【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题09正弦定理（5种题型）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
题型一：已知三角形两角及一边解三角形
题型二：已知三角形两边及一边的对角解三角形
题型三：判断三角形形状的判断
题型四：求三角形面积
题型五：正弦定理的实际应用
如图，在半径为的圆中，作直径，在圆周上任取异于、两点的一点点，连接、，在中将角、及所对边的边长分别记作、及，则，并且.
在中，，
，.
故可得（为外接圆半径）
以上是初三我们学习的直角三角形的求解问题，但在我们高中阶段所遇到的三（xia）角（guai）形（shu）往往不再是直角三角形，而是“进化”为斜三（da）角（guai）形（shu）.
【Attentin】斜三角形=锐角三角形+钝角三角形.
在三角形的三个角和三条边这6个元素中，经常会遇到已知其中三个元素（至少有一个元素为边长）求其他元素的问题，这称为解三角形. 为此，需要知道边和角之间的数量关系，从而有了今天我们要学习的正弦定理.
如图，在斜（钝角）中，
同理可得
由此可知，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为
.
将上式同时除以，就得到，即.
这样，我们就得到了正弦定理：在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比值相等，即
（为外接圆半径）
换言之
，，.
题型一：已知三角形两角及一边解三角形
【例1】在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解这个三角形。
【解析】在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cs 30°＋cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2)\r(3)＋1,4)；
根据正弦定理，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(2sin 60°,sin 75°)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),\f(\r(2)\r(3)＋1,4))＝eq \r(6)(eq \r(3)－1)＝3eq \r(2)－eq \r(6)，
所以b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(2sin 45°,sin 75°)＝eq \f(2×\f(\r(2),2),\f(\r(2)\r(3)＋1,4))＝2(eq \r(3)－1)；
【变式】在中，已知，，，解这个三角形.
【解析】在中，
由正弦定理，得
解得，
题型二：已知三角形两边及一边的对角解三角形
【例2】在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解这个三角形；
【解析】因为，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，所以，sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(6)×sin 45°,2)＝eq \f(\r(3),2)，
则，C＝60°或C＝120°；
当C＝60°时，B＝75°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°)＝eq \r(3)＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°)＝eq \r(3)－1.
所以，b＝eq \r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq \r(3)－1，B＝15°，C＝120°；
【变式】在中，已知，，，解这个三角形.
【解析】由正弦定理，得或
①时，，由，得
②时，，由，得
题型三：判断三角形形状的判断
【例3】在△ABC中，acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，判断△ABC的形状。
【答案】等腰三角形；
【解析】方法1、（化角为边）
因为，acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，所以，asin A＝bsinB．由正弦定理可得，a·eq \f(a,2R)＝b·eq \f(b,2R)，
则a2＝b2，所以，a＝b，所以，△ABC为等腰三角形；
方法2：（化边为角）
因为， acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，所以，asin A＝bsinB．
由正弦定理可得，2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，所以，A＝B；(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形；
【变式1】在中，已知，判断的形状.
【解析】方法一： 方法二：
由正弦定理，得 由正弦定理，得
又，
或（舍） 故为等腰三角形
故，即为等腰三角形
【变式2】在中，已知，，判断的形状.
【答案】等腰直角三角形
【提示】
【变式3】. 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状.
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】由题设，，则，即
1° 若，则△ABC是等腰三角形；2°若，则△ABC是直角三角形
题型四：求三角形面积
【例5】 已知△ABC的外接圆半径为2，若，设AB的边长为，求△ABC的面积.
【答案】或
【解析】由题设，则
1° 若，则.
2° 若，则.
【变式1】. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积 .
【答案】6
【解析】∵，由，，∴，，
∴.
由正弦定理，得，解得，故△ABC的面积.
【变式2】. 在△ABC中，∠A＝60°，. （1）求的值；（2）若，求△ABC的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，由正弦定理可得.
（2）若，则，∴，∵，又由（1）可得，
∴，
∴.
题型五：正弦定理的实际应用
【例5】. 2020年新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离. 某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界用固定髙度的板材围城一个 封闭隔离区，经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.
（1）若∠ADC＝105°，求BC的长；（结果精确到米）
（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）
【答案】（1）163.3；（2）630.9
【解析】（1）连结BD，由题设，△ABD是等边三角形，则
在△BCD中，，解得米
（2）设，则
在△BCD中，，则，
设需要y米长的板材
则
当时，米
【变式】. 在地面上一点A测得一电视塔塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100米，测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔的高度为 米（精确到0.1米）.
【答案】236.6
【解析】如图，，，
在△ABC中，，解得
则
一、填空题
1、在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝
【答案】eq \f(5,9)；
【解析】在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(1,3),3)＝eq \f(5,9)；
2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝eq \r(3)bsin A，则sin B＝
【答案】eq \f(\r(3),3)；
【解析】由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝eq \r(3)sin Bsin A，故sin B＝eq \f(\r(3),3)；
3、在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是
【答案】eq \f(7,5)；
【解析】由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5；
4、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是 三角形
【答案】直角；
【解析】由题意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形；
5、已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC边长为________．
【答案】2eq \r(3)；
【解析】因为eq \f(BC,sin A)＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2eq \r(3).
