2022-2023学年江苏省盐城市大丰区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市大丰区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果(m−3)x2+5x−2=0是一元二次方程，则( )
A. m≠0B. m≠3C. m=0D. m=3
2.甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是1.68m，身高的方差分别是S甲2=0.15，S乙2=0.12，S丙2=0.10，S丁2=0.12，则身高比较整齐的游泳队是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
3.如图，在⊙O中，弦BC//OA，AC与OB相交于点M，∠OAC=20∘，则∠AOB的度数为( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 60∘
4.下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是( )
A. 它的图象经过点(−1,−2)B. 它的图象的对称轴是直线x=2
C. 当x<0时，y随x的增大而减小D. 当x=0时，y有最大值为0
5.中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“…”(图中虚线)的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“…”上方的概率是( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
6.为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是( )
A. 12x(x+1)=28B. x(x−1)=4C. x(x+1)=28D. 12x(x−1)=28
7.在同一坐标系下，一次函数y=mx+n与二次函数y=mx2+nx+1的图象大致可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
8.如图所示，每一张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.方程(x−4)(x+3)=0的解是______.
10.抛物线y=−x2−2x+1的对称轴是______.
11.圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为______ cm2.
12.如图，小明在地上画了两个半径分别为2m和3m的同心圆.然后在一定距离外向圆内投掷小石子.若未投掷入大圆内则需重新投掷.则小明掷中白色部分的概率为______ .
13.某同学使用计算器求20个数据的平均数时，错将其中一个数据201输入为21，那么由此求出的这组数据的平均数比实际平均数少__________ .
14.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度______.
15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2−4ac>0；②abc<0；③4a+b=0；④9a−3b+c<0.其中正确结论是______ .(请将正确结论的序号填在横线上)
16.如图，曲线AB是抛物线y=−x2+4x+2的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线BC是双曲线y=kx(k≠0)的一部分，A、C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A−B−C”的过程，形成一组波浪线，若点P(2023,m)和Q(x,n)是波浪线上的点，则m+n的最大值为______ .
四、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程
(1)x2−6x−16=0(配方法)；
(2)2x2−2 2x+1=0(公式法).
18.(本小题8分)
为推进党的“二十大精神”第一时间进课堂、进头脑，引导广大青少年坚定理想信念，把人生理想融入国家和民族发展的伟大“中国梦”之中，大丰区教育局12月份开展“二十大”主题教育演讲比赛，某学校从甲、乙2名男生和丙、丁、戊3名女生中随机选派一男一女进行宣讲.
(1)请利用画树状图或列表法，列举出所有可能选派的结果；
(2)求选派丁去演讲的概率.
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程ax2−(2a−2)x+a−2=0(a≠0)
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值.
20.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：
(1)画出函数图象，并求出二次函数的解析式；
(2)当x ______时，y随x的增大而减小；
(3)当−1≤x≤4时，y的取值范围为______.
21.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．
(1)用无刻度的直尺作出△ABC外接圆的圆心O；
(2)用无刻度的直尺作▱ACDO，并证明CD为⊙O的切线．
22.(本小题8分)
八年级甲班和乙班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球；将两班选手的进球数绘制成如下尚不完整的统计图表：
(1)表格中b=______，c=______并求a的值；
(2)如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个，请说明理由．
23.(本小题8分)
抛物线y=−x2+2x+8与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，过点M作直线MH⊥y轴于H.
(1)如图1，当HM=2时，求△ABM的面积；
(2)如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标.
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，DA平分∠BDE，且AE⊥CD的延长线于点E.
(1)判断直线AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AE=3，CD=8，求⊙O的半径和AD的长.
25.(本小题8分)
城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m.如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m.内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，
(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)当BD=1m时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由.
26.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90∘，DB平分∠ADC，对角线AC、BD交于点E.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)当AD=3，CD=4时，求线段BD的长；
(3)当AD+DC=7时，求AD为何值时，DE取得最大值.
27.(本小题8分)
【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，对于已知的点M(x1,y1)和图形F，给出如下定义：如果图形F上存在一点N(x2,y2)，使得当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
(1)【初步理解】若图形F为线段AB，A(−3,2)，B(3,2)，在点M1(−3,−1)、M2(−1,3.5)、M3(1,0)、M4(4,3.5)中，是线段AB的“垂近点”的为______ ；
(2)【知识应用】若图形F为以坐标原点O为圆心，2为半径的圆，直线y=x+2b与x轴交于点C、与y轴交于点D，如果线段CD上的点都是⊙O的“垂近点”，求b的取值范围；
(3)若图形F为抛物线y=14x2−4，以点P(a,0)为中心，半径为 2的四边形ABCD，AB//CD//x轴，AD//BC//y轴，如果正四边形ABCD上存在“垂近点”，直接写出a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵(m−3)x2+5x−2=0是一元二次方程，
∴m−3≠0，
解得：m≠3.
