2024届安徽省安庆市怀宁县高河中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届安徽省安庆市怀宁县高河中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据向量的除法运算化简，进而可得在复平面对应的点为.
【详解】由得，故在复平面对应的点为，该点在第三象限.
故选：C
2．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上的一点，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】利用任意角的三角函数定义可得，再利用两角和的正切公式即可得到答案
【详解】解：∵是角终边上的一点，∴，
∴，
故选：D.
3．若向量＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“||＝5”的 ( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：根据题意，由于向量＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”可知向量的模长为5，条件可以推出结论，反之结论不一定推出条件，因为x=-4也满足长度为5，故选A
【解析】向量和充分条件
点评：本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识．
4．在中，，，，点在边上且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求出的长，可求得的长，利用三角形的面积公式以及可求得的面积.
【详解】因为，则为锐角，且，
所以，
由余弦定理可得，则，
因为点在边上且，则，
所以，，故.
故选：D.
5．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可判断A、B、C；因为，再由二次函数的性质可判断D.
【详解】对于A：，
故A正确；
对于B：∵，∴，故B错误；
对于C：，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于D：，故D错误．
故选：A．
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为，则，故A正确；
若，，满足，但此时，故B错；
因为，由不等式的可开方性，可得，故C正确；
因为函数为增函数，由可得，故D正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，属于基础题型.
7．对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】将化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中心.
【详解】解：
.
,①正确；
时，②错误；
令,解得，因此减区间为，③正确；
令，解得，此时，故对称中心为，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是2个.
故选：B.
8．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三棱柱和棱台表面积公式计算即可.
【详解】由题可得正三棱柱的底面积为：，
正三棱柱的外露表面积为：，
四棱台侧面梯形的高为：，
四棱台外露表面积为：，
该结构表面积为：.
故选：A
二、多选题
9．a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，，则D．若，，则
【答案】ABC
【分析】对A，注意判断的情况；
对B，注意可能相交或异面；
对C，讨论a，b的相交情况，即可判断；
对D，根据平面平行的性质判断即可.
【详解】对A，由，，可得或，A错误；
对B，由，，可得直线可能相交，异面或平行， B错误；
对C，，则当相交时，；当平行时，则或相交，C错误；
对D，由，，根据平行平面的性质可得，D正确，
故选：ABC.
10．设，且，则（ ）
A．B．
C．的最小值为0D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质及基本不等式求最值的方法，对选项逐个检验即可得到答案．
【详解】对于A，由解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
则在上单调递增，
且，故B错误；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
11．若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可.
【详解】若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，
则，，
对于函数，则，
则为奇函数；
对于函数，则，
则为偶函数；
对于函数，则，
则为偶函数；
对于函数，则，
则为偶函数.
故选：BCD.
12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．
【详解】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，
对于，，故A正确；
对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故B正确；
对于C，，，与的夹角为，
与的夹角为，故，故C错误；
对于D，在向量上的投影向量为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式 ．
【答案】
【分析】由图易知，再向右平移个单位，可得.
【详解】由图知,，，
则：，，
又，
∴，
∴令可得；
∴的解析式为，
∴将的图象向右平移单位后得.
故答案为：.
14．已知实数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由，再利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】因为，
令，所以，恒成立，
所以，函数在区间上单调递增，则.
，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数，考查了参变量分离法与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
15．已知分别为的三个内角的对边，,且，为内一点，且满足,,则＝ .
【答案】3
【分析】由余弦定理化简求得，再由三角形面积公式与重心性质求解，
【详解】由化简得，
故，，
而，故是的重心，
由得，
将，代入得，即，
故答案为：3
16．已知正方形中，，，分别是，的中点，将沿折起，使得，则折起后四棱锥的体积为 ．
【答案】
【分析】由勾股定理逆定理证得，从而得证平面，再证得，然后由求得点到平面的距离为，从而求得体积．
【详解】由题意，，，，
∴，∴，，平面，
∴平面．
∵，，∴，
∴．
设点到平面的距离为，，
即，解得，
∴．
故答案为：．
四、解答题
17．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若角的平分线与交于点，，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用余弦定理角化边或利用正弦定理边化角即可求解；
（2）在和中用两次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得的长度，进而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）解法一：由余弦定理可得，
即，整理可得，
所以，
因为，所以.
