天津市滨海新区2023-2024学年高二（上）期末质量检测数学试题（含解析）

这是一份天津市滨海新区2023-2024学年高二（上）期末质量检测数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C． D．
3．已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ）
A．8B．C．16D．±16
4．已知数列满足，，则（ ）
A．3B．7C．8D．9
5．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A．B．C．D．
6．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ）
A．升B．升C．升D．升
7．已知正方体的棱长等于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①两圆的圆心距；
②直线AB的方程为；
③；
④圆上的点到直线的最大距离为．
A．1B．2
C．3D．4
11．已知数列满足，，则数列的前9项和为（ ）
A．35B．48C．50D．51
12．已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（90分）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共12小题，共90分．
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
13．过点与直线平行的直线的方程是 .
14．过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是 ．
15．准线方程为的抛物线的标准方程是 ．
16．过点作圆的切线方程是 ．
17．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后得到的光线必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，到达抛物线上的点B，则 .
18．已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则当 时，取最大值，的最大值为 ．
19．如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为 ；点到直线的距离为 .

20．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为， ；令，为数列的前n项和，则 ．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．已知圆心在直线上，且过点、．
（1）求的标准方程；
（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程．
22．如图，是边长为4的正方形，平面，，且.

(1)求证: 平面;
(2)求平面与平面 夹角的余弦值；
(3)求点D到平面的距离.
23．设椭圆（）的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率，．
(1)求椭圆方程；
(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程．
24．已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
（ⅰ）求数列的前n项和；
（ⅱ）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据直线斜率的定义即可求解.
【解答】由题意知，直线的斜率为,
设直线的倾斜角为，又，
所以，得.
故选：B
2．D
【解析】根据抛物线焦点在轴上，焦点坐标为即可求解.
【解答】由可知抛物线焦点在轴上，且，所以，
故焦点坐标为：，
故选：D
3．A
【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.
【解答】因为为等比数列，设的公比为，
则，，
两式相除可得，所以，
所以，
故选：A.
4．C
【分析】直接把和代入递推关系式求解即可．
【解答】解：数列满足，，
，
，
故选：C．
5．B
【分析】利用空间直角坐标系的概念求解.
【解答】点关于平面的对称点是．
故选:B.
6．A
【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解．
【解答】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，
设其首项为，公差为，
由题意可得，
所以，解得，
所以，
即第5节竹子的容积为升．
故选：A．
7．B
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，写出，，点的坐标，利用空间向量坐标运算得到和，直接利用空间向量数量积公式即可得出结果.
【解答】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，
所以．
故选：B.

8．D
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【解答】如图所示，连接，可得.
故选：D.
【
9．C
【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，由此可得结果.
【解答】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，，即，
则双曲线方程可化为：，由双曲线过点，
，解得：，，双曲线方程为：.
故选：C.
10．B
【分析】求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断①；求出相交弦数值的直线方程判断②；求解弦长判断③；利用点到直线的距离求解判断④即可．
【解答】圆的圆心，半径为：2；圆的圆心，半径为；
对于①，两圆的圆心距，所以①不正确；
对于②，两圆相交，两个圆的方程作差可得，即，所以②正确；
对于③，圆到直线的距离为：，所以，所以③不正确；
对于④，圆上的点到直线的最大距离为：，所以④正确；
故选：B．
11．A
【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的和．
【解答】解：数列满足，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时．，
所以．
故选：A．
12．B
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值．
【解答】设双曲线的左焦点为，连接，，，
由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形为矩形，
可设，则，
在直角三角形中，可得，
即为，
解得，
又在直角三角形中，，
即为，
即为，
即有，
故选：B．
13．
【分析】根据给定条件设出所求直线方程，利用待定系数法求解即得.
【解答】设与直线平行的直线的方程为，
而点在直线上，于是得，解得，
所以所求的直线的方程为.
故答案为：
14．
【分析】求得，利用椭圆的定义可得出的周长.
【解答】在椭圆中，，
由题意可知，的周长为.
故答案为：.
15．
【解答】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且，所以抛物线的标准方程是．
16．
【解答】因为点在圆上，所以切点为，切线斜率
所以由点斜式写方程得 即
故答案为
17．25
【分析】由题意求出A点坐标，根据过焦点得直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，根据抛物线焦点弦的弦长公式求解即可.
【解答】将代入，得，即，
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，
所以直线AB的斜率为，直线AB的方程为，
代入并消去y得，解得，，
故.
故答案为：25
18． 5或6 30
【分析】设数列的公差为，结合等比数列的定义列出方程，求出，再由的性质即可得到结果.
【解答】设数列的公差为，因为，，成等比数列，所以
即，又，所以，
，
因为，图象开口向下，对称轴为
所以当或时，取最大值，的最大值为30.
故答案为：5或6；30.
19．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【解答】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则,0,,,1,,,1,,,1,,,,,
，，
设平面的法向量为，
则，，，
取，则，，是平面的一个法向量，
又，
设与平面所成角为，则，
取，，
则，，
故点到直线的距离为；
故答案为：
20． 12
【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，即可得出答案．
【解答】由题意得，
则，，，，
，
，
前项和，
故，
故答案为：，12
21．（1）；（2）或.
【分析】（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程；
（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程．
【解答】由点、可得中点坐标为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
可得直线的垂直平分线的方程为：即，
由可得：，所以圆心为，
，
所以的标准方程为，
（2）设直线的方程为即，
圆心到直线的距离，
则可得，
即，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或
22．(1)证明见解答；
(2)；
(3).
【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可.
【解答】（1）
根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
易知平面的一个法向量为，
显然，又平面，
所以 平面；
（2）由上坐标系可知，则，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则有，，
取，则，即，
设平面与平面的夹角为，则；
（3）由（2）得平面的一个法向量为，
又，所以点D到平面的距离.
23．(1)
(2)或或或
【分析】（1）根据已知条件，求出，的值确定椭圆方程.
（2）根据已知条件确定先确定点坐标，根据对称确定，确定坐标，求出解出坐标，求出，求出到直线的距离，进而确定三角形面积，得到关于方程，解出即可确定直线方程.
【解答】（1）
根据已知条件，，则，又因为，所以有，
，所以椭圆方程为.
（2）根据已知条件，直线的斜率一定存在，若，则直线方程为，
与直线无交点，所以；因为，所以直线方程为，
联立直线与椭圆方程有：，即，，
，又因为，所以，
代入直线，得
，所以，点关于轴的对称点的坐标为：
；联立，有，所以直线的斜率为
，整理有：，设，则有，
因为， ，即，解得
所以，所以，整理有：
；因为所在直线方程为：
化为一般式，设点到直线的距离为，则
，整理的，所以的面积为：
，
，整理有，即，
整理有：，解得或；
或整理有：，解得或；
综上所述，直线方程为或或或.，
【点拨】根据已知条件确定各点坐标，根据面积得到关于的方程化简求解.
24．(1)，
(2)（i），，（ii）
【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；
（2）（i）先计算的通项公式，再用错位相减法求解；（ii）代入，，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果.
【解答】（1）依题意得，且，解得，
，.
（2）（i）由题意得，，
所以，
则，
两式相减，得
，
，.
（ii）由（1）可得，
不等式对一切恒成立，
即，则对一切恒成立，
令，，即，
又，
当时，，即，
当时，，即，
所以且，则，
所以.
实数的最大值为.
【点拨】关键点拨：不等式对一切恒成立，即转化为对一切恒成立，令，问题转化为.