故选：B.
利用一元二次方程定义可得答案．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的二次项系数不为零．
2.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=0.15，S乙2=0.12，S丙2=0.10，S丁2=0.12，
∴S丙2∴身高比较整齐的游泳队是丙，
故选：C.
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3.【答案】B
【解析】解：∵BC//OA，∠OAC=20∘，
∴∠OAC=∠C=20∘，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠AOB=40∘，
故选：B.
先利用平行线的性质得到∠A=∠C=20∘，再利用圆周角定理得到∠AOB=40∘.
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4.【答案】C
【解析】解：A、当x=−1时，y=2×(−1)2=2≠−2，故此选项错误；
B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误；
C、当x<0时，y随x的增大而减小，故此选项正确；
D、当x=0时，y有最小值为0，故此选项错误；
故选：C.
根据二次函数的图象性质即可判断．
此题考查了二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，
位于“---”(图中虚线)的上方的有2处，
所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是28=14，
故选：B.
用“---”(图中虚线)的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn，难度适中．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得：12x(x−1)=4×7，
即12x(x−1)=28.
故选：D.
利用比赛的总场数=参赛队伍数×(参赛队伍数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、由抛物线可知，m>0，x=−n2m<0，得n>0，由直线可知，m<0，n>0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，m>0，x=−n2m<0，得n>0，由直线可知，m>0，n>0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，m<0，由直线可知，m>0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，m<0，x=−n2m>0，得n>0，由直线可知，m<0，n<0，故本选项错误．
故选：B.
可先由一次函数y=mx+n图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=mx2+nx+1的图象相比较看是否一致．
本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，用假设法来解答这种数形结合题是一种很好的方法．
8.【答案】AB
【解析】解：观察图形，可知A、B是正确的，可以利用90度的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点是圆心，
故选：AB.
圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，且90∘的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点就是圆心，因此看图中弦的垂直平分线和90度的圆周角即可判断．
本题考查圆周角定理以及推论，解题的关键是灵活运用90∘的圆周角所对的弦是直径解决问题，属于基础题，中考常考题型．
9.【答案】x1=4，x2=−3
【解析】解：∵(x−4)(x+3)=0，
∴x−4=0或x+3=0，
∴x1=4，x2=−3；
故答案为：x1=4，x2=−3.
直接利用因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
10.【答案】直线x=−1
【解析】解：∵y=−x2−2x+1，
∴抛物线对称轴为直线x=−−22×(−1)=−1，
故答案为：直线x=−1.
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
根据抛物线对称轴为直线x=−b2a求解．
11.【答案】2π
【解析】解：∵圆锥的底面半径为1cm，
∴圆锥的底面周长为：2πr=2πcm，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长，
∴圆锥的侧面积为：12lr=12×2×2π=2π(cm2)，
故答案为：2π.
根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，在根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长求得圆锥的侧面积即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
12.【答案】49
【解析】解：∵同心圆的两个半径分别为2m和3m，
∵小明掷中白色部分的概率=π×22π×32=49.
故答案为49，
用白色部分的面积除以总面积即可．
本题考查了几何概率：某随机事件的概率=这个随机事件所占有的面积与总面积之比，也可以计算利用长度比或体积比计算概率．
13.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了平均数，求数据的平均值是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，可以准确的把握数据的情况．
在输入的过程中错将其中一个数据201输入为21少输入180，在计算过程中共有20个数，所以少输入的180对于每一个数来说少18020=9，则实际平均数与求出的平均数的差即为9.
【解答】
解：求20个数据的平均数时，错将其中一个数据201输入为21，即少加了201−21=180，
由此求出的这组数据的平均数比实际平均数少18020=9，
故答案为：9.
14.【答案】3cm
【解析】【分析】
本题考查垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答．
过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长．
【解答】
解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连接OE，
∵OF过圆心，DE=8cm，
∴EF=12DE=4cm，
∵OC=5cm，直尺与半圆相交于点D、E，
∴OE=5cm，
∴在Rt△OFE中，
OF= OE2−EF2= 52−42= 9=3(cm).