解法二：由正弦定理可得，
因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
（2）如图所示
由题意可得是角的平分线，，，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
所以，由正弦定理边角互化得，
在中由余弦定理解得，
所以，
在由余弦定理得，
解得.
18．如图，在斜三棱柱中，，侧面为菱形，且，点D为棱的中点，，平面平面．
(1)若，，求三棱锥的体积；
(2)设平面与平面ABC的交线为l，求证：l⊥平面．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据锥体的体积公式运算求解；
（2）先根据线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理证明，即可得结果.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵，则，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
由题意可得：为等边三角形，则，
可得，则为直角三角形，
即三棱锥的高为，
故三棱锥的体积.
（2）取的中点，连接，
∵分别为的中点，则，，
又∵为的中点，则，，
∴，，
则为平行四边形，可得，
平面，平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴，
由（1）可得：平面，
故平面.
19．已知函数．
（1） 求f(x)的最小正周期；
（2） 求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）T＝π；（2）最大值为，最小值为－2．
【解析】（1）先利用两角和的正弦公式和二倍角公式转化为＝2sin 2x－2cs 2x，再利用辅助角公式转化，然后由周期公式求解.
（2）根据，得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）＝sin 2x·＋3sin 2x－cs 2x
＝2sin 2x－2cs 2x＝．
所以，的最小正周期T＝＝π．
（2）因为，
所以，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为－2．
【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及两角和与差的三角函数的应用，属于中档题.
20．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（1）类比等差数列求和的倒序相加法，将等比数列前n项积倒序相乘，可求，代入即可求解.
（2）由（1）知，利用两角差的正切公式，化简，，得
，再根据裂项相消法，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由题意，构成递增的等比数列，其中，则
①
②
①②，并利用等比数列性质，得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以数列的前项和为
【点睛】（Ⅰ）类比等差数列，利用等比数列的相关性质，推导等比数列前项积公式，创新应用型题；（Ⅱ）由两角差的正切公式，推导连续两个自然数的正切之差，构造新型的裂项相消的式子，创新应用型题；本题属于难题.
21．如图，四棱锥中，平面，平面,，F，M，N分别为的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面∥平面，进而说明∥平面；（2）利用∥平面进行转化，D点到平面的距离等于A点到平面的距离，再证平面，即 ，则．
【详解】（1）取的中点G，连接，则由M，G分别为的中点易得∥
平面，平面
∴∥平面
同理：∥平面
又，
所以平面∥平面，
所以∥平面
（2）由题意可得∥
平面，平面
∥平面，
所以D点到平面的距离等于A点到平面的距离，
连接,三角形为正三角形，M为中点，所以
平面，平面，所以
∴平面
即，又，设直线与平面所成角为
则．
22．已知函数满足,且,分别是定义在上的偶函数和奇函数．
（1）求函数的反函数;
（2）已知,若函数在上满足,求实数a的取值范围;
（3）若对于任意不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）由题意可得:,,联立解得:,.由,化为:,,解得．可得．
（2）,函数在上满足,转化为:函数在上满足:,由于函数在上单调递增,且函数为偶函数,可得,,,即可求得的范围．
（3）不等式,即,令,由,可得,不等式转化为:,,利用基本不等式的性质,即可求得答案．
【详解】（1）由题意可得:,,
联立解得:,．
由,化为:,
解得．
．
（2）,函数在上满足,
转化为:函数在上满足:,
由于函数在上单调递增,且函数为偶函数,
解得:．
（3）不等式,即,
令,由,可得,
不等式转化为:,
,
,当且仅当时取等号．
．
【点睛】本题考查求反函数,根据单调性解函数不等式和不等式恒成立问题,掌握反函数的求法和求解不等式恒成立时的参数分离法是解题关键,考查了分析能力和转化能力.