6、在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(13)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)等于
【答案】eq \f(2\r(39),3)；
【解析】 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(13),sin 60°)＝eq \f(2\r(39),3)；
7、在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于 .
【答案】2eq \r(3)；
【解析】在△ABC中，根据正弦定理，得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，所以eq \f(4,sin B)＝eq \f(2\r(3),sin 60°)，
解得sin B＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，
所以△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)·AC·BC·sin C＝2eq \r(3)；
8、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
【答案】eq \f(21,13)；
【解析】在△ABC中由cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13)；
9、下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）；
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
【答案】④；
【解析】①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确；
10、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为
【答案】；
【解析】由余弦定理得 ，
即，得，由正弦定理得；
11、在△ABC中，a＝2bcs C，则这个三角形一定是 三角形
【答案】等腰；
【解析】由a＝2bcs C，得sin A＝2sin Bcs C，∴sin(B＋C)＝2sin Bcs C，
∴sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形；
12、在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC是________三角形．
【答案】直角；
【解析】由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2，所以△ABC是直角三角形；
二、选择题
13、在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs C,c)，则C的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B；
【解析】由正弦定理得，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c)＝eq \f(cs C,c)，则cs C＝sin C，即C＝45°，故选B；
14、在△ABC中，b＋c＝eq \r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A．b＝1，c＝eq \r(2) B．b＝eq \r(2)，c＝1 C．b＝eq \f(\r(2),2)，c＝1＋eq \f(\r(2),2) D．b＝1＋eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),2)
【答案】A；
【解析】 因为，eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(2)＋1,sin 45°＋sin 30°)＝2，所以，b＝1，c＝eq \r(2)；
15、在△ABC中，若，则C的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【解析】由正弦定理可将变形为.
16、在△中，，，，则满足条件的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不确定
【答案】C
【解析】因为，，，所以，所以三角形有两个解，
即满足条件的有2个；故选：C.
三、解答题
17、已知b＝10，c＝5eq \r(6)，C＝60°，解三角形．
【解析】∵sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(10sin 60°,5\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，且b∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
∴a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(10sin 75°,sin 45°)＝eq \f(10×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝5(eq \r(3)＋1).
18、在△ABC中，若b＝5，B＝eq \f(π,4)，tan A＝2，求c的值．
【解析】由tan A＝2，知sin A＝eq \f(2,\r(5))，cs A＝eq \f(1,\r(5))，
则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(2,\r(5))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,\r(5))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,\r(10))；
在△ABC中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)知，eq \f(5,\f(\r(2),2))＝eq \f(c,\f(3,\r(10)))，
解得c＝3eq \r(5)；
19、在△ABC中，已知c＝10，eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，求a，b及△ABC的内切圆半径
【解析】由正弦定理知eq \f(sin B,sin A)＝eq \f(b,a)，所以，eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(sin B,sin A)；
即sin Acs A＝sin Bcs B，∴sin 2A＝sin 2B.
又因为，a≠b且A，B∈(0，π)，所以，2A＝π－2B，即A＋B＝eq \f(π,2)，所以，△ABC是直角三角形且C＝eq \f(π,2)，
再由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝102，,\f(b,a)＝\f(4,3)，))得a＝6，b＝8；所以，内切圆的半径为r＝eq \f(a＋b－c,2)＝eq \f(6＋8－10,2)＝2；
20、在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，求：△ABC的两边AC＋AB的取值范围；
【答案】(3，6]
【解析】因为，A＝eq \f(π,3)，∴B＋C＝eq \f(2,3)π，所以，
AC＋AB＝eq \f(BC,sin A)(sin B＋sin C)＝eq \f(3,\f(\r(3),2))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－B))))＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)sin B＋\f(\r(3),2)cs B))＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))，
又因为 B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，所以，B＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5,6)π))，结合单位圆与三角函数线，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
所以，AC＋AB∈(3，,6]；
21、在△ABC中，已知eq \f(a＋b,a)＝eq \f(sin B,sin B－sin A)，且cs(A－B)＋cs C＝1－cs 2C.
（1）试确定△ABC的形状；
（2）求eq \f(a＋c,b)的取值范围．
【答案】（1）直角三角形；（2）(1，eq \r(2) )；
【解析】（1）在△ABC中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)，
代入eq \f(a＋b,a)＝eq \f(sin B,sin B－sin A)，得eq \f(a＋b,a)＝eq \f(b,b－a)，所以b2－a2＝ab.①
因为cs(A－B)＋cs C＝1－cs 2C，所以cs(A－B)－cs(A＋B)＝2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C.
由正弦定理，得eq \f(a,2R)·eq \f(b,2R)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))eq \s\up12(2)，所以ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2，
所以△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知B＝eq \f(π,2)，所以A＋C＝eq \f(π,2)，所以C＝eq \f(π,2)－A，
所以sinC＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝csA；
根据正弦定理，得eq \f(a＋c,b)＝eq \f(sin A＋sin C,sin B)＝sin A＋cs A＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))，
因为ac所以0＜A＜eq \f(π,4)，所以eq \f(π,4)＜A＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)，所以eq \f(\r(2),2)＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))<1，所以1＜eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))即eq \f(a＋c,b)的取值范围是(1，eq \r(2))；