−12．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】利用不等式的性质结合特殊值法一一判定即可．
【详解】取a=1.2，b=0.8，满足0因为0故选：C．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f(x)=−x，然后代入计算，即可得到结果．
【详解】根据题意，由f(x)+g(x)=x2−x+1①得f(−x)+g(−x)=x2+x+1，
因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，
所以−f(x)+g(x)=x2+x+1②，
由①②得2f(x)=−2x，所以f(x)=−x，
则f(2)=−2．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，由条件代入计算可得cs2x1−π3=25，cs2x2−π3=25，再由x∈[0,π]，代入计算，即可得到结果．
【详解】f(x)=3cs2x−π3(x∈[0,π])，且fx1=fx2=65x1≠x2，
则3cs2x1−π3=65，即cs2x1−π3=25，
同理可得，cs2x2−π3=25，
又x1，x2∈[0,π]，则2x1−π3∈−π3,5π3，2x2−π3∈−π3,5π3，
∵0<25<12，∴2x1−π3+2x2−π3=2×π，解得x1+x2=4π3．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可．
【详解】因为偶函数fx的定义域为R，且fx在0,+∞上单调递减，
所以fx在(−∞,0)上单调递增，
因为f1=3，所以f−1=3，所以flg3x≤3=f±1，
所以lg3x≥1或lg3x≤−1，解得x≥3或0所以x的取值范围是0,13∪3,+∞．
故选：D．
9.【答案】BC
【解析】【分析】由命题的充分不必要条件结合不等式解得．
【详解】由x2−5x+4<0，解得1则1故选：BC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】利用同角三角函数的关系及三角函数的符号一一判定选项即可．
【详解】∵sinα=− 53，csα>0，
∴csα= 1−sin2α=23，∴tanα=sinαcsα=− 52<0，故 A正确；
tan2α=54>1，故 C正确；
sinα+csα=2− 53<0，故 B错误；
因为sinα=− 53<0，且csα>0，所以α为第四象限角，故 D正确．
故选：ACD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】根据两角差的余弦公式及辅助角公式，进而结合正弦函数的性质及平移变换判断各选项即可．
【详解】∵f(x)=2sinxcsx+cs2x−π6=sin2x+cs2xcsπ6+sin2xsinπ6
=32sin2x+ 32cs2x= 3sin2x+π6，
对于A，f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故 A正确；
对于B，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ(k∈Z)，故 B正确；
对于C，当x=π12时，fπ12= 3sin2×π12+π6= 3sinπ3≠0，
∴f(x)的图象不关于点π12,0对称，故 C错误；
对于D，f(x)的图象向左平移π6个单位后，
解析式为fx+π6= 3sin2x+π6+π6= 3sin2x+π2= 3cs2x，故 D错误．
故选：AB．
12.【答案】BD
【解析】【分析】根据新定义的函数及函数的单调性与奇偶性结合函数的图象一一分析选项即可．
【详解】令x−2−x2=x2+x−2=(x+2)(x−1)<0，解得−1所以当−1所以Fx=minfx,gx=2−x2,x≤−1−x,−1作出函数y=Fx的图象，如图所示，
对于A，由图象可得关于y轴对称，所以Fx为偶函数，故 A错误；
对于B，因为y=Fx的图象与x轴有3个交点，
所以方程Fx=0有三个解，故 B正确；
对于C，由图象可知函数Fx在−1,1上不单调递减，故 C错误；
对于D，由图象可知函数Fx在−∞,−1和0,1上单调递增，
在−1,0和1,+∞上单调递减，所以函数Fx有4个单调区间，故D正确，
故选：BD．
13.【答案】9
【解析】【分析】根据题意，将原式化为x+y=x+y1x+4y，再由基本不等式，即可得到结果．
【详解】因为x>0,y>0，且1x+4y=1，
则x+y=x+y1x+4y=5+yx+4xy≥5+2 yx⋅4xy=9，
当且仅当yx=4xy时，即x=3,y=6时，等号成立，
所以x+y的最小值为9．
故答案为：9
14.【答案】83π ；；；2π3
【解析】【分析】只要找到一组满足题意的角即可．
【详解】取α=2π3+2π=8π3，β=2π3，则α>β，但sinα=sinβ，不满足sinα>sinβ，
∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α,β的值可以是α=8π3，β=2π3．
答案为：83π；2π3
15.【答案】94
【解析】【分析】先用辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的性质计算即可．
【详解】由f(x)=sinωx−csωx= 2sinωx−π4，
由x∈(0,π)，ω>0，所以ωx−π4∈−π4,ωπ−π4，
因为函数f(x)=sinωx−csωx在区间(0,π)上恰有两个零点，
则ωπ−π4∈(π,2π]，解得ω∈54,94．
故答案为：94
16.【答案】172 或8.5
【解析】【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数k的值．
【详解】函数f(x)=x2−2kx+6开口向上，对称轴x=k，区间[1,3]的中点x=2，
当k≤2时，|3−k|≥|1−k|，所以x=3离对称轴较远，所以f(x)max=f(3)=9−6k+6=−10，解得k=256>2，不符合k≤2；
当k>2时，|3−k|<1−k∣，所以x=1离对称轴较远，所以f(x)max=f(1)=1−2k+6=−10，解得k=172>2，符合条件.所以k的值为172．
故答案为：172
17.【答案】解：(1)∵tanα=3，
∴sin(π2+α)+3sin(−π−α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)
=csα+3sinα−sinα+csα=1+3tanα−tanα+1=1+3×3−3+1=−5；
(2)∵tanα=3，
∴sin2α−2sinαcsα=sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α
=tan2α−2tanαtan2α+1=32−2×332+1=310．
【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
(1)先利用诱导公式化简原式，再进行切化弦，后代入求值即可；
(2)利用同角三角函数基本关系式化简求值．
18.【答案】解：(1)因为B=x∣x2+2mx−3m2<0={x∣−9所以方程x2+2mx−3m2=0的两根分别为−9和3，
由韦达定理得−9+3=−2m,−9×3=−3m2,解得m=3．
所以实数m的值为3．
(2)由x2−x−6<0，得−2由于“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊂≠B，
当m=0时，B=x∣x2<0=⌀，此时A⊂≠B不成立；
当m>0时，B=x∣x2+2mx−3m2<0={x∣−3m因为A⊂≠B，则有−3m≤−2,m≥3,且等号不同时成立，解得m≥3，
综上所述，实数m的取值范围是[3,+∞)．

