【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题06+等差数列及其前n项和8种常见考法归类-练习.zip

专题06 等差数列及其前n项和8种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、利用定义及前n项和求等差数列的通项公式 (一)利用定义求通项 (二)利用前n项和求通项 考点二、等差数列的基本量的计算 (一)等差数列通项公式及其应用 (二)等差数列前n项和的有关计算 (三)与数学文化的结合 考点三、等差数列的判定与证明 考点四、等差数列性质的应用 (一)等差中项的应用 (二)利用等差数列性质计算及应用 考点五、等差数列前n项和的性质 (一)等差数列前n项和与中项性质 (二)等差数列片段和的性质 (三)等差数列前n项和与n的比值问题 (四)两个等差数列前n项和的比值问题 考点六、等差数列前n项和的最值问题 考点七、等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题 (一)等差数列偶数项或奇数项的和 (二)含绝对值的等差数列的前n项和 考点八等差数列的综合问题 知识点1 等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． (3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列. 2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 3.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 4.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2. 知识点2 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 知识点3 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 知识点4 等差数列的前n和公式 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，)) ⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，)) 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． （2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5(　))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； 知识点5 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)； 1.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用． (4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 2.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 3.等差数列的判定与证明方法 4.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)； 5.求等差数列前n项和最值的常用方法 （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； （3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. （4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 考点剖析 考点一、利用定义及前n项和求等差数列的通项公式 (一)利用定义求通项 1.若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果. 【详解】因为， 所以数列是等差数列，公差为1， 所以. 故选：B 2.在数列中，，，，则18是数列中的（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由，得是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，令，解得， 所以18是数列中的第5项． 故选：C 3.数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记，可证明是等差数列，先求解，再代入求解即可. 【详解】记，则，， 故数列是以为首项，公差的等差数列，故， 故. 故选：B 4.已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可. 【详解】∵a1 = 1，－ = 1， ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴，即， ∴（）. 当时，也适合上式，. 故选：A. 5.已知数列满足，则（    ） A．9 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由数列满足，可得，即， 因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 故选：B. 利用前n项和求通项 6.设为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式，即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 验证，当时，， 所以. 故选：A 7.已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知和求通项公式：进行计算. 【详解】当时， 当时， 故选：C 8.【多选】数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答. 【详解】数列的前项和，当时，， 而满足上式，所以，B正确； 数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A不正确； 当时，，C正确； 当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负， 因此当或4时，取得最大值，D正确. 故选：BCD 9.已知正项数列的前n项和为，且，则（    ） A．4045 B．4042 C．4041 D．4040 【答案】A 【分析】根据与的关系，由的的递推关系式，由时，确定首项，即可得，于是能求解的值. 【详解】解：∵    ①， ∴当时，   ②， ①-②得， ∵，∴，∴， ∴当时，，解得 ∴是首项为1，公差为2的等差数列，则，于是有． 故选：A． 10.设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列D．－5050 【答案】A 【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D. 【详解】是数列的前n项和，且， 则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故． 所以当时，－，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确． 故选：A. 考点二、等差数列的基本量的计算 等差数列通项公式及其应用 11.已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意列出方程组，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 依题得，解得. 故选：D 12.等差数列中，，，则的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，解得， 所以. 故选：A 13.已知{an}是等差数列，且，则该数列的公差是（    ） A．3 B． C．－4 D．－14 【答案】A 【分析】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得关于和 d的方程组. 【详解】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得： . 故选：A 14.在数列中，，且数列是等差数列，则（    ） A．16 B． C．19 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义与性质运算求解. 【详解】由题意可得：， 设数列为的公差，则，即， 故，解得. 故选：B． 15.