高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.5 两条直线的交点坐标学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.5 两条直线的交点坐标学案，共6页。

要点 两条直线的交点坐标
已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，
则
(2)若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线________，交点坐标为________．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的________．
状元随笔 两直线相交的条件：
①将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．
③若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两条直线不相交就平行．( )
(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( )
(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解．( )
(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解.( )
2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1)
C．(1，2) D．(2，1)
3．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
4．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
题型一 两直线的交点问题
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
方法归纳
两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
跟踪训练1 (1)[多选题]下列直线与直线x－2y＋1＝0相交的是( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．＝1 D．y＝x＋1
(2)若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为( )
A．－2 B．－
C．2 D．
题型二 过两直线交点的直线方程
例2 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
变式探究 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
方法归纳
过两条直线交点的直线方程的求法
1．常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
跟踪训练2 直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
易错辨析 求点的坐标时因位置关系不清而致误
例3 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求这个平行四边形第四个顶点的坐标．
解析：设点A的坐标为(－1，－2)，点B的坐标为(3，1)，点C的坐标为(0，2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)．
(1)若四边形ABCD是平行四边形，则
解得
所以点D的坐标为(－4，－1)．
(2)若四边形ABDC是平行四边形，则
解得
所以点D的坐标为(4，5)．
(3)若四边形ACBD是平行四边形，则
解得
所以点D的坐标为(2，－3)．
综上所述，这个平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4，5)或(2，－3)．
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是( )
A．(3，－1) B．(－1，3)
C．(－3，－1) D．(3，1)
2．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第四象限，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
4．直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，则a的值为________．
1．5 两条直线的交点坐标
新知初探·课前预习
要点
(1)A1x0＋B1y0＋C1＝0 A2x0＋B2y0＋C2＝0 (2)相交 (x0，y0) 公共解
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：由得交点坐标为(1，2)，故选C.
答案：C
3．解析：解方程组得故两条直线的交点坐标为(2，3).故选B.
答案：B
4．解析：由题意得6a－12≠0，即a≠2.
答案：a≠2
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
跟踪训练1 解析：(1)由两条直线的斜率可判断知A、D与直线x－2y＋1＝0平行，B、C与直线x－2y＋1＝0相交，故选BC.(2)易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－.故选B.
答案：(1)BC (2)B
例2 解析：方法一 解方程组
得所以两直线的交点坐标为(－，－).
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有
得λ＝，代入(*)式得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0.
变式探究 解析：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
跟踪训练2 解析：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.故选B.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：联立两直线的方程，得解得即交点为(3，－1)，故选A.
答案：A
2．解析：由题意得k≠－，由得即两直线的交点坐标为()，又交点在第四象限，∴解得－答案：A
3．解析：由得交点为(1，6)，又与直线x－2y＝0垂直，∴所求直线的斜率为－2，∴直线方程为：y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.故选A.
答案：A
4．解析：解方程组得
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0，
得－2a＋4＋8＝0，∴a＝6.
答案：6最新课标
能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
易错原因
纠错心得
误认为是平行四边形，考虑不全面而漏解
考虑问题时，弄清平行四边形顶点的顺序，本题除了平行四边形ABCD外，还有平行四边形ABDC，平行四边形ACBD.