2022-2023学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算结果建立不等式求解.
【详解】由知，，
即，解得，
故选：B
2. 已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析.
【详解】对于A，如果 ，例如 ，则 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误；
对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分条件，
如果 ，则 ，是必要条件，即 是 的必要不充分条件，错误；
对于C，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例如 ，
如果 ，则必有 ，是必要不充分条件，错误；
对于D，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确.
故选：D.
3. 下列函数中为偶函数,且在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性定义判断各函数奇偶性，结合指对数函数性质判断单调性.
【详解】定义域为R且既不是偶函数又不是奇函数，A不满足条件；
定义域为且是偶函数，在区间内单调递增，B不满足条件；
定义域为R且是奇函数，C不满足条件；
定义域为R且为偶函数且在上递减，D满足条件.
故选：D
4. 函数的图象如图所示，则（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】由图象分析函数奇偶性，特殊位置，及函数定义域即可.
【详解】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以得：，故C错误；
由图象可知，故D错误；
因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号，，即B错误，A正确.
故选：A
5. 已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算法则以及基本不等式求解.
【详解】，
由，，即，
，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：.
6. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论.
【详解】根据“躺平点”定义可得，又；
所以，解得；
同理，即；
令，则，即为上的单调递增函数，
又，所以在有唯一零点，即；
易知，即，解得；
因此可得.
故选：B
7. 已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（ ）
A. B. C. 0D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意推得，得到函数的周期为，利用函数的周期性和对称，结合，代入即可求解.
【详解】由为奇函数，可得函数对称中心为，即
又由，则的对称轴为，即，
所以，即，
又由，所以，即函数的周期为，
则.
故选：D.
8. 已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为的值域是的值域的子集，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】设函数在上的值域为，函数在上的值域为，
因为若，，使得成立，所以，
因为，，所以在上的值域为，
因为，
当时，在上单调递减，所以在上的值域为，
因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意，
当时，图像是将下方的图像翻折到轴上方，
令得，即，
①当时，即时，在，上单调递减，
，，所以的值域，
又，所以，解得，
②当时，即时，在上单调递减，在
上单调递增，
，或，
所以的值域或，又，所以或，
当时，解得或，又，所以，
当时，解得或，又，所以，所以的取值范围．
③当时，时，在上单调递增，
所以，，所以在上的值域，
又，所以，解得，综上所述，的取值范围为.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（ ）
A. 的值城为B. ，.
C. 为偶函数D. 为周期函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数，可判断其值域，判断A；讨论x为有理数或无理数，求得，判断B;根据奇偶性定义可判断C；根据周期函数定义判断D.
【详解】由题意函数，则其值域为，A错误；
当x为有理数时，，则，
当x为无理数时，，则，
故，，B正确；
当x为有理数时，为有理数，则，
当x为无理数时，为无理数，则，
故为偶函数，C正确；
对于任何一个非零有理数,若x为有理数，则也为有理数，
则，
若x为无理数，则也为无理数，则，
即任何一个非零有理数都是函数周期，即为周期函数，D正确，
故选：
10. 已知，为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为2B. 的最小值为4
C. 的最小值为3D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】解：因为，当且仅当时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．
故选：ABD．
11. 已知幂函数，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A. 当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数
B. 当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C. 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D. 当时，幂函数在上是减函数
【答案】AB
【解析】
【分析】对每一个选项，利用幂函数的奇偶性或单调性逐一分析判断得解.
【详解】，
当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数，故B中的结论正确；
当m是奇数，n是偶数时，幂函数在时无意义；故C中的结论错误；
当时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误．
故选AB．
【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12. 已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数结合函数的单调性即可得解.
【详解】当时，，
当时，，当时，，
作出函数的图象如下，