【多选】已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（    ） A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2 C．2，5，8，11 D．11，8，5，2 【答案】AB 【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可 【详解】设这四个数分别为，，，， 则解得或 所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2. 故选：AB 16.已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（    ） A．28 B．26 C．14 D．13 【答案】B 【分析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于，再由前项和为，求得的值. 【详解】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于， 再由前项和为， 解得， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于简单题目. 等差数列前n项和的有关计算 17.等差数列的前项和，，则（    ） A．9 B．12 C．30 D．45 【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算． 【详解】是等差数列， ∴，，， ，， ． 故选：D． 18.已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：D 19.若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，设等差数列的公差为，进而建立方程组求解得，再计算即可. 【详解】解：根据题意，设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以. 故选：D 与数学文化的结合 20.在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【答案】C 【分析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，， 解得，所以丁有钱. 故选：C 21.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （   ） A．28 B．32 C．35 D．42 【答案】C 【分析】该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，进而得，再解方程，并计算前项和即可. 【详解】解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为， 设其每日增加的尺数为，其前项和为， 所以，，即，解得，， 所以，她前七日共织布尺. 故选：C 22.疫情防控期间，某单位把110个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和与较小的两份之和的比为9：2，则最小一份的口罩个数为（    ） A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知， ，① ，② 解得， 所以最小一份的口罩个数为6个， 故选：A． 23.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（    ） A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺 【答案】A 【分析】结合等差数列的知识求得正确答案. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 依题意，，即， 解得，所以尺. 故选：A 考点三、等差数列的判定与证明 24.【多选】已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．的通项公式为 C．为等比数列 D．的前n项和 【答案】AB 【分析】由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为，所以，又， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，， 故A正确，C错误； 所以，故B正确； 因为，所以的前项和， 故D错误. 故选：AB. 25.已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可； (2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）为常数 ∴是以为公差的等差数列． （2）∵，∴由（1）得， ∴，∴， ∴. 26.已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. 【详解】（1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 27.已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由递推公式可得，即可证明数列是等差数列，由等差数列定义即可求得； （2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得数列的前n项和. 【详解】（1）当时，由可得，易知； 两边同时取倒数可得， 即， 由等差数列定义可得是以为首项，公差的等差数列， 所以， 即，可得， 显然时，符合上式， 即的通项公式为； （2）由（1）可得， 所以， ， 两式相减可得 ， 所以 考点四、等差数列性质的应用 等差中项的应用 28.若是与的等差中项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案. 【详解】由题意知是与的等差中项， 故，则. 故选：D 29.设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的公差（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】根据等差数列的求和公式及等差中项化简求值即可. 【详解】，，成等差数列，且， ， ， 解得． 故选：D． 30.在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值. 【详解】由韦达定理和等差中项的性质可得， 因此，. 故选：A. 31.在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得等差数列中的值，再利用三角函数诱导公式即可求得的值. 【详解】等差数列中，，则， 则 故选：D 利用等差数列性质计算及应用 32.在等差数列中，已知，则______． 【答案】20 【分析】运用等差中项的性质即可求解. 【详解】∵为等差数列， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20. 33.在等差数列中，，则的值为（    ） A． B．11 C．22 D．33 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知：，而， 所以，即. 故选：B. 34.已知为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，∴，解得， ∴， 故选：B 35.已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【答案】C 【分析】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求. 【详解】由等差数列性质，数列为等差数列，若，， 则， 因为数列为等差数列，， 所以，又， 所以， 因为数列为等差数列，， 所以， 故选：C. 考点五、等差数列前n项和的性质 等差数列前n项和与中项性质 36.已知等差数列的前项和为，若，则=（    ） A．96 B．72 C．48 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为是等差数列，故可得：， 所以. 故选：B. 37.已知等差数列的前项和为且满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质计算可得答案． 【详解】因为， 所以. 故选：C. 38.已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：，解得：， . 故选：B. 39.