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2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，并否定结论.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C
2．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合并补运算即可求得.
【详解】，，所以，
所以，
故选：B.
3．已知是定义在上的函数，那么“在上单调递减”是“函数在上的最小值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数的单调性与最值的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由函数在上单调递减，则函数在上的最小值为，
所以充分性成立；
反之：函数在上的最小值为，但函数在上不一定为单调递减函数，所以必要性不成立，
所以函数在上单调递减是在上单调递减的充分不必要条件.
故选：A.
4．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】选项A可用二次函数的性质求值域，选项B可以变形后根据x的取值范围得到y的取值范围，进一步得到值域，选项C变形后利用基本不等式得到值域，选项D根据函数的单调性得到值域.
【详解】对于选项A，，所以的值域是，
对于选项B，，因为，所以，故的值域为，
对于选项C，因为，所以，当且仅当时取等号，故 的值域为，
对于选项D，在上单调递增，所以的值域为.
故选：D
5．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性及，比较出大小关系.
【详解】因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
6．给定函数.，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．-3B．2C．3D．
【答案】B
【分析】先求得的解析式，结合图象求得的最大值.
【详解】令，解得，
所以，
由图象可得：在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值为.
故选：B.
7．函数满足：，，当时，，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，作出示意图，结合图象利用符号法解不等式即可.
【详解】因为，所以在上为偶函数，
又，当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以，示意图如图：
由图象可知：时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则.
综上，的解集为.
故选：C.
8．“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数.的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由奇函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】，
由奇函数的定义可知，，所以，
所以有，
整理得：，所以有
解得：，，所以的对称中心为.
故选：A.
二、多选题
9．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】CD
【分析】根据“定义域和对应关系相同即为同一函数”进行判断，就可以得到答案.
【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
对于选项B，，，对应关系不同，故不是同一函数；
对于选项C，定义域为，定义域为，定义域和对应关系都相同，故为同一函数；
对于选项D，，定义域为，两个函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数.
故选：CD
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对于A：若，则满足，此时，A错误；
对于B：若，则，所以，B正确；
对于C：若，，所以，所以，C正确；
对于D：若，则不等式同乘，则，同乘，则，所以，D正确，
故选：BCD
11．函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．是偶函数D．，
【答案】AC
【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.
【详解】，，，A正确；
，则的值域为，B错误；
时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确；
时，取，此时，，则，D错误.
故选：AC
12．已知是定义在上的奇函数， 是定义在上的偶函数，且， 在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且两函数在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为是定义在上的奇函数，所以，
对于A，，由在上单调递增，得，
所以，
但因为与的大小无法判断，
所以与的大小无法判断，所以A错误；
对于B，，
因为在上单调递减，所以，因为，
所以，即，
而在上单调递减，所以，
即，故B正确；
对于C选项，因为在上单调递增，所以，
因为在上单调递减，所以，故C正确；
对于D选项，因为在上单调递减，所以，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
三、填空题
13．已知是定义在上的奇函数，当时， 则
【答案】
【分析】由求解即可.
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：
14．函数的定义域为
【答案】
【分析】要使函数有意义，只要即可．
【详解】要使函数有意义，
须满足，
解得且，
故函数的定义域为．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题，若函数解析式为偶次根式，被开方数大于等于0；若解析式为分式，分母不为0．
15．已知函数 若 ，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数a的取值范围.
【详解】因为时，单调递增，且，
因为时，单调递增，，
所以在上单调递增，因为，
所以，所以.
故答案为：
16．某运输公司计划租地建造自己的物流仓库，记仓库到车站距离为 （单位：km），经过调查可知，每月土地占用费（单位：万元） 与 成反比，每月货物运输费 （单位：万元） 与 成正比，若在距离车站3km处建仓库，则和分别为12万元和2万元，则这家公司把仓库建在距离车站 km处时，两项费用之和最小.
【答案】8
【分析】先按实际情况利用待定系数法建立相应函数模型，再根据特殊情况代入求参，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，
∴可设，，
∵每月货物运输费（单位：万元）与成正比，
∴可设，，
又∵在距离车站处建仓库时，与分别为12万元和2万元，
即时，，
∴代入函数可得，，，
∴，，，
∴，
当且仅当时，即时，“”成立.
故答案为：8.
四、计算题
17．（1）计算： ；
（2）已知：， 求 的值.
【答案】（1）；（2）2
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为，，所以，，
所以.
五、问答题
18．已知集合
(1)若， 求；
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解分式不等式化简集合A，把代入，再利用交集的定义求解即得.
（2）利用（1）的信息，再利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解即得.
【详解】（1）解不等式，得，解得，即，
当时，集合，
因此.
