广西壮族自治区“贵百河”名校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份广西壮族自治区“贵百河”名校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则复数z的虚部为( )
A.B.2iC.D.2
3．双曲线的渐近线方程是( )
A.B.C.D.
4．已知三棱锥中,点M,N分别为AB,OC的中点,且,,,则( )
A.B.C.D.
5．在棱长为a的正方体中,向量与向量所成的角为( )
A.B.C.D.
6．已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆,则使命题p成立的充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
7．国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆,绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水,雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间的关系(为最初污染物数量).如果前3个小时消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%还要( )
A.2.6小时B.3小时C.6小时D.4小时
8．若曲线C上存在点M,使M到平面内两点,距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．对于抛物线,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为B.焦点到准线距离为4
C.开口向上,焦点为D.准线方程为
10．已知函数,则( )
A.函数的最小正周期为
B.将函数的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称
C.函数的一个对称中心为
D.函数在区间上单调递减
11．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为( )
A.9B.10C.11D.12
12．已知,,,则( )
A.B.CD.
三、填空题
13．若两条直线与互相垂直,则a的值为______.
14．圆心为,且过点的圆的方程是______.
15．已知椭圆的左,右焦点分别为,,过作x轴的垂线,交椭圆于点P,若直线的斜率为,则椭圆C的离心率为__________.
16．已知函数定义域为,,对任意的,,当时,有(e是自然对数的底).若,则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,平面ABCD,,E为PB的中点,F为AC与BD的交点.
（1）证明:平面PCD;
（2）求三棱锥的体积.
18．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
（1）求角A的大小;
（2）若,,求面积.
19．已知直线,.
（1）求证:直线l与圆恒有公共点;
（2）若直线l与圆心为C的圆相交于A,B两点,且为直角三角形,求a的值.
20．甲,乙两人玩一个摸球猜猜的游戏,规则如下:一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球,其中2个红球,2个白球,甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球,然后让乙猜.若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,一轮游戏结束,然后进行下一轮(每轮游戏都由甲摸球).乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种;
猜法一:猜“第二次取出的球是红球”;
猜法二:猜“两次取出球颜色不同”.请回答:
（1）如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜法,并说明理由;
（2）假定每轮游戏结果相互独立,规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方,且整个游戏停止.若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏,求乙获得游戏胜利的概率.
21．如图,已知点,圆,点Q在圆上运动,的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹C的方程;
（2）直线l与曲线C交于M,N两点,且MN中点为,求直线l的方程及的面积.
22．如图,在三棱锥中,是正三角形,,,D是AB的中点.
（1）证明:;
（2）若二面角为,求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：,
,
故选:B.
2．答案：D
解析：由,可得
则复数z的虚部为2
故选:D
3．答案：C
解析：由题意,的渐近线方程为
故选:C
4．答案：D
解析：
.
故选:D.
5．答案：D
解析：建立如图所示的空间直角坐标系
则,,,,
,,
即
故选:D
6．答案：B
解析：若方程表示焦点在y轴上的椭圆,
则,解得:.
所以p成立的充要条件是:.
结合四个选项可知:p成立的充分不必要条件是,
故选:B.
7．答案：B
解析：由题意得,前3个小时消除了20%的污染物,则,则
则由,可得,解之得
则污染物消除至最初的64%还要小时
故选:B
8．答案：B
解析：由题意知:M平面内两点,距离之差的绝对值为8,
由双曲线定义知:M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线且,,
故,
即轨迹方程为:,
“好曲线”一定与有公共点,
联立与得:,,
故与有公共点,A为“好曲线”,
联立与得:,无解,B不是“好曲线”,
联立与得:,,有解,C为“好曲线”,
联立与得:,,有解,故D为“好曲线”.
故不是“好曲线”的是B.
故选:B.
9．答案：AB
解析：对于A,C项,由已知可得,,,且抛物线开口向上,所以焦点坐标为,故A正确,C错误;
对于B项,根据抛物线的定义可知,焦点到准线的距离为,故B正确;
对于D项,根据抛物线的方程可知,准线方程为,故D错误.
故选:AB.
