2024届四川省资阳市高三上学期第二次诊断性考试（二模）文科数学试题

这是一份2024届四川省资阳市高三上学期第二次诊断性考试（二模）文科数学试题，共16页。试卷主要包含了已知命题，则为，若直线与曲线相切，则等内容，欢迎下载使用。

数学（文科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数，则（ ）
A.1 B. C.2 D.4
3.已知向量，则（ ）
A.10 B.18 C. D.
4.已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
5.甲､乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A.2 B. C. D.
8.已知为双曲线的左､右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.若直线与曲线相切，则（ ）
A. B. C. D.
10.函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A. B. C.3 D.
11.在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A.与所成的角为 B.与所成的角为
C.与所成的角为 D.与所成的角为
12.已知为坐标原点，是椭圆的左､右焦点，分别为的左､右顶点.为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点.若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数为偶函数，则___________.
14.已知实数满足则的最大值为___________.
15.在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若，则该四棱台的高是___________.
16.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为___________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲､乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品.若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率.
附表及公式：
其中.
18.（12分）
记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，__________，求面积的取值范围.
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12分）
已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点.
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
20.（12分）
如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当，探究在上的极值点个数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（为参数，），曲线（为参数，）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线与分别交于两点，求面积的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数满足，证明：.
文科数学参考解答及评分参考
一､选择题
1.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.
【答案】B
【解析】由，所以.
2.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法､加法运算，复数模的概念等基础知识；考查运算求解能力.
【答案】C
【解析】由，
所以.
3.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的加减法运算，数量积运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.
【答案】A
【解析】.
4.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查全称量词与存在量词的意义､含有一个量词的命题的否定等基础知识；考查数学抽象等数学核心素养.
【答案】D
【解析】依题意，对有存在量词的命题的否定为.
5.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查直方图､统计量的含义等基础知识；考查统计与概率等数学思想；考查直观想象､数学建模等数学核心素养.
【答案】C
【解析】依直方图可知，甲投中个数的平均数､中位数分别比乙投中个数的平均数､中位数大，错误；甲投中个数的标准差比乙投中个数的平标准差小，C正确；甲投中个数的极差比乙投中个数的极差小，错误.
6.【考查意图】本小题设置数学应用情境，设计程序框图问题，主要考查对程序框图以及循环结构的理解和应用等基础知识；考查读图能力和逻辑思维能力；考查逻辑推理素养.
【答案】D
【解析】运行程序，输入，则，满足，满足，满足，不满足，故输出的.
7.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计等差数列和等比数列问题，主要考查等差数列和等比数列的性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力.
【答案】C
【解析】由是等差数列，得，所以，由得，所以，
所以.
8.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计求双曲线标准方程的问题，考查双曲线的定义，解三角形及三角形面积等基础知识，考查化归与转化的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.
【答案】B
【解析】设，由得，又因为，所以，故的面积为，即，故的方程为.
9.【考查意图】本小题设置有关切线的数学课程学习，考查导数的几何意义､导数的应用等基础知识，考查运算求解､推理论证等能力；考查化归与转化等思想方法.
【答案】C
【解析】设与曲线相切于点，则切线方程为，即，则，解得.
10.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设置三角函数图象问题，主要考查三角函数图象及其性质等基础知识；考查化归与转化能力､运算求解能力；考查数形结合思想，数学运算核心素养.
【答案】A
【解析】由，得，因为，所以，所以，将该函数图象向右平移个单位长度后所得函数图象对应的解析式为.由已知得，函数为奇函数，所以，解得，又，所以的最小值为.
11.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计空间几何问题，主要考查正方体中直线与直线的位置关系､线线角的计算等基础知识与基本技能；考查空间想象能力，考查化归与转化等思想，考查逻辑推理､直观想象等数学素养.
【答案】A
【解析】如图，由正方体的性质，可得为正三角形，
所以为与所成的角，等于选项正确；
同理为与所成的角，等于选项错误；
由平面，则，B选项错误；由，
为与所成的角，在Rt中，，
显然选项错误.
12.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计与椭圆有关的综合问题，考查利用简单图形的几何性质求解点的坐标，线段长度等基础知识，考查化归转化､数形结合等思想方法，考查直观想象､数学运算等数学素养.
【答案】B
【解析】设，由题知，不妨设，又因为，所以即，则.
二､填空题
13.【考查意图】本小题设置数学学科学习情境，考查函数的奇偶性等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查逻辑推理等数学核心素养.
【答案】0
【解析】因为为偶函数，所以，即，所以恒成立，所以.
14.【考查意图】本小题设置数学课程学习情景，主要考查线性规划问题；查数形结合思想；考查直观想象､数学运算素养.
【答案】11
【解析】不等式组所表示的平面区域是由连接所构成的三角形及内部区域，当所表示的直线过点时，的值最大，其最大值为11.