故答案为：3cm.
15.【答案】①②③④
【解析】解：由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0，
故①正确；
∵二次函数开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
∴a<0，c>0，
∵二次函数对称轴为直线x=2，
∴b−2a=2，
∴b=−4a>0，
∴abc<0，b+4a=0，
故②，③正确；
∵当x=−3时，y<0，
∴9a−3b+c<0，
故④正确；
∴正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
根据二次函数与x轴有两个不同的交点，即可判断①；根据二次函数开口方向，与y轴交于y轴正半轴，对称轴为直线x=2，即可判断②③；根据当x=−3时，y<0即可判断④．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等是解题的关键．
16.【答案】11
【解析】解：∵点A在抛物线y=−x2+4x+2上，
∴令x=0，则y=2，
∴A(0,2)，
又∵点B是抛物线y=−x2+4x+2的顶点，
∴y=−(x−2)2+6，
∴B(2,6)，
∵点B在双曲线y=kx上，
∴k=xy=2×6=12，
∴双曲线解析式为y=12x，
∴点C(6,2)，2023=337×6+1，
所以点P的纵坐标和x=2时的纵坐标相等，
当x=1时，y=5，
所以m=5，
∵波浪线的最高点为二次函数顶点，
所以n的最大值为6，
所以m+n最大值为11.
故答案为：11.
由抛物线求出点A，点B，由点B求出双曲线k，再求出C，得到6个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解．
本题考查反比例函数的性质，二次函数的性质，明确题意，利用数形结合是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−6x−16=0，
移项：x2−6x=16，
配方：x2−6x+9=25，即(x−3)2=25，
∴x−3=±5，
∴x1=8，x2=−2；
(2)2x2−2 2x+1=0，
∵a=2,b=−2 2,c=1，
∴Δ=(−2 2)2−4×2×1=0，
∴x1=x2= 22.
【解析】(1)原方程先将常数项移到等号右边，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可；
(2)方程运用求根公式求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)列表可得所有可能选派的结果如下：
(2)由表知，共有6种等可能结果，其中选派丁去宣讲的有2种结果，
所以选派丁去宣讲的概率为26=13.
【解析】(1)根据列表法，求解即可；
(2)分别求得总的结果数和选派丁去演讲的结果数，根据概率公式，求解即可．
此题考查了列表法或树状图求解概率，概率公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
19.【答案】(1)证明：∵Δ=(2a−2)2−4a(a−2)，
=4a2−8a+4−4a2+8a，
=4>0；
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)解：x=2a−2± 42a，x1=1，x2=1−2a.
∵方程的根均为整数，
∴1−2a为整数，
∴a=±1或a=±2，
∴正整数a为1，2.
【解析】(1)求出Δ=b2−4ac即可证出结论；
(2)利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定a的值．
本题考查了解一元二次方程、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0时，方程由两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
20.【答案】解：(1)描点、连线，画出图形如图所示．
设二次函数的表达式为y=a(x−1)2−4，
∵二次函数的图象经过点(3,0)，
∴4a−4=0，
∴a=1，
∴二次函数的表达式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；
(2)<1；
(3)−4≤y≤5.
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：根据给定点的坐标画出函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，数形结合．
(1)描点、连线，画出函数图象，根据表格中的数据，设二次函数的表达式为y=a(x−1)2−4，结合点(3,0)利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
(2)根据图象即可求得；
(3)根据表格中的数据，结合图象即可求解．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)观察函数图象可知：当x<1时，y随x的增大而减小；
故答案为：<1；
(3)当−1≤x≤4时，y的取值范围为−4≤y≤5.
故答案为：−4≤y≤5.
21.【答案】解：(1)如图1中，点O即为所求．
(2)如图2中，平行四边形ACDO即为所求．
如图，▱ACDO是所作的平行四边形，
连接OC，
∵由每个小正方形的边长为1，
∴OC= 10，CD= 10，OD=2 5.
∵OC2+CD2=( 10)2+( 10)2=20，OD2=(2 5)2=20.
∴OC2+CD2=OD2.