【解析】(1)根据题意，由一元二次不等式的解集，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，由条件可得A⊂≠B，然后分m=0与m>0讨论，代入计算，即可得到结果．
19.【答案】解：(1)∵α,β为锐角，tanα=34，
∴sinα=35，csα=45，
∴sin2α=2sinαcsα=2×35×45=2425，cs2α=2cs2α−1=2×45×45−1=725，
∴sin2α−cs2α=1725
(2)∵tanα=34，
∴tan2α=2tanα1−tan2α=2×341−916=247，
∵α,β为锐角，
∴0<α+β<π，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−15=2 5，tan(α+β)=sin(α+β)cs(α+β)=2 5− 55=−2，
∴tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]=tan2α−tan(α+β)1+tan2α⋅tan(α+β)=247+21−247×2=−3841．

【解析】(1)利用同角三角函数的关系及二倍角的正弦余弦公式即可求解；
(2)根据二倍角正切公式及同角三角函数的关系，利用凑配法及两角差的正切公式即可求解．
20.【答案】解：(1)由图知 A=2 ，最小正周期 T=4×π6−(−π12)=π ， ∴ω=2πT=2 ，
fπ6=2sin(2⋅π6+φ)=2,0<φ<π2,∴φ=π6 ，
∴fx=2sin(2x+π6) ，
由 2x+π6∈−π2+2kπ,π2+2kπ (k∈Z)，
得 x∈ kπ−π3,kπ+π6(k∈Z) ，
故 fx 的递增区间是 kπ−π3,kπ+π6(k∈Z)．
(2)当x∈−π2,π12 时， 2x+π6∈[−5π6,π3] ，则f(x)∈[−2, 3] ，
∴fx 在区间 −π2,π12 上的最大值是 3 ，最小值是−2．

【解析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，求正弦型函数的单调区间、最值，属于一般题．
(1)由函数的部分图象求出参数的值，可得解析式，然后结合正弦函数的单调性可得解；
(2)由x的范围求出2x+π6的范围，再结合正弦函数的图象可得解．
21.【答案】解：(1)函数f(x)是奇函数，
f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
因为f(−x)=(−x)2+4−x=x2+4−x=−f(x)，所以f(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数．
(2)f(x)在(2,+∞)上为增函数．
证明：任取x1>x2>2，则fx1−fx2=x12+4x1−x22+4x2
=x12+4x2−x22+4x1x1x2=x12x2+4x2−x22x1−4x1x1x2
=x1x2x1−x2+4x2−x1x1x2=x1−x2x1x2−4x1x2，
因为x1>x2>2，所以x1x2>0，x1−x2>0，x1x2−4>0，
则fx1−fx2>0，即fx1>fx2，故f(x)在(2,+∞)上为增函数．
(III)结合(1)(2)知f(x)在(−∞,−2]上为增函数，
即f(x)在[−8,−2]上单调递增，
当x=−8时，f(x)取得最小值，且最小值为f(−8)=64+4−8=−172；
当x=−2时，f(x)取得最大值，且最大值为f(−2)=4+4−2=−4，
故f(x)在[−8,−2]上的值域为−172,−4．

【解析】略
22.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=4x−2⋅2x=2x2−2⋅2x，
设t=2x∈14,4，则ℎ(t)=t2−2t，开口向上，对称轴t=1，
所以函数ℎ(t)在14,1上单调递减，(1,4]上单调递增，
所以ℎ(t)min=ℎ(1)=−1，ℎ(t)max=ℎ(4)=8，
所以f(x)在[−2,2]上的最小值为−1，最大值为8．
(2)g(x)=f(x)+f(−x)=4x−a⋅2x+4−x−a⋅2−x
=4x+4−x−a⋅2x+2−x=2x+2−x2−a⋅2x+2−x−2，
设λ=2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2，当且仅当2x=2−x，即x=0时取得等号，
所以y=λ2−aλ−2，λ∈[2,+∞)，对称轴λ=a2．
当a2≤2，即a≤4时，y=λ2−aλ−2，在[2,+∞)上单调递增，
则当λ=2时，ymin=2−2a=−11，解得a=132，不满足题意；
当a2>2，即a>4时，y=λ2−aλ−2在2,a2上单调递减，a2,+∞上单调递增，
所以λ=a2时，ymin=−a24−2=−11，解得a=6或a=−6(舍去)，
综上，实数a的值为6．

【解析】(1)根据题意，设t=2x∈14,4，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，令λ=2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果．