2023-2024学年广西壮族自治区高一上学期12月贵百河三市联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区高一上学期12月贵百河三市联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，则∁U(M∪N)=( )
A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2,3,4}
2.已知命题p：∃x0≤0，x0+1ex0>1，则¬p为
( )
A. ∀x>0，x+1ex≤1B. ∀x≤0，x+1ex≤1
C. ∃x0≤0，x0+1ex0≤1D. ∀x>0，x+1ex≥1
3.若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=−2”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是
( )
A. ①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1
B. ①y=x3，②y=x2，③y=x−1，④y=x12
C. ①y=x2，②y=x3，③y=x−1，④y=x12
D. ①y=x3，②y=x12，④y=x2，④y=x−1
5.设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 1C. 23D. −1
6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把1+1%365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把1−1%365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后“进步值”是“退步值”的≈1481倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过多少天?(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)
( )
A. 19B. 35C. 45D. 55
7.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=lg3x+x，ℎ(x)=−x 的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为
( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
8.已知函数f(x)=(3a−2)x+4a,x<1lgax,x≥1是R上的减函数，那么实数a的取值范围是
( )
A. 0,1B. (0,23)C. [17,13)D. 27,23
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下运算结果等于2的是( )
A. (π−4)2B. 202322023C. −3−23D. (−2)2
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. fx=x2−2x−1与gs=s2−2s−1
B. fx= x2与gx= x2
C. f(x)=xx与g(x)=x0
D. f(x)=lg10x与g(x)=10lgx
11.下列说法正确的是( )
A. 函数y=3x与y=(13)x的图象关于y轴对称
B. 函数y=3x与y=(13)x的图象关于x轴对称
C. 函数y=3x与y=−(13)x的图象关于原点对称
D. 函数y=3x与y=−3x的图象关于x轴对称
12.已知函数f(x)=x2+1,x>0,0,x=0,−x2−1,x<0,则下列说法正确的是
( )
A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为R
C. f(x)为奇函数D. f(x)为增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=lga(x−3)+1(a>0，且a≠1)的图象恒过点____________．
14.函数y=lg3x(3≤x≤81)反函数的定义域为_______________．
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，则当x<0时，f(x)= ．
16.若正数a，b满足a+2b=1，则1a+2b的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：(214)12−4×(1649)−12−42×80.25−(1681)−14；
(2)已知3a=5b=c，且1a+1b=1，求c的值．
18.(本小题12分)
已知f(x)=lga(2x+3),g(x)=lga(3−2x),a>0且a≠1．
(1)求Fx=fx+gx的定义域；
(2)判断Fx=fx+gx的奇偶性，并说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+ax−3.
(1)若函数f(x)在[−4,5]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)当a=3,x∈[−1,1]时,不等式f(x)>m+2x−4恒成立,求实数m的取值范围；
20.(本小题12分)
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
21.(本小题12分)