设是等差数列的前n项和，若，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】B 【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则. 故选：B. 40.记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 41.已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的求和公式可求得的值，再利用等差数列的基本性质可求得的值. 【详解】因为为等差数列的前项和，，解得， 由等差数列的基本性质可得. 故答案为：. 等差数列片段和的性质 42.若为等差数列，其前n项和为，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可得成等差数列，即可求得答案 【详解】因为成等差数列， 故，即，得. 故选：B 43.设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值. 【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列， 且该数列的公差为，则， 所以，， 因此，. 故选：D. 44.在等差数列中，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可 【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故 故选：D 等差数列前n项和与n的比值问题 45.等差数列中，，前项和为，若，则______. 【答案】 【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解． 【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为 ，， ， ， ，则 故答案为： 46.等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒ 【详解】设的公差为d， ∵ ∴， 即{}为等差数列，公差为， 由知， 故﹒ 故选：A﹒ 47.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若，求的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据所给条件，结合等差数列的通项公式和性质进行解方程即可得解； （2）由，利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）设公差为， 由可得， 可得， 再由，，成等比数列， 可得，由公差不为可得， 所以； （2）， ， ， 作差可得， 所以. 两个等差数列前n项和的比值问题 48.已知数列，均为等差数列，且其前n项和分别为和．若，则______． 【答案】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案. 【详解】因为数列、均为等差数列，且， 所以 故答案为： 49.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可． 【详解】解：由等差数列的性质可得，． 故选：C． 50.数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________. 【答案】          【分析】利用等差数列的基本性质可得出，即可得出的值；计算得出，可知能被整除，求出的可能取值，可得出结轮. 【详解】由等差数列的性质可得， ， 若为整数，且，故能被整除，故或，解得或， 所以，使得为整数的值个数为. 故答案为：；. 51.有两个等差数列、，其前项和分别为、. （1）若，则______； （2）若，则______. 【答案】     ##     【分析】（1）利用等差数列的基本性质可求得出，即可得解； （2）设，，其中，求出、，即可得出的值. 【详解】（1）； （2）因为，设，，其中， 则，， 因此，. 故答案为：（1）；（2）. 52.等差数列，前n项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的特点，由已知设出，分别求出其通项公式，代入计算可得答案. 【详解】设等差数列，的首项和公差分别为，则， 因为，由等差数列前项和的特点， 故可设，其中为非零常数， 由， 当时，， 当时，， 当时上式仍旧适合，故， 同理可得，当时，， 所以. 故选：A. 53.已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题，可设，，则. 【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又， 则可设，，则. 故选：A 考点六、等差数列前n项和的最值问题 54.【多选】已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（    ） A．是递减数列 B． C． D．最小时， 【答案】BD 【分析】根据等差数列的性质首项可得：公差且即可判断等差数列是递增数列，进而求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 所以，则有， 因为，所以公差，且，所以等差数列是递增数列，故选项错误； ，故选项正确； 因为，故选项错误； 由可知：等差数列的前10项均为负值，所以最小时，，故选项正确， 故选：. 55.已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】B 【分析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解. 【详解】由 且， 所以，故B正确； 所以公差， 数列为递减数列，A错误； 由，，， 所以，， 时，， 的最大值为，故C错误； ，故D错误. 故选：B 56.【多选】已知等差数列的前n项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时，取得最小值 【答案】ACD 【分析】根据题干条件利用可得到，，，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误. 【详解】因为，所以，，. 对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误； 对于C，因为，所以，故选项C正确； 对于D，因为，，可知，，等差数列为递增数列， 当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确. 故选：ACD. 57.【多选】已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【答案】ACD 【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A,数列为等差数列，， 数列为递减的等差数列， 故A正确， 对于B, 数列为递减的等差数列， 的最大值为， 故B错， 对于C, 由得 的最小值为,即， 故C正确， 对于D, 故D正确. 故选：ACD 58.【多选】已知是公差为的等差数列，其前项和是，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题知，再根据等差数列的性质，前项和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为 所以， 所以，故A错误；B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D错误. 故选：BC 59.设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为. 【详解】由，得，即， 所以数列为递增的等差数列. 因为，所以，即， 则，，所以当且时，； 当且时，.因此，有最小值，且最小值为. 故选：A. 考点七、等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题 等差数列偶数项或奇数项的和 60.在等差数列中，已知公差，且，则__________. 【答案】145 【分析】根据题意得到，再由等差数列性质得到，代入数据计算即可得到答案. 【详解】等差数列中，已知公差， . 故答案为：145. 61.设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 62.已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）． A．30 B．29 C．28 D．27 【答案】B 【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可 【详解】奇数项共有项，其和为， ∴． 偶数项共有n项，其和为， ∴． 