2023-2024学年天津市滨海新区泰达二中高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区泰达二中高一（上）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合U={1,2,3,4,5}，A={2,4,5}，B={1,3,5}，则A∩(∁UB)=( )
A. {2}B. {4}C. {2,4}D. {2,4,5}
2.命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p是( )
A. ∀x∈R，x2+1<1B. ∀x∈R，x2+1≥1
C. ∃x∈R，x2+1<1D. ∃x∈R，x2+1≥1
3.“x<4”是“|x−1|<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在下列函数中，函数y=|x|表示同一函数的的( )
A. y=( x)2B. y=3x3
C. y=x,x≥0,−x,x<0D. y=x2|x|
5.已知f(2x−1)=4x2+3，则f(x)=( )
A. x2−2x+4B. x2+2xC. x2−2x−1D. x2+2x+4
6.已知幂函数f(x)的图象过点(2,8)，则f(4)的值为( )
A. 4B. 8C. 16D. 64
7.化简求值8−13+(−52)0−(214)12等于( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
8.设a，b∈R，且a>b则下列不等式一定成立的是( )
A. 1a<1bB. a3>b3C. |a|>|b|D. ac9.设a=20.2，b=π0.5，c=20.5，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
10.已知函数f(x)=1+x21−x2，则有( )
A. f(x)是奇函数，且f(1x)=f(x)B. f(x)是奇函数，且f(1x)=−f(x)
C. f(x)是偶函数，且f(1x)=f(x)D. f(x)是偶函数，f(1x)=−f(x)
11.已知正数x、y满足2x+1y=1，若不等式x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (8,+∞)B. (4,+∞)C. (−∞,8)D. (−∞,4)
12.已知f(x)是定义在[a−1,2a]上的偶函数，且当x≥0时，f(x)单调递增，若f(m−1)>f(a)，则m的取值范围是( )
A. [43,53)B. [13,23)∪(43,53]
C. (−23,−13]∪(13,23]D. 随a的值变化而变化
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若x>0，则4x+1x的最小值为______．
14.已知y=f(x)为奇函数，当x≥0时f(x)=x(1+x)，则f(−3)=______．
15.函数f(x)= 12−2x的定义域是______．
16.已知函数f(x)=3x+1,x<2x2+ax,x≥2，若f(f(23))=−6，则实数a的值为______
17.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+3<0的解集为{x|10的解集为______ ．
18.函数y=(13)x2−2x+3的单调递增区间为______ ，值域为______ ．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
化简求值(需要写出计算过程)．
(1)若10a=2，10b=25，求102a+b的值；
(2)化简求值：lg25+12lg21100．
20.(本小题8分)
已知集合A={x|−1≤x≤2}，集合B={x|a−1≤x≤a+3}．
(1)若a=2，求A∪B和A∩(∁RB)；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
21.(本小题10分)
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出y=f(x)的简图；写出y=f(x)的单调区间(只需写出结果，不要解答过程)．
22.(本小题10分)
已知函数f(x)=x2−2bx+3，b∈R．
(1)若函数f(x)的图象经过点(4,3)，求实数b的值；
(2)当x∈[−1,2]时，函数y=f(x)的最小值为1，求b的值．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=85．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(−1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(3t−1)+f(t)<0．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，A={2,4,5}，B={1,3,5}，
∴∁UB={2,4,6}，
则A∩(∁UB)={2,4}．
故选：C．
由全集U及B求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：因为命题p：∀x∈R，x2+1≥1，
则￢p：∃x∈R，x2+1<1．
故选：C．
根据全称命题的否定定义可解．
本题考查全称命题的否定定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：不等式|x−1|<1即，−1由x<4不能推出0所以“x<4”是“|x−1|<1”的必要不充分条件．
故选：B．
根据题意，解不等式|x−1|<1得到0本题主要考查绝对值不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，函数y=( x)2=x，x≥0，与函数y=|x|=x,x≥0−x,x<0的定义域不同，不是同一函数；
对于B，函数y=3x3=x，x∈R，与函数y=|x|=x,x≥0−x,x<0的对应关系不同，不是同一函数；
对于C，函数y=x,x≥0−x,x<0，与函数y=|x|=x,x≥0−x,x<0的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，函数y=x2|x|=x,x>0−x,x<0，与函数y=|x|=x,x≥0−x,x<0的定义域不同，不是同一函数．