定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数y=f(x)满足f(xy)=f(x)−f1y，且函数f(x)在(−∞,0)上是减函数．
(1)求f(−1)，并证明函数y=f(x)是偶函数；
(2)若f(2)=1，解不等式f2−4x−f1x≤1．
22.(本小题12分)
已知fx=2x−12x,x∈R．
(1)判断函数fx的单调性并用定义证明你的结论；
(2)若8x−8−x−4x+1−41−x+8>kfx对x∈1,+∞恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，属于基础题．
利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．
【解答】
解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，
∴M∪N={1,2,3,4}，
∴∁U(M∪N)={5}．
故答案选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得结论．
【解答】
解：存在量词命题的否定时只需要“改量词，否结论”即可，
故¬p为∀x≤0，x+1ex≤1．
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属中档题．
本题可采用多种解法判断，解法一：由题意进行等价变形即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=0得到x=−y，代入xy+yx化简即可得等式成立，证明必要性可由xy+yx=−2去分母，再用完全平方公式即可得x+y=0成立；解法三：证明充分性可由xy+yx通分后用配方法得到完全平方式，再把x+y=0代入即可，证明必要性可由xy+yx通分后用配方法得到完全平方式，再根据等式成立的条件得x+y2=0成立，即可得x+y=0．
【解答】
解：
解法一：
因为xy≠0，且xy+yx=−2，
所以等价于x2+y2=−2xy，即x2+y2+2xy=0，即x+y2=0，
所以“xy≠0，且xy+yx=−2 ”等价于“x+y=0”，
所以“x+y=0”是“xy+yx=−2”的充要条件．
解法二：
充分性：因为xy≠0，且x+y=0，所以x=−y，
所以xy+yx=−yy+y−y=−1−1=−2，
所以充分性成立；
必要性：因为xy≠0，且xy+yx=−2，
所以x2+y2=−2xy，即x2+y2+2xy=0，即x+y2=0，所以x+y=0．
所以必要性成立．
所以“x+y=0”是“xy+yx=−2”的充要条件．
解法三：
充分性：因为xy≠0，且x+y=0，
所以xy+yx=x2+y2xy=x2+y2+2xy−2xyxy=x+y2−2xyxy=−2xyxy=−2，
所以充分性成立；
必要性：因为xy≠0，且xy+yx=−2，
所以xy+yx=x2+y2xy=x2+y2+2xy−2xyxy=x+y2−2xyxy=x+y2xy−2=−2，
所以x+y2xy=0，所以x+y2=0，所以x+y=0，
所以必要性成立．
所以“x+y=0”是“xy+yx=−2”的充要条件．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数，属于基础题．
通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．
【解答】
解：幂函数 y=x3 的定义域为 R ，且为奇函数，在 (0,+∞) 上单调递增，对应图象①；
幂函数 y=x2 的定义域为 R ，且为偶函数，在 (0,+∞) 上单调递增，对应图象②；
幂函数 y=x12 的定义域为 [0,+∞) ，为非奇非偶函数，在 (0,+∞) 上单调递增，对应图象③；
幂函数 y=x−1 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞) ，且为奇函数，在 (0,+∞) 上单调递减，对应图象④；
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查集合的子集，属于容易题．
根据A⊆B，四个选项逐一代入即可判断．
【解答】
解：对于A、若a=2，此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不满足题意;
对于B、若a=1，此时A={0,−1}，B={1,−1,0}，满足题意．
对于C、若a=23，此时A={0,−23}，B={1,−43,−23}，不满足题意．
对于D、若a=−1，此时A={0,1}，B={1,−3,−4}，不满足题意．
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用、对数与对数运算，属于基础题．
设大约经过x天，得()x=100，两边同时取常用对数可得结果．
【解答】
解：设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，
则()x=2 ，
∴x=−lg99≈−1.9956=≈35．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点问题，属于基础题．
求出c=0，画出y=3x、y=lg3x、y=−x的图象，由图像可得a<0，b>0，即可得大小关系．
【解答】
解：由ℎ(x)=−x=0得x=0，∴c=0，
由f(x)=0得3x=−x，由g(x)=0得．lg3x=−x
在同一平面直角坐标系中画出y=3x、y=lg3x、y=−x的图象，
由图象知a<0，b>0，∴a故选B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