故选：B． 63.一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d． 【答案】 【分析】由题意可得，可解得它们的值，而，代入可解． 【详解】解：设首项为，公差为， 则由题意可得， 解得 又， ． 64.一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________. 【答案】3 【分析】根据等差数列前项和公式,设出首相公差和项数，列出等式,计算出项数和公差即可. 【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为, 故有 , 两式相减, 因为, 故, 故. 故答案为:3 含绝对值的等差数列的前n项和 65.【多选】已知为等差数列，，则（    ） A．的公差为2 B．的公差为3 C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300 【答案】AD 【分析】根据求出，求出通向公式. . 【详解】， ，所以A对，B错. ， ， 当时，；当时，， = ，所以D对，C错. 故选：AD 66.数列是递增的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过等差数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可. （2）分和，讨论，结合等差数列前项和的公式即可得到答案. 【详解】（1）设递增的等差数列的公差， 因为，，所以， 解得，或（舍去），所以. （2）设，则. 由，即，解得. 当，时，. 当，时， . 故. 67.已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据求解即可； (2)由于时，，当时，，所以分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当时，， 当时，， 显然，当时，满足， 所以. （2）由（1）知， 因为时，，当时，， 所以当时，， 当时，①，②， 所以①②得，因为， 所以， 所以 68.已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，从而可证明； （2）由（1）得，则，利用和与项的关系可得，由，解得，设表示数列的前项和，当时，，当时，，从而得到结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为-1的等差数列. （2）由（1）得，则， 所以， 又符合上式，所以， 设表示数列的前项和， 由，解得，则 ①当时，； ②当时，， 故. 考点八等差数列的综合问题 69.【多选】已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 【答案】AD 【分析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断ACD选项. 【详解】数列满足，， 因为，，所以， ，B错； 由题意，①，②， 由②①得，，由，，所以， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 综上所述，对任意的，，C错D对； ，A对. 故选：AD. 70.【多选】以下四个命题中，真命题的是（    ） A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 B．若等差数列的前n项和为，则数列是等差数列 C．若等差数列的前n项和为，且，则 D．若等比数列的前n项积为，且，则 【答案】ABD 【分析】对于A，直接由等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的定义即可判断；对于B，直接由等差数列前项和公式即可判断；对于C，由等差中项的性质即可判断；对于D，由等比中项的性质即可判断. 【详解】对于A，若是各项均为正的等比数列， 则当且仅当，（否则时，数列每项正负交替，各项恒负）， 从而， 所以， 故数列是以为首项、为公差的等差数列，故A正确； 对于B，设等差数列的通项公式为， 所以其前n项和为，即数列是以首项为、公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由题意数列是等差数列， 所以 ， 而当等差数列的公差不为0时，有，即此时，故C不正确； 对于D，由题意数列是等比数列，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 71.已知函数的所有正数零点构成递增数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，从而得到正数零点，从而得到为等差数列，公差为1，首项为，得到通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）， 令，解得：， 故当时，为数列的首项， 由于，故为等差数列，公差为1， 故； （2）， 故①， 则②， ①-②得： ， 则. 72.已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，求解作答 【详解】圆：的圆心，半径，显然点为抛物线的焦点，其准线为， 设，则，而， 由，，成等差数列得，，因此， 即有，解得，设直线的方程为，显然， 由消去y得：，则有，解得， 所以直线的斜率为. 故选：B 过关检测 一、单选题 1．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知等差数列的前项和为，则（   ） A．0 B．15 C．21 D．18 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求得，进而求得. 【详解】， . 故选：A 2．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可. 【详解】， ， 即， 两边同时除以得：， 即， 令，则， 则是首项为，公差为的等差数列， 则，即， 则，则. 故选：D 3．（2023上·河北衡水·高二河北安平中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解. 【详解】由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 4．（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知数列满足，，记，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知递推公式，可求出的值，即可判断A、B；根据递推公式可推得，即，从而得出是以3为首项，4为公差的等差数列，求出通项公式，判断C、D. 【详解】对于A项，由已知可得，故A项错误； 对于B项，由已知可得，，，故B错误； 对于C项，由已知可得，，， 即，所以.故C项错误； 对于D项，因为，， 所以，是以3为首项，4为公差的等差数列， 所以，.故D正确. 故选：D. 5．（2022上·河南省直辖县级单位·高二校考期末）设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出前三项为，，，并结合题意得到方程组，从而可求解. 【详解】由题意设前三项为，，，所以得， 解得，，又因为是递增的等差数列，所以， 所以首项.故B项正确. 故选：B. 6．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）等差数列中的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意直接根据等差数列前项和公式得到，进一步代入数据即可得解. 【详解】等差数列中的前项和分别为，． 故选：B． 7．（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【详解】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 8．（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列” 【答案】C 【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断. 【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以. 又， 所以 则，， 所以，不是等差数列， 所以AB不正确. 对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确. 对于D，因为 ， 所以不是 “平方递推数列”， D 不正确. 故选：C 9．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在数列中，，且，则数列的前15项和为（    ） A．