故选：C．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：令t=2x−1，则x=t+12，f(t)=4(t+12)2+3=t2+2t+4；
所以f(x)=x2+2x+4．
故选：D．
利用换元法求解函数解析式．
本题主要考查了换元法在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：幂函数f(x)=xa的图象过点(2,8)，
2a=8，
解得a=3，
∴f(x)=x3，
则f(4)=43=64．
故选：D．
由幂函数f(x)=xa的图象过点(2,8)，求出f(x)=x3，由此能求出f(4)．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：8−13+(−52)0−(214)12=12+1−32=0．
故选：A．
根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：当a=1，b=−1时，AC显然错误；
当c=0时，D显然错误，
由a>b可得a3>b3一定成立，B正确．
故选：B．
由已知结合不等式的性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：因为幂函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增，且π>2，
所以π0.5>20.5，
因为指数函数y=2x在R上单调递增，且0.2<0.5，
所以20.2<20.5，
综上所述，π0.5>20.5>20.2，即b>c>a．
故选：B．
利用幂函数和指数函数的单调性求解．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了幂函数和指数函数的单调性，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：要使函数有意义，则1−x2≠0，即x≠±1，
又f(−x)=1+(−x)21−(−x)2=1+x21−x2=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
又f(1x)=1+(1x)21−(1x)2=1+x2x2−1=−f(x)．
故选D．
利用函数奇偶性的定义去判断函数的奇偶性，然后通过关系式化简f(1x)与f(x)的关系．
本题主要考查函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的性质．
11.【答案】C
【解析】解：因为x>0，y>0且2x+1y=1，
所以x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+xy+4yx≥4+2 xy⋅4yx=8，
当且仅当xy=4yx，即x=4y=2时，等号成立，
又因为x+2y>m恒成立，
所以m<(x+2y)min=8，
所以m的取值范围为(−∞,8)．
故选：C．
由题意可知m<(x+2y)min，利用基本不等式求出(x+2y)min即可得答案．
本题考查了转化思想、基本不等式的应用，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】解：由题意得：函数定义在[a−1,2a]上的偶函数，所以a−1+2a=0,a=13，
当x≥0时，f(x)单调递增，所以当x≤0时，f(x)单调递减，
关于x的不等式f(m−1)>f(a)即f(m−1)>f(13)，且f(x)定义在[−23,23]上，
所以−23≤m−1<−13或13解得：13≤m<23或43所以原不等式解集为：[13,23)∪(43,53]．
故选：B．
函数定义在[a−1,2a]上的偶函数，可求出a，当x≥0时，f(x)单调递增，根据偶函数得出x<0的单调性即可求解．
本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：若x>0，则4x+1x≥2 4x⋅1x=4，
当且仅当4x=1x，x=12时取得．
故答案为：4．
因为x>0，直接利用基本不等式求出其最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．
14.【答案】−12
【解析】解：因为y=f(x)为奇函数，当x≥0时f(x)=x(1+x)，
所以f(−3)=−f(3)=−[3(1+3)]=−12．
故答案为：−12．
由奇函数的性质即可求解f(−3)的值．
本题主要考查奇函数的性质以及函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】{x|x≤−1}
【解析】解：由题意可得，12−2x≥0可得x≤−1．
故答案为：{x|x≤−1}
由题意可得，12−2x≥0，解不等式可求．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础试题．
16.【答案】−5
【解析】解：∵函数f(x)=3x+1,x<2x2+ax,x≥2，
∴f(23)=3×23+1=3，
∵f(f(23))=−6，
∴f(f(23))=9+3a=−6，
解得a=−5．
∴实数a的值为−5．
故答案为：−5．
推导出f(23)=3×23+1=3，由f(f(23))=−6，由此能求出实数a的值．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17.【答案】−3 (4,+∞)
【解析】解：关于x的一元二次不等式ax2+bx+3<0的解集为{x|1则由韦达定理可得1+3=−ba，1×3=3a，且a>0．
求得a=1，b=−4，可得a+b=−3．
不等式x−4a+1>0，即x−42>0，求得x>4，故不等式x−4a+1>0的解集为(4,+∞)．
故答案为：−3；(4,+∞)．
由题意，利用韦达定理，求出a、b的值，可得结论．
本题主要考查一元二次不等式的解法，韦达定理的应用，属于基础题．
18.【答案】(−∞,1) (0,19]
【解析】解：∵t=x2−2x+3在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
y=(13)t在R上单调递减，t=x2−2x+3=(x−1)2+2≥2⇒0<(13)t≤19，
∴y=(13)x2−2x+3的单调递增区间为(−∞,1)，值域为(0,19].
