2022-2023学年江西省南昌市第五中学高二下学期第一次月考数学试题

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命题教师：李振标 审题教师：潘嘉琪
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据规律写出数列的通项公式
【详解】奇数项为负，偶数项为正，可用来实现，
而各项分母可看作，
各项分子均为1，
∴该数列的通项公式为.
故选：D.
2. 3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）
A 4种B. 6种C. 8种D. 10种
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】每个大学生都有种选择方法，
所以不同的分配方案共有种.
故选：C
3. 在等比数列中，，，则和的等比中项为（ ）
A. 10B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项的定义可得结果.
【详解】根据等比中项的定义可得和的等比中项为.
故选：C
4. 通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】正确理解相关系数，相关关系与因果关系的区别是解题的关键.
【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，但相关关系是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最可能成立.
故选：D.
5. 某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,利用条件概率求解.
【详解】解：设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,
由题得,,
所以.
故选：C
6. 下列说法正确的是（ ）
①若随机变量的概率分布列为，则；②若随机变量，，则；③若随机变量，则；④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则
A. ②③B. ②④C. ①②③D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据分布列的性质即可判断①，利用正态分布密度曲线判断②，根据二项分布的期望公式判断③，利用超几何分布判断④.
【详解】对于A，∴随机变量的概率分布为，
∴，
∴，∴，故①不正确；
对于B，，
∴，故②正确；
对于C，由，得，故③正确；
对于D，由题意，得，故④正确
故选:D.
7. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可.
【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，
则有，，
记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到3号球的事件为B，
．
故选:C．
8. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A. 增加，增加B. 增加，减小
C. 减小，增加D. 减小，减小
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是椭圆，则其长轴长为
B. 若，则是双曲线
C. C不可能表示一个圆
D. 若，则上的点到焦点的最短距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据可知若为椭圆，则焦点在轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几何性质可判断D.
【详解】由于，所以，
对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,
对于B,当时，是双曲线，故B正确,
对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，
对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时
故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误,
故选:BC
10. 已知8件产品中有3件是一等品，其余都是二等品．从这些产品中不放回地抽取三次，令为第次取到的是一等品，则（ ）
A. B. 与相互独立
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式及条件概率概率公式计算可得；
【详解】解：依题意，故A正确；
，所以，故C错误
，因为，故与不独立，故B错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
11. 将个相同的小球分给甲、乙等个人，（ ）
A. 不同的分配方法共有种
B. 若每人至少分到个小球，则不同的分配方法共有种
C. 若每人至少分到个小球，则不同的分配方法共有种
D. 若甲至少分到个小球，其余人每人至少分到个小球，则不同的分配方法共有种
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用隔板法直接判断各选项.
【详解】A选项：不同的分配方法有种，故A选项正确；
B选项：若每人至少分到个小球，则不同的分配方法共有种，故B选项正确；
C选项：若每人至少分到个小球，则四人中只有一人分到个球，其他三人各分到各球，故不同的分配方法共有种，故C选项不正确；
D选项：若甲至少分到个小球，其余人每人至少分到个小球，则不同的分配方法共有种，故D选项正确；
故选：ABD.
12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数列特征得到为，，，，，，，周期为的数列，从而得到，A正确，，B正确，根据数列的周期求和得到或，所以C错误，根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，
数列依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，，，，，，，
则数列为周期数列，且周期为，
所以，故A正确；
因为
，故B正确；
因为，
，且，，，
所以或，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 的展开式中的常数项为___________.
【答案】24
【解析】
【分析】根据通项公式,确定常数项,再代入二项式定理的通项中即可计算结果.
【详解】解：由通项公式得:,
令,即可得,
所以展开式的常数项为:.
故答案为：24
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的数列，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题目中要求的数列性质，写出满足题意的一个数列即可.
【详解】根据题意，要求的数列可以为，
故答案为：（答案不唯一）.
15. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则中最大；
④若，则使的的最大值为11．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①由题意可以推出，不能推出，判断①错误；②由题意可得，判断出②正确；③由题意可得，判断出③正确；④由题意可得，进而，判断出④正确．
【详解】若，则，不能推出，即不能推出，故①错误；
若，则，即，则，故②正确；
若，则，
所以，则中最大，故③正确；
若，则，
即，
因为首项为正数，则公差小于0，则，
则，，
则使的的最大值为11，故④正确．
故答案为：②③④．
16. 2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合.已知，则方差为_________.据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，的数学期望是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由，结合正态分布的密度曲线即可得、，写出方差即可；而，易知，根据二项分布的期望公式求期望即可.
【详解】由，可知：，，故方差，
由正态分布的对称性知：，故，
∴的数学期望.
故答案为：，
四､解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
17. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表，经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系．
（1）根据上表给出数据，求出y与x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
（参考公式：线性回归方程，其中，．）
【答案】（1）（2）1.6kg.
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的数据，结合参考方程，对数据进行分步计算即可；
（2）将价格数据代入回归方程，即可求得预测值.
【详解】（1）由所给数据计算得
，，
，
，
．
．
所求线性回归方程为．
（2）由（1）知当时，．
故当价格元/kg时，日需求量y的预测值为1.6kg.
【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解，根据公式计算回归系数即可，属基础题.
18. 设等差数列的前n项和为，，;
（1）求数列的通项公式；
（2）当取最小值时，n的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，由此求得.
（2）由求得正确答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，解得，
所以.
【小问2详解】
由解得，
所以当取得最小值时，的值为或（）.
19. 已知数列满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由知：，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2），设数列的前项和为，则．当时，；当时，．
【小问1详解】
（1）证明：由知，
由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列，
∴，∴；
【小问2详解】
由（1）知，
设的前项和为，，∴，
当时，，，
，，
综上得.
20. 已知点、，动点满足直线与的斜率之积为，记M的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）经过点的直线与曲线交于、两点.记与的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）；是去掉两个长轴端点的椭圆
（2）
【解析】
【分析】（1）结合两点间的斜率公式求解即可；
（2）当直线斜率不存在时，；当直线斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出进行化简变形，再利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意，，，，
所以，
整理可得，
所以C的方程为，
曲线C是去掉两个长轴端点的椭圆.
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时与的面积相等，所以.
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立方程组，可得，
则，
且，，
则，
此时，
由于，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值.
综上所述，的最大值为.
21. 甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军.假定甲队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，在第三场比赛中获胜的概率为，且每场比赛的胜负相互独立.
（1）已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；
（2）比赛主办方若在决赛的前两场中共投资m（千万元），则能盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资n（千万元），则能盈利（千万元）.若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
【答案】（1）
（2）千万元.
【解析】
【分析】(1)算出甲获胜的概率，再算出甲获胜且比赛进行了三场的概率进而可得解；
(2)根据总盈利和进行的场次有关，求出总盈利，即比赛只需进行两场的概率，再求出总盈利为，即需进行三场比赛的概率，列出分布列，计算期望，即可求解.
【小问1详解】
由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场，
所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场，
设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为，
则，
又，所以甲获胜的概率为，
所以已知甲队获得冠军，决赛需进行三场比赛的概率
【小问2详解】
由题可得，所以
比赛结束需进行的场次即为，则，
设决赛总盈利为，则，
，
，
所以决赛总盈利为的分步列如下，
所以，
所以，
当，即时，二次函数有最大值为，
所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据，
则其在前两场的投资额应为千万元.
22. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
价格x（元/kg）
10
15
20
25
30
日需求量y（kg）
11
10
8
6
5
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200