2023-2024学年黑龙江省大庆外国语学校高一（上）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆外国语学校高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x≤2}，B={x|−2A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}
2.函数y= 2−xx2−x−2的定义域为( )
A. (−∞,2]B. (−∞,2)
C. (−∞,−1)∪(−1,2]D. (−∞,−1)∪(−1,2)
3.设x∈R，则“x<1”是“|x|>x”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.命题“∀x>0，ax+1>1”的否定是( )
A. ∃x>0，ax+1≤1B. ∃x>0，ax+1<1
C. ∃x≤0，ax+1≤1D. ∀x<0，ax+1<1
5.为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”.假设计费方法如下：
若某户居民本月交纳的水费为99元，求此户居民本月的用水量( )
A. 11B. 21C. 22.5D. 33
6.一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为( )
A. (13,12)B. (−12,−13)
C. (−3,−2)D. (−∞,13)∪(12,+∞)
7.已知幂函数f(x)=(2m2−m)xm−12在区间(0,+∞)上单调递增，则m=( )
A. −2B. 1C. −12D. −1
8.已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A. −3≤a<0B. −3≤a≤−2C. a≤−2D. a<0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(−x)=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则称函数f(x)为“理想函数“．
下列四个函数中能被称为“理想函数“的是( )
A. f(x)=−xB. f(x)=−3xC. f(x)=x3+xD. f(x)=23−x
10.已知a>b，ab≠0，下列不等式恒成立的有( )
A. 2a>2bB. 1a<1bC. a13>b13D. (13)a<(13)b
11.下列结论正确的是( )
A. y=( x)2与y=|x|是同一个函数
B. 若f(1+ x)=2x+1，则f(x)=2x2−4x+3(x≥1)
C. 若函数f(2x−1)的定义域为[−1,1]，则函数y=f(x−1) x−1的定义域为(1,2]
D. 函数f(x)的值域为[1,2]，则函数f(x+1)的值域为[2,3]
12.若正实数a，b满足a+3b=2，则下列说法正确的是( )
A. 1a+3b有最小值8B. ab有最小值13
C. 2a+8b的最小值是4D. a2+b2的最小值是25
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3−x+1，则f(−1)+f(0)=______．
14.3(−4)3+(12)0+0.2512×(−12)−4= ______ ．
15.若不等式2ax2+ax−2<0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是______ ．
16.函数y=a(x+1)−2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A ______ ，若点A在直线mx+my+1=0上，其中m、n>0，则1m+2n的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A={x|−3(1)当a=5时，求(∁UA)∪B；
(2)若A∪B=A，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2．
(1)证明函数f(x)=x2+ax在(1,+∞)上是增函数；
(2)求函数f(x)=x2+ax在[2,5]上的最大值和最小值．
19.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(2m2+9m−4)xm在(−∞,0)上为减函数．
(1)试求函数f(x)解析式；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并写出其单调区间．
20.(本小题12分)
奇函数f(x)=ax+bx2+1是定义在区间[−1,1]上的增函数，且f(12)=25．
(1)求f(x)解析式；
(2)求不等式f(x−1)+f(x)<0的解集．
21.(本小题12分)
2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产x千件该产品，需另投入成本F(x)万元，且F(x)=10x2+100x,0(1)求出全年的利润G(x)万元关于年产量x千件的函数关系式；
(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−4x，x∈[−2,1]．
(1)求f(x)的值域；
(2)若对∀x∈[−2,1]，不等式f(x)>2−m⋅2x恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，可得A={0,1,2}，
结合B={x|−2故选：D．
根据题意，化简集合A，再根据交集的知识求得正确答案．
本题主要考查集合的概念与表示、交集的运算法则等知识，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可得2−x≥0x2−x−2≠0⇒x<2且x≠−1，
故定义域为；(−∞,−1)∪(−1,2)．
故选：D．
根据根式以及分式的性质即可列不等式求解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由|x|>x，可得x<0，
则x<1是x<0的必要不充分条件．
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据全称命题的否定，可得∃x>0，ax+1≤1．
故选：A．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：若用水量不超过12m3 ，交纳的水费最多为3×12=36，不成立；
若用水量不超过18m3 ，交纳的水费最多为3×12+6×6=72，不成立；
故用水量超过18m3 ，设用水量为x，x>18，
则3×12+6×6+(x−18)×9=99，解得x=21．
故选：B．
判断用水量超过18m3 ，列方程解得答案．
本题主要考查函数的实际应用问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，
∴a<0，且2，3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，
∴2+3=−ba2×3=ca，
解得b=−5a，c=6a，其中a<0；
∴不等式cx2+bx+a<0化为6ax2−5ax+a<0，
即6x2−5x+1>0，
解得x<13或x>12，
因此所求不等式的解集为(−∞,13)∪(12,+∞)．
故选：D．
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系
求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意有2m2−m=1，解得m=1或m=−12，
①当m=−12时，f(x)=x−1，在区间(0,+∞)上单调递减，不合题意；
②当m=1时，f(x)=x12，在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意．