（2）由是的充分条件，得，于是，解得，
所以的取值范围是.
六、证明题
19．已知 是 上的奇函数.
(1)求的值，并用定义证明： 在上单调递减；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，证明见解析
(2).
【分析】（1）根据奇函数性质，结合已知条件可解；根据单调性的证明步骤逐步证明即可；
（2）转化为在上恒成立，求在的最大值即可.
【详解】（1）由题意可知：，得：，经验证得，当时，为奇函数；
所以，对，不妨设，
，
∵，∴，，
则，
因此在上单调递减.
（2）在上恒成立，即在上恒成立，
所以.
因为在上单调递减，且为上的奇函数，
所以为上单调递减，
所以，所以.
七、应用题
20．杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】(1)
(2)时有最小值，最小值为.
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
八、问答题
21．不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使 成立，则称为的不动点. 已知二次函数.
(1)若 讨论不动点的个数；
(2)若为两个相异的不动点，且求 的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)6
【分析】（1）确定，考虑，，三种情况，计算得到答案.
（2）根据两个正数根得到，再根据根与系数的关系得到，换元，整理化简利用均值不等式计算得到最值.
【详解】（1）函数的不动点，即为的实数根，
时，，.
时，即，不存在不动点；
时，即或时，有1个不动点；
时，即时，有2个不动点.
综上所述：
时，不存在不动点；
或时，有1个不动点；
时，有2个不动点.
（2）有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以解得：，
所以，，
所以.
令，，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以的最小值为6.
22．已知函数对任意，恒有，且当时，.
(1)证明：函数为奇函数；
(2)求的值；
(3)时，成立，求实数的取值范围
【答案】(1)证明见解析
(2)-2024
(3)
【分析】（1）通过赋值法及奇偶性的定义即可证明.
（2）令得，再结合抽象函数法则化简求值即可.
（3）先根据单调性的定义得在上单调递减，然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立，构造函数，利用函数的单调性求得最值即可求解.
【详解】（1）因为，都有，
所以令，有，解得.
令，有，
所以，所以为奇函数.
（2）令时，有，所以，
.
（3）不妨设，因为时，，所以，
所以，所以在上单调递减.
因为在上单调递减，所以时，，
，时，，
即时，所以，即在上恒成立.
设，，由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，所以，得.
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，并否定结论.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C
2．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合并补运算即可求得.
【详解】，，所以，
所以，
故选：B.
3．已知是定义在上的函数，那么“在上单调递减”是“函数在上的最小值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数的单调性与最值的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由函数在上单调递减，则函数在上的最小值为，
所以充分性成立；
反之：函数在上的最小值为，但函数在上不一定为单调递减函数，所以必要性不成立，
所以函数在上单调递减是在上单调递减的充分不必要条件.
故选：A.
4．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】选项A可用二次函数的性质求值域，选项B可以变形后根据x的取值范围得到y的取值范围，进一步得到值域，选项C变形后利用基本不等式得到值域，选项D根据函数的单调性得到值域.
【详解】对于选项A，，所以的值域是，
对于选项B，，因为，所以，故的值域为，
对于选项C，因为，所以，当且仅当时取等号，故 的值域为，
对于选项D，在上单调递增，所以的值域为.
故选：D
5．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性及，比较出大小关系.
【详解】因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
6．给定函数.，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．-3B．2C．3D．
【答案】B
【分析】先求得的解析式，结合图象求得的最大值.
【详解】令，解得，
所以，
由图象可得：在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值为.
故选：B.
7．函数满足：，，当时，，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，作出示意图，结合图象利用符号法解不等式即可.
【详解】因为，所以在上为偶函数，
又，当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以，示意图如图：
由图象可知：时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则.
综上，的解集为.
故选：C.
8．“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数.的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由奇函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】，
由奇函数的定义可知，，所以，
所以有，
整理得：，所以有
解得：，，所以的对称中心为.
故选：A.
二、多选题
9．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】CD
【分析】根据“定义域和对应关系相同即为同一函数”进行判断，就可以得到答案.
【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
对于选项B，，，对应关系不同，故不是同一函数；
对于选项C，定义域为，定义域为，定义域和对应关系都相同，故为同一函数；
对于选项D，，定义域为，两个函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数.
故选：CD
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对于A：若，则满足，此时，A错误；
对于B：若，则，所以，B正确；
对于C：若，，所以，所以，C正确；
对于D：若，则不等式同乘，则，同乘，则，所以，D正确，
故选：BCD
11．函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．是偶函数D．，
【答案】AC
【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.
【详解】，，，A正确；
，则的值域为，B错误；
时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确；
时，取，此时，，则，D错误.