∴ΔOCD为直角三角形．
∴OC⊥CD且点C在⊙O上．
∴CD为⊙O的切线．
【解析】(1)分别作出线段AB，BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．
(2)取格点D，连接CD，OD即可．证明OC⊥CD即可解决问题．
本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)7，7，a=x−乙=10+9+8×2+7×4+4+310=7；
(2)要想争取夺得总进球数团体第一名，选择甲班较好，甲班的平均数虽然与乙班相同，但甲班的极差为9−5=4，而乙班的极差为10−3=7，数据的离散程度较大，发挥不稳定，因此甲班较好；要争取个人进球数进入学校前三名，则选择乙班，由出现高分的可能性，个人成绩在9分以上的人数较多．
【解析】【分析】
本题考查统计图表的识别能力，平均数、众数、中位数以及方差极差的意义及求法，理解各个统计量的意义掌握其计算方法是解决问题的关键．
(1)根据众数、中位数、加权平均数的计算方法分别进行计算即可；
(2)从平均数、众数、中位数、极差和方差等方面进行分析得出答案．
【解答】
解：(1)a=x−乙=10+9+8×2+7×4+4+310=7，乙班中进球数从小到大排列后处在第5、6位的数都是7个，因此乙班进球数的中位数是7个，甲班进球数出现次数最多的是7个，共有4人，因此甲班进球数的众数为7个，
故答案为：7，7，a的值为7.
(2)见答案.
23.【答案】解：(1)当y=0时，0=−x2+2x+8，
解得x1=4，x2=−2，
∴A(−2,0)，B(4,0)，
∴AB=6，
∵HM=2，即M的横坐标为2，
∴y=−4+4+8=8，
∴M(2,8)，
∴△ABM中，AB边上的高为8，
∴S△ABM=12AB×8=12×6×8=24，
∴△ABM的面积为24；
(2)在y=−x2+2x+8中，当x=0时，y=8，
∴C(0,8)，
∴CO=8，
∵△MCO是以CO为底的等腰三角形，
∴MC=MO，
∵HM⊥CO，
∴CH=HO=4，
在y=−x2+2x+8中，当y=4时，−x2+2x+8=4，
解得x=1+ 5或x=1− 5，
∴点M的坐标是(1+ 5,4)或(1− 5,4).
【解析】(1)当y=0时，求出A(−2,0)，B(4,0)，AB=6，根据HM=2可得M(2,8)，即得S△ABM=12AB×8=24；
(2)在y=−x2+2x+8中，可得C(0,8)，CO=8，根据△MCO是以CO为底的等腰三角形，HM⊥CO，可知CH=HO=4，故−x2+2x+8=4，解得点M的坐标是(1+ 5,4)或(1− 5,4).
本题是三角形的综合题，考查了二次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用．
24.【答案】解(1)直线AE与⊙O相切，理由如下：
连接OA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠EDB，
∴∠ADE=∠ADO，
∴∠ADE=∠OAD，
∴AO//EC，
∵AE⊥EC，
∴AE⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
(2)解：作OH⊥CD于H，
∴DH=12DC=12×8=4，
∵OA//EH，∠AEH=∠OHE=90∘，
∴四边形AEHO是矩形，
∴OH=AE=3，EH=OA，
∴OD= OH2+DH2= 42+32=5，
∴⊙O的半径长是5，
∴DE=EH−DH=OA−DH=5−4=1，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90∘，
∴∠AED=∠BAD，
∵∠ADE=∠ADB，
∴△AED∽△BAD，
∴AD：BD=ED：AD，
∴AD：10=1：AD，
∴AD= 10，
∴AD的长是 10.
