2021-2022学年江西省南昌市八一中学高二下学期期末考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年江西省南昌市八一中学高二下学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集和补集的定义即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：B.

2．已知命题，，则（       ）

A．命题，为假命题

B．命题，为真命题

C．命题，为假命题

D．命题，为真命题

【答案】C

【分析】全称命题的否定为特称命题，再判断命题的真假即可得出答案.

【详解】有题意知，命题，，又因为方程的，所以命题为假命题.

故选：C.

3．若复数z满足，则（        ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出复数z，再求.

【详解】因为，所以.

所以.

故选：D

4．数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃､最主动､最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国的一个大学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.如图是根据这个猜想设计的程序框图，则输出的i为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】根据程序框图，依次执行，即得解

【详解】由题意，输入

判断不成立，是奇数，因此；

判断不成立，不是奇数，因此；

判断不成立，不是奇数，因此；

判断不成立，不是奇数，因此；

判断不成立，不是奇数，因此；

判断不成立，输出.

故选：C

【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题

5．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，.，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】D

【解析】利用线面平行的位置关系可判断A；根据线面之间的位置关系可判断B、C；利用面面垂直的判定定理可判断D.

【详解】A错，∵线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，

B错，∵与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，

C错，∵两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；

D对，∵线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，

故选：D.

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，故，

所以的定义域为，

故函数中的需满足：，

故，故函数的定义域为.

故选：C

7．已知函数，若，则（       ）

A．4 B．5 C．7 D．

【答案】A

【分析】构建可以判断其为奇函数，根据题意结合奇函数定义求解．

【详解】构建在R上为奇函数，则

即，则

故选：A．

8．已知函数若，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.

【详解】因为，当时单调递减，且，

当时，单调递减，且，

所以函数在定义域上单调递减，因为，

所以，解得，即实数的取值范围为：.

故选：A.

9．若一个圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出直观图，找到球心，设出半径，列出方程，求出半径，进而求出表面积.

【详解】由题意得：，设外接球球心为O，外接球半径为R，

则，

由勾股定理得：，即，

解得：，所以圆锥外接球的表面积为

故选：B

10．某闯关游戏规则如下:在主办方预设的3个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手闯关成功的概率等于（       ）

A．0.504 B．0.36 C．0.216 D．0.144

【答案】A

【分析】根据题意得到前两个问题正确，或者第一个问题错误，后两个问题正确，计算概率得到答案.

【详解】选手回答前两个问题正确，或者第一个错误，后两个问题正确，

故.

故选：A.

11．已知正方体的棱长为3，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且该截面的面积为时，线段的长为（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，即可得到为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出的长度，即可求出；

【详解】解：如图，过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，因为，所以，面，面，所以面

因为，所以，面，面，所以面

又，面，所以面 面，则为截面，

易知是等边三角形，则，解得，∴.

故选：D.

12．已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（       ）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性、对称性等条件确定函数的周期，根据条件及周期的性质求即可.

【详解】根据题意，函数是偶函数，

则函数的对称轴为，

则有，

又由函数的图象关于点成中心对称，

则，

则有，即，

变形可得，

则函数是周期为8的周期函数，

，

故选：A

二、填空题

13．已知函数，则____________．

【答案】

【分析】根据分段函数的性质直接计算函数值.

【详解】由，得，

，

故答案为：.

14．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为____.

【答案】30°

【分析】连接，则，则直线与直线所成角的平面角为（或其补角），再解三角形即可．

【详解】解：连接，

则，

则直线与直线所成角的平面角为（或其补角），

又面，面，

所以，

即为直角三角形，

又几何体为正方体，

则，

则，

则，

则直线与直线所成角的大小为，

故答案为：．

15．袋中装有标号为1，2，3的大小和质地完全相同的三个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次．设事件为“三次记下的号码之和是6”，事件为“第二次记下的号码是2”，则= ___________.

【答案】

【分析】利用条件概率概率计算公式求解即可

【详解】事件所包含的基本事件有，，，，，，共个

事件所包含的基本事件有，，共个

所以

故答案为：

16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的表面积为___________.

【答案】

【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，根据扇形面积公式和圆面积公式，结合圆锥展开图，由此能求出这个圆锥的表面积即可.

【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：

该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：

∴.

设底面圆的半径为r,则有,解得,

则这个圆锥的表面积为

故答案为：

三、解答题

17．已知集合，集合．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据补集，交集的定义计算可得；

（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】(1)解：由，即，解得，

，，

当，，所以.

(2)解： 因为““是“”的必要不充分条件，所以，

所以，解得， 故的取值范围为.

18．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.

（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；

（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.9%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？

参考数据：，其中.

【答案】（1），表格见解析；

（2）有99.9%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.

【分析】(1)通过事件的频率是事件的频率的2倍可以得出，结合列联表得到关系式 ，可以得出，的值.

(2)结合列联表及，（其中）计算出的值，参照参考表格数据得出结论.

【详解】（1）由题可得，，

解得；

补全表中所缺数据如下：

（2）根据题意计算观测值为，

所以有99.9%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.

19．数字经济的发展需要、云计算、大数据及物联网等新型基础设施的支撑，作为新基建之首，对我国数字经济的发展有着重要的意义．技术在我国已经进入高速发展阶段，宽带业务办理量也逐渐上升．某营业厅统计了2021年7月至2022年1月宽带业务办理量（单位：单），如表所示：

(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0．01）；

(2)求出关于的线性回归方程，并估计该营业厅2022年6月的宽带业务办理量．

参考数据：，，，，．

参考公式：相关系数， ，．

【答案】(1)答案见解析

(2)，830单．

【分析】（1）通过相关系数的公式求出相关系数，再根据相关系数的值来判断与之间的线性相关程度，从而决定能不能用线性回归模型来拟合；

（2）通过题中数据，结合线性回归的公式来求线性回归方程，再用方程来估算某时刻的值.

【详解】(1)由题意知，，

∴相关系数．

∵与的相关系数近似为0.99，∴与之间的线性相关程度相当高，

从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系．

(2)，

∴，

∴关于的线性回归方程为，

2022年6月对应的编号为12，将代入线性回归方程，得，

∴估计该营业厅在2022年6月的宽带业务办理量为830单．

20．如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，.

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过构造平行四边形得到线线平行，从而得线面平行；

（2）根据题中的条件，易得，再计算即可.

【详解】(1)设，取中点，连接、，

∵四边形是正方形，

∴是的中点，又是的中点，∴，，

∵四边形是直角梯形，，，∴，

∴四边形是平行四边形，∴，

又平面，平面，∴平面，即平面；

(2)∵，平面平面，

平面，平面平面，

∴平面，

∴.

21．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）当时，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围.

【详解】(1)解：当时，不等式即为.

当时，，解得，此时；

当时，，无解；

当时，，解得，此时.

综上可得，原不等式的解集为或.

(2)解：不等式恒成立，即为，

由，

可得的最大值为，则，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围为.

22．在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连结交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.

(1)证明：直线平面

(2)若为的中点，为的中点，且平面平面求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在平面图中证明，在立体图中利用线面垂直的判定定理即可求解.

（2）利用线面垂直的判定定理证明平面，可得为三棱锥的高，计算的值，进而计算三棱锥的体积，然后计算的面积，利用等体积法求解点到平面的距离即可.

【详解】(1)证明：图1中，在中，所以.所以

也是直角三角形，

，

在图2中，所以平面.

(2)解：∵平面平面，且平面平面，

平面，平面.

取的中点为，连结则

平面，即为三棱锥的高.

.

，

又，，又，

平面，，

设点到平面的距离为，则由，

得，解得．

点到平面的距离为．