根据函数的单调性以及一次函数，对数函数的性质，求出a的范围即可．
【解答】解：由题意得：
3a−2<03a−2+4a≥009.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考了指数运算中分数指数幂的化简，是基础题
先根据指数指数幂相关公式分析此题，即可得到我们所需要答案。
【解答】
解：
对于A， (π−4)2=|π−4|=4−π，故A错误；
对于B，202322023=2，故B正确；
对于C，−3−23=−(−2)=2，故C正确；
对于D， (−2)2=|−2|=2，故D正确．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了函数三要素的理解与应用，解题的关键是判断函数的定义域和对应关系是否相同，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
根据函数的定义域、对应关系和值域等知识确定正确选项．
【解答】
解：A选项，f(x)=x2−2x−1与g(s)=s2−2s−1定义域相同、对应关系相同、值域也相同，A选项是同一函数．
B选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,+∞)，不是同一函数．
C选项，f(x)和g(x)的定义域都为x|x≠0，f(x)=1(x≠0),g(x)=1(x≠0)，对应关系相同，值域也相同，C选项是同一函数．
D选项，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为(0,+∞)，不是同一函数．
故选：AC．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象的对称性的应用，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．
根据图象关于原点对称、图象关于x轴对称、图象关于y轴对称、图象关于y=x轴对称，分别写出各个函数图象对称的函数图象的解析式，再对照选项即可得出正确答案．
【解答】
解：易知函数y=a ​x与y=1ax=a −x的图象关于y轴对称，
且函数y=a ​x与y=−a ​x的图象关于x轴对称，
所以函数y=a ​x与y=−1ax的图象关于原点对称，
所以A、C、D正确，B错误．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，属于基础题．
由解析式直接得出定义域，画出函数的图象，由图象分析值域，奇偶性，单调性．
【解答】
解：函数f(x)=x2+1,x>0,0,x=0,−x2−1,x<0,可知定义域为R，故A正确；
画出函数f(x)的图象如下：
由图象可知值域为{y|y>1或y<−1或y=0}.故B错误；
函数的图象关于原点对称，为奇函数，故C正确；
函数在整个定义域内为增函数，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】(4,1)
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象的特征，属于基础题．
由对数函数的图象恒过定点(1,0)，可令x−3=1，即可得到所求定点．
【解答】
解：可令x−3=1，解得x=4，
则f(4)=lga1+1=1，
可得f(x)的图象恒过定点(4,1)．
故答案为：(4,1)．
14.【答案】[1,4]
【解析】【分析】
本题考查原函数与反函数的关系，考查计算能力，是基础题．
直接根据反函数的定义，求出函数y=lg3x(3≤x≤81)的值域，就是反函数的定义域．
【解答】
解：y=lg3x(3≤x≤81)，可知y∈[1,4]，
所以反函数的定义域为：x∈[1,4]．
故答案为：[1,4]．
15.【答案】−x2+2x
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．
当x<0时，−x>0，由已知表达式可求得f(−x)，由奇函数的性质可得f(x)与f(−x)的关系，从而可求出f(x)．
【解答】
解：当x<0时，−x>0，
则f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x．
又f(x)是R上的奇函数，
∴当x<0时，f(x)=−f(−x)=−x2+2x．
故答案为：−x2+2x．
16.【答案】9
【解析】【分析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵正数a、b满足a+2b=1，
则1a+2b=(a+2b)1a+2b=5+2ba+2ab≥5+2 2ba×2ab=9，当且仅当a=b=13时取等号．
∴1a+2b的最小值是9．
故答案为：9．
17.【答案】解：(1)原式=32−4×(47)2×(−12)−214+34−(23)4×(−14)
=32−4×74−21−32=−9．
(2)因为3a=5b=c，所以c>0，所以a=lg3c，b=lg5c，
所以1a=lgc3，1b=lgc5，
所以1a+1b=lgc15，
因为1a+1b=1，由lgc15=1，
得c=15．
【解析】本题考查指数与对数运算，属于基础题．
(1)根据指数运算性质进行计算即可；
(2)根据指对互化和对数运算性质即可求解．
18.【答案】解：(1)令2x+3>0得：x>−32，∴f(x)定义域为(−32,+∞)，
令3−2x>0得：x<32，∴g(x)定义域为(−∞,32)，
∴F(x)=f(x)+g(x)的定义域为(−32,32)；
(2)由题意得：F(x)=lga(2x+3)+lga(3−2x)=lga(9−4x2)，x∈(−32,32).
