山东省济宁市2023-2024学年高三上学期质量检测数学试题

这是一份山东省济宁市2023-2024学年高三上学期质量检测数学试题，共12页。试卷主要包含了01，“”是“直线与直线垂直”的，若，则，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

2024.01
本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
3.“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，已知圆锥的母线长为，是底面圆的直径，且，点是弧的中点，是的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A.B.C.D.
6.定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（ ）
A.B.C.D.
7.若，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知正三棱锥的底面边长为，为棱的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若且，则
C.若，，且，则的最小值为
D.若，则的最小值为4
10.已知函数的最小正周期为，且函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.函数在区间内单调递减
C.函数在区间内有恰有两个零点
D.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
11.已知数列的前项和为，且满足，，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为），则下列结论正确的是（ ）
A.记直线、的斜率分別为、，则
B.若，则
C.的最小值为6
D.的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知指数函数的图象经过点，则__________.
14.已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为__________.
15.已知圆，过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，则__________.
16.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值.
18.（本题满分12分）
已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前100项和.
19.（本题满分12分）
如图，已知三棱柱各棱长均为2，分別是线段，的中点，平面.
（1）求证：平面平而；
（2）求平面与平面夹角的大小.
20.（本题满分12分）
如图，点是圆心角为，半径为1的扇形圆弧上的一动点（与不重合），在线段上且，记，线段，及圆弧的长度之和为.
（1）求函数关于的解析式；
（2）求为何值时，函数取得最大值.
21.（本题满分12分）
已知抛物线的焦点到的准线的距离为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若经过定点的直线与抛物线交于两点，为弦的中点，过作与轴垂直的直线与抛物线交于点，当时，求直线的方程.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若实数满足，证明：；
（3）证明：当时，.
2023—2024学年度第一学期高三质量检测
数学试题参考答案及评分标准
说明：（1）此评分标准仅供参考：
（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.AC 10.ABD 11.ACD 12.BD
12.提示：设，，
由于两点均在双曲线的左支上，所以，，
对于A：设，，
则，
均在双曲线上，，所以
所以，，A错误.
对于B：由知，
由对称性得，且
计算可得，，B正确
对于
当，，三点共线时，
此时，，与矛盾，故C错误
对于
又，，所以，
结合，得，的取值范围是，故D正确.
综上，正确答案为：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.4 14. 15. 16.或
16.提示：
令，则或
记，，在上单调递增；在上单调递减
最大值为.
当时，只有一个零点，，显然不合题意
要使恰好有两个零点，则方程只有一个实根，另一个零点为.
故的取值范围为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
解：（1）
由正弦定理得：
，又，，
，
（2），
由余弦定理得：
当且仅当时等号成立.
即的最小值为.
18.（12分）
解：（1）设数列的公差为
因为，
所以
解得或（舍去）
所以，，即.
（2）由（1）得
当，时，，所以；
当，时，，所以；
当，时，，所以；
当，时，，所以；
.
19.（12分）
（1）证明：平面，平面，
，为的中点，
，平面，
在平行四边形中，，
四边形为菱形，
又分别为，的中点，
，平面，平面
平面平面
（2）由（1）可知，，，两两相互垂直，故建立以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系
由三棱柱的所有棱长均为2得，，，
，，，，
，，
设平面的法向量为
则，
令，则，
所以，平面的一个法向量为
由（1）知平面
所以，平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为
则，
所以，平面与平面的夹角为.
20.（12分）
解：（1）在中，由题可知，，，
由正弦定理得，
所以，.
在扇形中，记弧的长度为，则
所以，
所以，，
（2）由（1）得，，
令，得
当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以，当时，取最大值，且最大值为.
21.（12分）
解：（1）因为抛物线C的焦点到C的准线的距离为1，
所以，
所以，抛物线的方程为.
（2）由题意可得，直线存在斜率，又直线过，
故设直线的方程为，
由，消去并整理得，
，所以直线与抛物线恒有两个交点.
设，，则，，
所以，，.
因为，为弦的中点，过作轴垂直的直线与抛物线交于点，
所以，，
所以，的坐标为
所以，，
因为
所以，
即
整理得
解得
所以，直线的方程为或.
22.（12分）
解：（1）的定义域为，
由，得，由得；
所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.
（2）证明：，
要证明，即证明：
即证明：，即证：
又由（1）可知，的单调递增区间为，
，原命题成立.
（3）要证明，
即证明
由（1）可知，在处取得最大值，
，，（等号在时成立）
下面证明：，即证明：
令，
令，得，，得
所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.
（等号在时成立）
综上：（等号不能同时成立）.