15.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计多面体的内切球问题；主要考查正四棱台的底面与高､斜高等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.
【答案】
【解析】如图，取球心､球与上下底面的切点，球与左､右侧面的切点确定的截面.易得，故，
从而四棱台的高.
16.【考查意图】本小题设置数学文化情境，设计数列应用问题，主要考查等差数列公差､数列通项公式等基础知识；考查运算求解能力，阅读理解能力，推理论证能力；考查数学文化，逻辑推理素养，数学运算素养.
【答案】21
【解析】设每日所织尺数为正项等差数列，公差为，由已知得即解得或（不符合题意，舍去），所以.
三､解答题
17.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查独立性检验的基本思想及其初步应用､概率等基础知识；考查统计与概率等数学思想；考查数学运算､数据处理､数学建模等数学核心素养.
【解析】（1）由题，，
因此，有的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）记这6件产品中产自于甲生产线的有2件，记为，产自于乙生产线的有4件，记为.
从这6件产品中随机抽取2件的所有基本事件有：，，，共15个.
其中，至少有一件产自于甲生产线的基本事件有9个.
所以，抽取的2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为即.
18.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计结构不良问题，主要考查正弦定理，三角形面积公式，锐角三角形等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，数学运算素养，逻辑推理素养.
【解析】若选①，由正弦定理得，
所以，
，
所以
，
因为为锐角三角形，所以且，
所以，
所以，
所以，
故锐角面积的取值范围为.
若选②，由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，所以且，
所以，
所以，
所以.
故锐角面积的取值范围为.
19.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计直线与抛物线的综合问题，主要考查直线与抛物线的交点坐标､抛物线的对称性等基础知识，考查特殊与一股､化归与转化等数学思想，考查类比推理及数学运算素养.
【解析】（1）由题知，直线与轴不垂直，
故可设直线的方程为.
由得.
显然，，
于是.
所以.
（2）当直线轴时，，
故当时，点轴.
当直线与轴不垂直时，由抛物线的对称性知，满足条件的点轴，设，
由得，
即，
整理得，即
，
所以.
故，解得.
综上，存在定点满足条件.
20.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计柱体相关的综合问题，主要考查直线与平面垂直的判定及性质，平面与平面垂直的性质，二面角的平面角的计算等基础知识与基本技能；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.
【解析】（1）在平面中作于，
因为平面平面，
且平面平面，
所以平面，从而.
在三棱柱中，平面平面，
所以.
又因为，所以平面，
因此.
（2）假设点存在，在平面中，
作交于，
则，因为平面，故平面.
在平行四边形中，因为，且.
所以.
所以，
所以.
因，所以.
故符合条件的点存在，为的中点.
21.【考查意图】本小题以幂函数､三角函数等通过四则运算构成的新函数为数学探究创新情境，主要考查函数的图象和性质､导数､不等式等基础知识；考查化归与转化､分类与整合､数形结合等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算､直观想象等数学核心素养.
【解析】（1）当时，在上是单调递增函数，
理由如下：
思路1：依题意，，
当时，；
当时，，则，
故时，，
所以在上是单调递增函数.
思路2：依题意，，
由于，则为奇函数，故可先判断在上单调性.
当时，，此时单调递增，
由于为奇函数，所以在上是单调递增函数.
（2）由，得，
依题意，只需探究在上的零点个数即可.
令，则，
（i）当，即时，，此时在恒成立，
则即单调递增，故，
此时在上无零点，则在上的极值点个数为0.
（ii）当，即时，，使得，即，
可知时，时，，
所以即在上单调递增，在上单调递减，
由于，
①若，即时，在上没有零点，
所以，在上的极值点个数为0.
②若，即时，在上有1个零点，
所以，在上的极值点个数为1.
综上所述：当时，在上的极值点个数为时，在上的
极值点个数为1.
选考题
22.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计坐标系与参数方程的综合问题，考查直角坐标与极坐标的转化，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的交点，三角形的面积等基础知识，考查化归与转化，数形结合的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.
【解析】（1）因为，
由，得.
由知，，且，
故.
（2）曲线（为参数，）的极坐标方程为，
又，
所以曲线的极坐标方程为.
联立曲线与的极坐标方程，得；
联立曲线与的极坐标方程，得.
故的面积为
，
故当时，面积的最大值为1.
23.【考查意图】本小题以含有绝对值的函数为数学课程学习情景，考查函数的图象和性质，不等式的解法，不等式的证明方法等基础知识；考查函数与方程､化归与转化等数学思想；考查逻辑推理､数学运算等数学核心素养.
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，此时不成立，
综上所述，原不等式的解集为.
（2）由题意，当时，；当时，；
当时，，则的最小值为.所以，，
即.
因为，
又为正数，则当且仅当时取等号，此时，
所以，即.良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635