∴F(−x)=lga(9−4(−x)2)=lga(9−4x2)=F(x)．
∴F(x)=f(x)+g(x)为偶函数．
【解析】本题主要考查的是对数函数的性质及函数的奇偶性，属于基础题．
(1)结合对数的定义域求解即可；
(2)结合奇偶函数的定义判断奇偶性．
19.【答案】解：(1)函数fx 图象的对称轴为x=−a2，
又函数fx在−4,5上是单调函数，−a2⩾5或 −a2⩽−4，
解得a⩽−10或a⩾8．
实数a的取值范围为(−∞,−10]∪[8,+∞)；
(2)当a=3，x∈[−1,1]时，f(x)>m+2x−4恒成立，
即x2+x+1>m恒成立，
令g(x)=x2+x+1，则g(x)min>m，
函数g(x)图象的对称轴x=−12∈[−1,1]，
∴g(x)min=g(−12)=34，即34>m，
∴m的取值范围为(−∞,34)．

【解析】本题考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)利用二次函数的性质，得−a2⩾5或 −a2⩽−4，即可求出实数a的取值范围；
(2)根据题意，不等式等价于当x∈[−1,1]时x2+x+1>m恒成立，通过构造函数g(x)=x2+x+1，将问题转化为g(x)min>m，即可求出实数m的取值范围．
20.【答案】解：(1)根据题意，得y=90−3(x−50)，
化简，得y=−3x+240(50≤x≤55,x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w=(x−40)(−3x+240)= −3x2+360x−9600(50≤x≤55,x∈N)．
(3)因为w=−3x2+360x−9600=−3(x−60)2+1200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，
所以当x=55时，w有最大值，最大值为1125．
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．

【解析】本题考查函数的实际应用，二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
(1)利用已知条件直接列出函数的解析式即可．
(2)通过该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，列出函数的解析式．
(3)利用二次函数的性质求解函数的最值即可．
21.【答案】解：(1)令y=1x≠0，则f(x⋅1x)=f(x)−f(11x)，
得f(1)=f(x)−f(x)=0，
再令x=1，y=−1，可得f(−1)=f(1)−f(−1)，
得2f(−1)=f(1)=0，
所以f(−1)=0，
令y=−1，可得f(−x)=f(x)−f(−1)=f(x)，
又函数f(x)的定义域关于原点对称，所以y=f(x)是偶函数．
(2)因为f(2)=1，所以f(−2)=1．
因为函数f(x)在(−∞,0)上是减函数，且是偶函数，
所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．
又f(2−4x)−f(1x)=f(2x−4x⋅x)=f(2x−4)，
所以f(2x−4)≤f(2)，
等价于2x−4>02x−4≤2或2x−4<02x−4≥−2，
解得2所以不等式f(2−4x)−f(1x)≤1的解集为[1,2)∪(2,3]．
【解析】本题考查抽象函数的图象和性质，属于中档题．
(1)用赋值法令y=1x≠0，得f(1)=f(x)−f(x)=0，令x=1，y=−1，可得f(−1)=0，令y=−1，可得f(−x)=f(x)−f(−1)=f(x)，可得函数f(x)是偶函数．
(2)f(2−4x)−f(1x)=f(2x−4x⋅x)=f(2x−4)，所以不等式可变为f(2x−4)≤f(2)，求解即可．
22.【答案】解：(1)任取x1，x2∈R，且x1f(x1)−f(x2)=2x1−2−x1−(2x2−2−x2)=2x1−2x2+2x1−2x22x1⋅2x2=(2x1−2x2)(1+12x1⋅2x2)，
∵x10，
∴f(x1)−f(x2)<0，
∴f(x1)∴f(x)为R上的增函数．
(3)由8x−8−x−4x+1−41−x+8>kf(x)对x∈[1,∞)恒成立，
即8x−8−x−4x+1−41−x+8>k(2x−2−x)对x∈[1,∞)恒成立，
可得(2x)3−(2−x)3−4[(2x)2+(2−x)2]+8 >k(2x−2−x)，
则(2x−2−x)[(2x)2+(2−x)2+1]−4[(2x)2+(2−x)2]+8 >k(2x−2−x)，
∴(2x−2−x)[(2x−2−x)2+3]−4[(2x−2−x)2+2]+8 >k(2x−2−x)，
∴(2x−2−x)[(2x−2−x)2+3]−4(2x−2−x)2 >k(2x−2−x)．
设2x−2−x=t，x⩾1，由(2)知t⩾32，
故原不等式可化为t2+3−4t>k在t∈[32,+∞)恒成立，
t2+3−4t=(t−2)2−1，
当t=2时， (t2+3−4t)min=−1，
∴k<−1，
∴k的取值范围是(−∞,−1)．

【解析】本题考查函数恒成立问题，解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围，属于中档题．
(1)由单调性的定义证明；
(2)设2x−2−x=t，x⩾1，由(2)知t⩾32，原不等式可化为t2+3−4t>k在t∈[32,+∞)恒成立，求出左边的最小值即得．