10．答案：AD
解析：,
对于A项,,故A项正确;
对于B项,的图象向右平移个单位后为,
所以,所以图象不关于y轴对称.故B项错误;
对于C项,因为,,所以的对称中心为,,
当时,,所以不是的对称中心.故C项错误;
对于D项,因为,则,
,令,则,,
因为在上单调递减,所以在上单调递减.故D项正确.
故选:AD.
11．答案：B
解析：不妨设样本数据,,,,,且,则由样本方差为4,知.若5个整数的平方和为20,则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次),当这5个整数的平方中最大的数为16时,分析可知,总不满足和为20;当这5个整数的平方中最大的数为9时,0,1,1,9,9这组数满足要求,此时对应的样本数据为,,,,;当这5个整数的平方中最大的数不超过4时,总不满足要求,因此不存在满足条件的另一组数据.故选B.
12．答案：BC
解析：由题意可知,对于选项AB,因为,所以,又因为,且,所以,则,所以选项A错误,选项B正确;对于选项CD,,且,所以,故选项C正确,选项D错误;
故选:BC.
13．答案：4
解析：由题可知,.
故答案为:4.
14．答案：
解析：由题意圆的半径,
所以所求圆的方程为.
故答案为:.
15．答案：或
解析：由题意可得,,
因为轴,且,所以,
则①,
又②,①②联立得,
所以,解得或(舍去),
故答案为:
16．答案：
解析：由题意当时,有,即,
即,
故令,则当时,,
则在上单调递减,
由于,而,
即有,即,
所以,
,
即实数a的取值范围是,
故答案为:
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:四边形ABCD为正方形,F为AC与BD的交点,
是BD的中点,
又E是PB的中点,,
又平面PCD,平面PCD,
平面PCD.
（2）平面ABCD,E是PB的中点,
到平面ABCD的距离,
四边形ABCD是正方形,,,
三棱锥的体积.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由整理得,
,由,
;
（2）,
由正弦定理得,①,
又,②,
由①②得,,
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为圆的圆心为,半径为,
所以圆心O到直线l的距离.
又因为,所以,即.
所以直线l与圆相交或相切,即恒有公共点.
（2）由圆得,圆心,半径为2.
因为l与圆C相交于A,B两点,且是直角三角形,
所以,且,
所以圆心C到直线l的距离,即,解得,
所以实数a的的值为.
20．答案：（1）选择猜法二,理由见解析
（2）
解析：（1）用a,b表示两个红球,用1,2表示两个白球,甲不放回取两球的所有结果:
ab,ba,a1,1a,a2,2a,b1,1b,b2,2b,12,21,共12个不同结果,它们等可能,
令事件A为“第二次取出的是红球”,则事件A所含结果有:ab,ba,1a,2a,1b,2b,共6个,
令事件为“两次取出球的颜色不同”,则事件B所含结果有:a1,1a,a2,2a,b1,1b,b2,2b,共8个,
于是得,,显然,,
为了尽可能获胜,应该选择猜法二.
（2）由（1）知,乙选择猜法二,每一轮乙获胜的概率为,
游戏结束时,乙获胜的事件M是乙在第一,二轮胜的事件,第一轮负另外两轮胜的事件,第二轮负另外两轮胜的事件的和,它们互斥,
于是得,
所以乙获得游戏胜利的概率是.
21．答案：（1）;
（2）,.
解析：（1）圆的圆心,半径,
由的垂直平分线交于点,得,
则,
因此P的轨迹是以,为焦点,长轴长2a为的椭圆,则,半焦距,短半轴长,
所以点P的轨迹C的方程为:.
（2）设曲线上的点,,即有,
两式相减得,而MN中点为,即,,
于是,即直线l的斜率为,直线l的方程为,即,
显然点在椭圆内,即直线与椭圆必相交于两点,符合题意,
所以直线l的方程为;
由消去y得:,则,,
,,
点到直线l的距离,所以的面积.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AC的中点O,连接OP,OD,
因为是正三角形,所以,
因为D是AB的中点,所以,
因为,所以,
又,PO,面POD,所以面POD,
又因为面POD,所以.
（2）以OA,OD为x轴,y轴,过O作z轴底面ABC,建立如图空间直角坐标系,
则,,,,
易得,又,则,
由得直线BC的一个方向向量为,
设平面PAB的法向量为,,,
则,令,则平面PAB的一个法向量为,
记直线BC与平面PAB所成角为,那么.