故选：B．
根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可．
本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查利用函数单调性求参数，属于中档题．
设g(x)=−x2−ax−5，h(x)=ax，则可知函数g(x)在x≤1时单调递增，函数h(x)在(1,+∞)单调递增，且g(1)≤h(1)，从而可求．
【解答】解：∵函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)是R上的增函数，
设g(x)=−x2−ax−5(x≤1)，h(x)=ax(x>1)，
由分段函数的性质可知，函数g(x)=−x2−ax−5在(−∞,1]单调递增，函数h(x)=ax在(1,+∞)单调递增，且g(1)≤h(1)，
∴ −a2≥1a<0−a−6≤a,
∴ a≤−2a<0a≥−3，解得−3≤a≤−2，
故选B．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，若函数f(x)满足对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(−x)=0，则f(x)为奇函数，
满足对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则f(x)在其定义域上为减函数，
若函数f(x)为“理想函数“，则f(x)为奇函数且在其定义域上为减函数，
依次分析选项：
对于A，f(x)=−x，是正比例函数，是奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意，
对于B，f(x)=−3x，是奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意，
对于C，f(x)=x3+x，在其定义域上为增函数，不符合题意，
对于D，f(x)=23−x，是一次函数，不是奇函数，不符合题意；
故选：AB．
根据题意，分析可得若函数f(x)为“理想函数“，则f(x)为奇函数且在其定义域上为减函数，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A选项，因函数y=2x在R上单调递增，则a>b时，2a>2b，故A正确；
B选项，注意到当a>0>b时，1a>1b，故B错误；
C选项，因函数y=x13在R上单调递增，则a>b时，a13>b13，故C正确；
D选项，因函数y=(13)x在R上单调递减，则a>b时，(13)a<(13)b，故D正确．
故选：ACD．
利用指数函数，幂函数单调性结合不等式性质可判断选项正误．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A：函数y=( x)2的定义域为[0,+∞)，函数y=|x|的定义域为R，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：因为f(1+ x)=2x+1，令t=1+ x，则t≥1，x=(t−1)2，
所以f(t)=2(t−1)2+1=2t2−4t+3，
所以f(x)=2x2−4x+3(x≥1)，故B正确；
对于C：因为函数f(2x−1)的定义域为[−1,1]，则−3≤2x−1≤1，即f(x)的定义域为[−3,1]，
对于函数y=f(x−1) x−1，则−3≤x−1≤1x−1>0，解得1即函数y=f(x−1) x−1的定义域为(1,2]，故C正确；
对于D：函数f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移一个单位而得到，
又函数f(x)的值域为[1,2]，则函数f(x+1)的值域为[1,2]，故D错误．
故选：BC．
由两函数的定义域不相同，即可判断A，利用换元法求函数解析式，即可判断B，根据抽象函数的定义域的求法判断C，根据函数图象的变换判断D．
本题主要考查了函数的定义域，函数值域的求解，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为正实数a，b满足a+3b=2，
所以1a+3b=a+3b2a+3(a+3b)2b=5+3b2a+3a2b≥5+2 3b2a⋅3a2b=8，
当且仅当a=b且a+3b=2，即a=b=12时取等号，A正确；
因为2=a+3b≥2 3ab，当且仅当a=3b且a+3b=2，即b=13，a=1时取等号，
解得ab≤13，即最大值为13，B错误；
因为2a+8b≥2 2a⋅8b=2 2a+3b=4，当且仅当a=3b且a+3b=2，即b=13，a=1时取等号，C正确；
由题意得a=2−3b>0，
所以0a2+b2=(2−3b)2+b2=10b2−12b+4，
根据二次函数的性质可知，当b=35时，上式取得最小值25，D正确．
故选：ACD．
由已知结合基本不等式检验选项A，B，C，结合二次函数性质检验选项D．
本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：根据题意，函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，
又由当x>0时，f(x)=x3−x+1，则f(1)=1−1+1=1，则f(−1)=−f(1)=−1，
故f(−1)+f(0)=−1；
故答案为：−1．
根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，由函数的解析式可得f(1)的值，结合奇函数的性质可得f(−1)的值，进而计算可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
14.【答案】5
【解析】解：因为3(−4)3+(12)0+0.2512×(−12)−4=−4+1+0.5×16=−3+8=5．
故答案为：5．
运用指数幂的运算性质即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
15.【答案】(−16,0]
【解析】解：不等式2ax2+ax−2<0对一切实数x都成立，
当a=0时，−2<0恒成立；
当a≠0时，要使不等式2ax2+ax−2<0对一切实数x都成立，则2a<0Δ=a2+16a<0，解得−16综上所述，实数a的取值范围是(−16,0]．
故答案为：(−16,0]．
分类讨论a=0，a≠0，结合二次函数的性质，列出关于a的不等式组，求解即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】(−1,−1) 3+2 2
【解析】解：令x=−1，则y=a0−2=−1，
∴函数y=ax+1−2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(−1,−1)，
∵点A在直线mx+ny+1=0上，−m−n+1=0，即m+n=1，又m、n>0，
∴1m+2n=(m+n)(1m+2n)=3+nm+2mn≥3+2 nm⋅2mn=3+2 2，
当且仅当n= 2m=2− 2时取等号，
∴1m+2n的最小值为3+2 2．
故答案为：(−1,−1)，3+2 2．
利用a0=1可得函数y=ax+1−2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(−1,−1)，进而得到m+n=1，再利用“乘1法”和基本不等式进行求解即可．
本题考查了指数函数的性质及基本不等式的性质，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)当a=5时，B={x|3≤x≤7}，
因为A={x|−3所以(∁UA)∪B={x|x≤−3或x≥3}；
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
当B=⌀时，a−2>2a−3，解得a<1；
当B≠⌀时，a≥1a−2>−32a−3<6，解得1≤a<92，
综上，a的取值范围是{a|a<92}.