则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为，
因为有四个不同的解且，
所以，且，且，，
又因为
所以即，所以，
所以，且，
构造函数，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算性质即可化简求值.
【详解】
．
故答案为：
14. 已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第______象限.
【答案】二
【解析】
【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限.
【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，
即，此时，
由于由向下平移五个单位得到，且过点，
由此可知不过第二象限，
故答案为：二.
15. 定义在上的函数满足是偶函数，且，若，则______
【答案】##
【解析】
【分析】由已知结合函数的奇偶性及对称性可求出函数的周期，然后结合周期，利用赋值法即可求得结果.
【详解】因为是偶函数，所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以的周期为6，
因为，，所以，
所以，所以，
所以，
故答案为：
16. 对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数，则_____________.
【答案】－3033
【解析】
【分析】由题意对已知函数进行二次求导，证明函数关于点中心对称，即，由此可得到结果.
【详解】因为，
所以，
设，则，
令，可得，
又，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》新的国家标准中规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：

该函数模型.根据上述条件，回答以下问题：
（1）前几日，一同学在2023届高考中考出726分的好成绩，周老师听闻后激动的喝下一瓶啤酒.按照试验结果，试计算周老师喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）中午12点周老师喝完1瓶啤酒后，突然想起来已经跟儿子多多约定好，下午放学6点半准时开车去接他回家，试计算周老师在喝完这1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？他能完成跟多多之间约定吗？（时间以整小时计）（参考数据：）
【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；
（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车，所以周老师来得及接多多放学.
【解析】
【分析】（1）由散点图可知在的范围内能取到最大值，利用正弦函数的性质求出最值即可；
（2）根据题意列出不等式求解即可.
【小问1详解】
由图可知，当函数取得最大值时，.
此时，
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
【小问2详解】
由题意知当车辆驾驶人员血液中酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，
由，得，两边取自然对数得，即，
∴，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.能够完成约定.
18. 如图，平面ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．

（1）求证：GH∥平面ABCD；
（2）求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，最后由线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式可得答案．
【小问1详解】
由题意知，平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以，又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，

在中，由，得，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得，
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
19. 在等比数列中，，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
【答案】（1）；
（2）40或37．
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.
（2）由（1）的结论求出，再分奇偶求和作答.
【小问1详解】
设的公比为q，由，得，解得，
由，，成等差数列，得，即，解得，
所以数列的通项公式是．
【小问2详解】
由（1）知，，，
当k为偶数时，，令，得；
当k为奇数时，，令，得，
所以或37.
20. 学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一､二､三､四名.首局中的第一名积3分，第二､三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.假设用户在首局获得第一､二､三､四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为.
（1）设用户首局的得分为，求的分布列；
（2）求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）按照求离散型随机变量分布列的步骤求解即可
（2）方法一，直接按照求离散型随机变量分布列的步骤求解即可；方法二，总得分是第一局和第二局得分之和，所以总得分的期望是第一局得分期望和第二局得分期望之和
【小问1详解】
的所有可能取值为，，，
，，
其分布列为
【小问2详解】方法一：设总得分为，则的取值为，，，，
则，
，
的分布列为
所以.
方法二：.
设第二局得分为，则的取值为，.
则有，
化简得Y的分布列为
，
四人赛总分期望为
21. 已知离心率为的椭圆C：过点，椭圆上有四个动点，与交于点.如图所示.

（1）求曲线C的方程；
（2）当恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线与的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
（3）若点的坐标为，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）是定值，定值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点即可联立方程求解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式化简即可求解，
（3）根据向量共线满足的坐标运算，代入椭圆方程中，即可化简求解.
【小问1详解】
由题意可知，
所以曲线C方程为
【小问2详解】
由题意知，，，所以，，所以，
设直线CD的方程为，设，，
联立直线CD与椭圆的方程，整理得，
由，解得，且，
则，，
所以
，
故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为.
【小问3详解】
设，，，记（），
得，所以.
又A，D均在椭圆上，所以，化简得，
因为，所以，同理可得，
即直线AB：，
所以AB斜率为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知函数 （，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，再分，，和四种情况讨论即可得出答案；
（2）方法一：等价于，
当时，则，构造函数，利用导数求出即可得证.
方法二：当时，，令，令，则，构造函数，利用导数证明即可得证.
【小问1详解】
，
（ⅰ）当时，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
方法一：等价于，
当时，，
则当时，，则，
令，
令，
因为函数在区间上都是增函数，
所以函数在区间上单调递增 ，
∵，∴存在，使得，
即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
∴，
∴，故.
方法二：当时，，
令，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，上单调递增，
∴，即，
∴.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
Y
5
4
3
2
P