84 B．102 C．120 D．138 【答案】C 【分析】先利用等差中项判断数列为等差数列，然后利用通项公式基本量的运算求出通项，利用求和公式求出和，然后分组求和即可求解. 【详解】因为，所以是等差数列， 又，所以等差数列的公差， 所以，所以单调递减，且， 所以的前项和， 所以数列的前15项和为 . 故选：C 10．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知数列满足，若，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】由题意知数列满足， 当时，； 当时，， 故，则， 也适合该式，故， 则， 故的前2022项和为 ， 故选：B 二、多选题 11．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】由已知条件结合等差数列性质可判断B；判断出数列的公差小于0，可判断A；根据数列各项的正负情况以及单调性可判断C；利用前n项和公式结合等差数列性质判断D. 【详解】设等差数列的公差为d， 由于，，故， 则，B正确； ，则数列为递减数列，A正确， 由以上分析可知，时，， 故的最大值为，C正确； ，D错误， 故选：ABC 12．（2023上·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则的公差为1 B．若为等差数列，则的首项为1 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式求解选项A,B；根据数列的前项和公式求解选项C,D. 【详解】若为等差数列，则可设, 所以， 所以,解得,所以， 所以的首项为0，公差为1，A正确，B错误； ，C正确； ， 因为， 即，D正确； 故选:ACD. 13．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（    ） A．是唯一最大值 B．是最大值 C． D．是最小值 【答案】BC 【分析】根据等差数列的性质、前项和公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由得， 而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确. ，C选项正确. 由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误. 故选：BC 14．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，的最大值为32 【答案】AC 【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出，，即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据解不等式即可判断选项D. 【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列. 则. 所以 对于选项A： 当时，； 当时，； . 数列是等差数列，故选项A正确； 对于选项B： ，， ， 则， 所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误； 对于选项C：， 当或时，最大，故选项C正确； 对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误. 故选：AC 三、填空题 15．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解. 【详解】因为， 所以， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ， 所以. 故答案为：. 16．（2023上·吉林长春·高二校考期末）等差数列前项和为，，则 ． 【答案】 【分析】结合等差数列的性质求，再利用前项和公式求解. 【详解】等差数列，由， 解得， 则， 故答案为：. 17．（2022上·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考期末）已知等差数列的公差为正数，且，，则其前20项的和 . 【答案】180 【分析】根据等差中项的性质，结合等差数列的通项公式，可得答案. 【详解】由题意：设等差数列的公差为. ，而， ∴，解得. ∴，解得， ∴. 故答案为：. 18．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 四、解答题 19．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）已知数列为等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）由题求出公差，然后根据等差数列通项公式即可得出答案； （2）求出，然后根据二次函数性质求出最值. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，解得． 故． （2）由（1）知，， ． ∴当时，取到最大值为． 20．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）已知数列的前项和满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，结合和的关系，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 所以数列为等差数列， 又由，所以，即， 当时，， 因为，满足上式，所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得， 所以， 所以数列的前项和为． 21．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列的前n项和，. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据求出数列的通项公式即可证明数列是等差数列. （2）利用裂项相消的方法求数列的前n项和即可. 【详解】（1），，① 当时，； 当时，. 由得. 当时，满足上式， 数列的通项公式为，. ，为常数， 数列是等差数列. （2）由知， 数列的前n项和为 ，. 22．（2022上·广东珠海·高三校考期末）记为数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）令，可得，再将换为，两式相减可得； （2）由等差数列的求和公式可得，求得，再由数列的裂项相消求和计算可得所求和． 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，又， 两式相减可得，解得， 上式对也成立， 所以，； （2），， 所以． 23．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）设正项数列的前和为，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用和的关系结合等差数列的定义求解即可; （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 所以， 当时，， 两式相减，得，， 当时，满足， 所以，即， 所以， 所以是等差数列． （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以． 24．（2023上·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合，可求数列的通项公式； 若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，公差，可求数列的通项公式； （2）利用放缩和裂项相消法求和证明不等式. 【详解】（1）若选①: 由，得， 即， 因为为正项数列，所以，是公差为2的等差数列， 由，得； 若选②：，当时，， 两式作差得：，则， 两式作差得， 即，所以数列为等差数列， 时，，可得， 公差，则； （2）由（1）知，， 又， 已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d方法解读适合题型定义法对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列解答题 中的证 明问题等差中项法对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列通项公式法(为常数,)⇔{an}是等差数列选择、 填空题 中的判 断问题前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.