【解析】(1)求出a=5时集合B，再根据补集和并集的定义计算即可；
(2)由A∪B=A得出B⊆A，讨论B=⌀和B≠⌀时，即可求出a的取值范围．
本题考查了集合间的关系与运算问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)证明：根据题意，函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2，
则有1+a1=2，解可得a=1，
故f(x)=x2+1x=x+1x，
设1又由10，
则f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(1,+∞)上是增函数；
(2)根据题意，由(1)的结论，函数f(x)在[2,5]上为增函数，
则其最小值为f(2)=2+12=52，
最大值为f(5)=5+15=265．
【解析】(1)根据题意，利用作差法证明可得结论；
(2)根据题意，由(1)的结论可得f(x)在[2,5]上为增函数，进而分析其最值可得答案．
本题考查函数单调性的证明，涉及函数的最值，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=(2m2+9m−4)xm为幂函数，
∴2m2+9m−4=1，即2m2+9m−5=0，解得m=12或m=−5，
当m=12时，函数f(x)在区间(−∞,0)上无意义，
∴m=−5，则f(x)=x−5．
(2)∵f(x)=x−5=1x5的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，其关于原点对称，
∵f(−x)=1(−x)5=−1x5=−f(x)，∴幂函数为奇函数，
当x>0时，根据幂函数的性质可知f(x)=x−5在(0,+∞)上为减函数，
∵函数f(x)是奇函数，∴在(−∞,0)上也为减函数，
故其单调减区间为(−∞,0)，(0,+∞)．
【解析】(1)根据幂函数的定义，令2m2+9m−4=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈(−∞,0)上为减函数即可．
(2)利用奇偶性的定义判断奇偶性，利用幂函数的性质求出单调区间．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值，属中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得f(0)=b=0f(12)=12a+b54=25，
解得b=0，a=1，
所以f(x)=x1+x2；
(2)由(1)得f(x)在[−1,1]上单调递增且为奇函数，
由f(x−1)+f(x)<0得f(x−1)<−f(x)=f(−x)，
所以−1解得0所以不等式的解集为(0,12).
【解析】(1)由题意得f(0)=b=0f(12)=12a+b54=25，解方程组求出a，b，进而可求函数解析式；
(2)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解知的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵F(x)=10x2+100x,0∴当0当x≥60时，G(x)=900x−(901x+8100x−21980)−6200=−(x+8100x)+15780，
综上所述，G(x)=−10x2+800x−6200,0(2)由(1)得G(x)=−10x2+800x−6200,0∴当0∴当x=40时，G(x)max=9800；
当x≥60时，则G(x)=−(x+8100x)+15780≤−2 x⋅8100x+15780=15600，当且仅当x=8100x，即x=90时，等号成立，此时G(x)max=15600，
∵15600>9800，
∴该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元．
【解析】(1)根据分段函数的性质，即可求得全年的利润G(x)万元关于年产量x千件的函数关系式；
(2)根据分段函数的性质，分别求出最大值，比较大小，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)令t=2x，当x∈[−2,1]时，t∈[14,2]，………(2分)
则可将原函数转化为y=t−t2=−(t−12)2+14，
当t=12时，ymax=14；当t=2时，ymin=−2．
所以f(x)在[−2,1]上的值域为[−2,14].………(5分)
(2)关于x的不等式2x−4x>2−m⋅2x对∀x∈[−2,1]恒成立，
由(1)，t−t2>2−mt对∀t∈[14,2]恒成立，
所以mt>2+t2−t，
所以m>t+2t−1，…(8分)
因为t+2t−1≥2 t⋅2t−1=2 2−1(当且仅当t=2t，即t= 2时，等号成立)，
所以g(t)=t+2t−1在(0, 2]上为减函数，在[ 2,+∞)上为增函数，…(10分)
又g(14)=294,g(2)=2,g(t)在t∈[14,2]上的最大值为294，
因此实数m的取值范围为m>294，即m∈(294,+∞).…(12分)
【解析】(1)令t=2x，可将原函数转化为y=t−t2=−(t−12)2+14，利用二次函数的性质可求得x∈[−2,1]时(x)的值域；
(2)依题意，分离参数m，得到m>t+2t−1对∀t∈[14,2]恒成立，令g(t)=t+2t−1，利用对勾函数的单调性质可求得g(t)的最大值，从而可得实数m的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与分离参数法、换元法、配方法的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3

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