故选：AC
12．已知是定义在上的奇函数， 是定义在上的偶函数，且， 在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且两函数在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为是定义在上的奇函数，所以，
对于A，，由在上单调递增，得，
所以，
但因为与的大小无法判断，
所以与的大小无法判断，所以A错误；
对于B，，
因为在上单调递减，所以，因为，
所以，即，
而在上单调递减，所以，
即，故B正确；
对于C选项，因为在上单调递增，所以，
因为在上单调递减，所以，故C正确；
对于D选项，因为在上单调递减，所以，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
三、填空题
13．已知是定义在上的奇函数，当时， 则
【答案】
【分析】由求解即可.
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：
14．函数的定义域为
【答案】
【分析】要使函数有意义，只要即可．
【详解】要使函数有意义，
须满足，
解得且，
故函数的定义域为．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题，若函数解析式为偶次根式，被开方数大于等于0；若解析式为分式，分母不为0．
15．已知函数 若 ，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数a的取值范围.
【详解】因为时，单调递增，且，
因为时，单调递增，，
所以在上单调递增，因为，
所以，所以.
故答案为：
16．某运输公司计划租地建造自己的物流仓库，记仓库到车站距离为 （单位：km），经过调查可知，每月土地占用费（单位：万元） 与 成反比，每月货物运输费 （单位：万元） 与 成正比，若在距离车站3km处建仓库，则和分别为12万元和2万元，则这家公司把仓库建在距离车站 km处时，两项费用之和最小.
【答案】8
【分析】先按实际情况利用待定系数法建立相应函数模型，再根据特殊情况代入求参，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，
∴可设，，
∵每月货物运输费（单位：万元）与成正比，
∴可设，，
又∵在距离车站处建仓库时，与分别为12万元和2万元，
即时，，
∴代入函数可得，，，
∴，，，
∴，
当且仅当时，即时，“”成立.
故答案为：8.
四、计算题
17．（1）计算： ；
（2）已知：， 求 的值.
【答案】（1）；（2）2
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为，，所以，，
所以.
五、问答题
18．已知集合
(1)若， 求；
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解分式不等式化简集合A，把代入，再利用交集的定义求解即得.
（2）利用（1）的信息，再利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解即得.
【详解】（1）解不等式，得，解得，即，
当时，集合，
因此.
（2）由是的充分条件，得，于是，解得，
所以的取值范围是.
六、证明题
19．已知 是 上的奇函数.
(1)求的值，并用定义证明： 在上单调递减；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，证明见解析
(2).
【分析】（1）根据奇函数性质，结合已知条件可解；根据单调性的证明步骤逐步证明即可；
（2）转化为在上恒成立，求在的最大值即可.
【详解】（1）由题意可知：，得：，经验证得，当时，为奇函数；
所以，对，不妨设，
，
∵，∴，，
则，
因此在上单调递减.
（2）在上恒成立，即在上恒成立，
所以.
因为在上单调递减，且为上的奇函数，
所以为上单调递减，
所以，所以.
七、应用题
20．杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】(1)
(2)时有最小值，最小值为.
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
八、问答题
21．不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使 成立，则称为的不动点. 已知二次函数.
(1)若 讨论不动点的个数；
(2)若为两个相异的不动点，且求 的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)6
【分析】（1）确定，考虑，，三种情况，计算得到答案.
（2）根据两个正数根得到，再根据根与系数的关系得到，换元，整理化简利用均值不等式计算得到最值.
【详解】（1）函数的不动点，即为的实数根，
时，，.
时，即，不存在不动点；
时，即或时，有1个不动点；
时，即时，有2个不动点.
综上所述：
时，不存在不动点；
或时，有1个不动点；
时，有2个不动点.
（2）有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以解得：，
所以，，
所以.
令，，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以的最小值为6.
22．已知函数对任意，恒有，且当时，.
(1)证明：函数为奇函数；
(2)求的值；
(3)时，成立，求实数的取值范围
【答案】(1)证明见解析
(2)-2024
(3)
【分析】（1）通过赋值法及奇偶性的定义即可证明.
（2）令得，再结合抽象函数法则化简求值即可.
（3）先根据单调性的定义得在上单调递减，然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立，构造函数，利用函数的单调性求得最值即可求解.
【详解】（1）因为，都有，
所以令，有，解得.
令，有，
所以，所以为奇函数.
（2）令时，有，所以，
.
（3）不妨设，因为时，，所以，
所以，所以在上单调递减.
因为在上单调递减，所以时，，
，时，，
即时，所以，即在上恒成立.
设，，由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，所以，得.
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