故答案为：(−∞,1)，(0,19].
利用复合函数的单调性即可求解．
本题考查了复合函数的单调性和值域，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵10a=2，10b=25，
∴102a+b=102a×10b=(10a)2×10b=22×25=100；
(2)lg25+12lg21100=lg25+12×(−2)lg210=lg25−lg210=lg212=−1．
【解析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解；
(2)利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)集合A={x|−1≤x≤2}，集合B={x|a−1≤x≤a+3}．
当a=2时，B={x|1≤x≤5}，∁RB={x|x<1或x>5}，
∴A∪B={x|−1≤x≤5}．
A∩(∁RB)={x|−1≤x<1}；
(2)若A∩B=A，则A⊆B，
∴a−1≤−1a+3≥2，解得−1≤a≤0．
综上，实数a的取值范围是[−1,0]．
【解析】(1)利用补集、交集、并集定义求解；
(2)若A∩B=A，则A⊆B，列不等式组，能求出实数a的取值范围．
本题考查补集、交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x，
当x<0，则−x>0，
故f(−x)=(−x)2−2(−x)=x2+2x=−f(x)，
所以f(x)=−x2−2x，
故f(x)=x2−2x,x≥0−x2−2x,x<0；
(2)函数f(x)的简图如图所示：结合函数图象可知，函数的单调递增区间为[−1,1]，单调递减区间为(−∞,−1]，[1,+∞)．
【解析】(1)由已知结合函数的奇偶性即可求解函数解析式；
(2)结合二次函数的图象作出函数f(x)的图象，结合函数图象即可求解函数单调区间．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数单调区间的求解，属于基础题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=x2−2bx+3的图象经过点(4,3)，
∴16−8b+3=3，解得b=2，
∴b的值为2；
(2)∵f(x)=x2−2bx+3是开口向上，对称轴为x=b的二次函数，
①若b≤−1，则f(x)在[−1,2]上是增函数，则f(x)min=f(−1)=4+2b=1，解得b=−32，满足条件；
②若b≥2，则f(x)在[−1,2]上是减函数，则f(x)min=f(2)=7−4b=1，解得b=32，不满足条件；
③若−1综上：b的值为−32或 2．
【解析】(1)由题可得f(4)=3，进而即得；
(2)对f(x)的对称轴与区间[−1,2]的关系进行分情况讨论，判断f(x)的单调性，利用单调性解出b即可．
本题考查了二次函数的单调性应用，属于中档题．
23.【答案】解：(1)∵f(x)=ax+bx2+1是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=85，
∴f(0)=b=0，f(12)=12a+b54=85，
解可得，a=4，b=0，
∴f(x)=4xx2+1，
(2)证明：设−1则f(x1)−f(x2)=4x11+x12−4x21+x22=4(x1−x2)+4x1x2(x2−x1)(1+x22)(1+x12)=4(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，
∵−10，1+x12>0，1+x22>0，
∴4(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)<0，
∴f(x1)∴f(x)在(−1,1)上是增函数，
(3)由f(3t−1)+f(t)<0可得f(3t−1)<−f(t)=f(−t)，
∴−1<3t−1<−t<1，
解得，0故不等式的解集(0,14).
【解析】(1)由奇函数性质可知f(0)=0，然后结合f(12)=85，代入可求a，b，进而可求函数解析式；
(2)结合单调性定义设−1(3)由已知结合单调性及奇函数的定义即可求解．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义的应用及利用单调性求解不等式，属于中档试题．