【解析】(1)连接OA，由角平分线定义，平行线的性质推出AE⊥AO，由切线的判定定理即可证明；
(2)作OH⊥CD于H，得到四边形AEHO是矩形，得到OH=AE=3，由勾股定理即可求出圆的半径长，由△AED∽△BAD，得到AD：BD=ED：AD，即可求出AD的长．
本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理，角平分线的定义，关键是通过作辅助线得到四边形AEHO是矩形．
25.【答案】解：(1)如图1，由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y1=a(x−2)2+2，
又∵抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
∴a=−18，
∴外边缘抛物线的函数解析式为y1=−18(x−2)2+2，
当y=0时，0=−18(x−2)2+2，解得x1=6，x2=−2(舍去)，
∴喷出水的最大射程OC为6m；
(2)∵y2对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y2是由y1向左平移4m得到的，
由(1)可得C(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)；
(3)∵当BD=1m时，OD=3m，则OE=6m，
∴点F的横坐标为6，
把xF=6代入y1=0<0.5，
∴所以不能浇灌到整个绿化带．
【解析】(1)根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程OC；
(2)根据y2对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y2是由y1向左平移4m得到的，即可求出点B的坐标；
(3)当BD=1m时，OD=3m，则OE=6m，求出当x=6时y1的函数值，即可判断．
本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型．
26.【答案】解：(1)△ABC是等腰直角三角形，
理由：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC=∠CDB，
∴AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA，
又∵AB是直径，
∴∠ABC=90∘，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)过B作BF⊥DA交DA延长线于F，过B作BH⊥DC于H，
则∠BFD=∠BHD=90∘，
又∵∠ADC=90∘，
∴四边形DFEH是矩形，
∵DB平分∠ADC，BF⊥DA，BH⊥DC，
∴BF=BH，
∴四边形DFEH是正方形，
∴DF=DH，DB= 2DF，
∵AB=CB，
∴AB=BC，
在Rt△ABF和Rt△CBH中，
AB=BCBF=BH，
∴Rt△ABF≌Rt△CBH(HL)，
∴AF=CH，
∵AD=3，CD=4，AF=CH，
∴3+AF=4−AF，
∴AF=12，即DF=72，
∴DB= 2DF=72 2；
(3)过A作AP⊥BD于P，过C作CQ⊥BD于Q，
∵DB平分∠ADC，∠ADC=90∘，
∴∠ADP=∠CDQ=45∘，
设AD=x，DE=y，
∴AP= 22AD= 22x，
在Rt△CDQ中，DC=7−x，
∴CQ= 22DC= 22(7−x)，
∵S△ADC=S△ADE+S△CDE，
∴12AD⋅DC=12DE⋅AP+12DE⋅CQ，
∴12x⋅(7−x)=12y⋅ 22x+12y⋅ 22(7−x)=7 22y，
整理得，y=− 27x2+ 2x，
∵a=− 27<0，
∴AD=72时，DE取得最大值．
【解析】(1)根据角平分线的定义得出∠ADC=∠CDB，进而得出AB=CB，根据直径所对的圆周角是直角，即可得出结论；
(2)过B作BF⊥DA交DA延长线于F，过B作BH⊥DC于H，得出四边形DFEH是正方形，证明Rt△ABF≌Rt△CBH(HL)，得出AF=CH，进而得出DF=72，根据DB= 2DF=72 2，即可求解．
(3)过A作AP⊥BD于P，过C作CQ⊥BD于Q，设AD=x，DE=y，得出AP= 22AD= 22x，CQ= 22DC= 22(7−x)，根据S△ADC=S△ADE+S△CDE，得出y=− 27x2+ 2x，进而根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了圆周角定理的应用，勾股定理，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，利用运用以上性质定理是解题的关键．
27.【答案】M2，M3
【解析】解：(1)当x=−3时，|2−(−1)|=3>2，M1(−3,−1)不是线段AB的“垂近点”，
当x=−1时，|2−3.5|=1.5<2，M2(−1,3.5)是线段AB的“垂近点”，
当时，|2−0|=2，M3(1,0)是线段AB的“垂近点”，
∵−3≤x≤3，
∴MM4(4,3.5)不是线段AB的“垂近点”，
故答案为：M2，M3；
(2)∵线段CD上任意一点都是EO的“垂近点”，
∴线段CD在是圆O的弦，
∵圆O的半径是2，
∴−2≤2b≤2；
∴−1≤b≤1；
(3)∵点P(a,0)是正方形的中心，可得正方形的边长为2，
∴A(a−1,−1)，B(a+1,−1)，C(a+1,1)，D(a−1,1)，
设正方形上点M是抛物线y=14x2−4的“垂近点”，抛物线上存在点N(xN,yN)，使得当xM=xN时，MN≤2，
当P点在y轴右侧时，a>0，
如图1，当M点与D点重合时，N(a−1,14(a−1)2−4)，
∴MN=14(a+1)2−4−1=2，
解得a=1+2 7或a=1−2 7(舍)，
如图2，当M点与B点重合时，N(a+1,14(a+1)2−4)，
∴MN=−1−14(a+1)2+4=2，解得a=1或a=−3(舍)，
∴1≤a≤1+2 7时，正方形上存在抛物线y=14x2−4的“垂近点”；
当P点在y轴的左侧时，a<0，
如图3，当M点与C点重合时，N(a+1,14(a+1)2−4)，
∴MN=14(a+1)2−4−1=2，
解得a=−1−2 7或a=−1+2 7(舍)，
如图4，当M点与A点重合时，N(a−1,14(a−1)2−4)，
∴MN=−1−14(a−1)2+4=2，解得a=−1或a=3(舍)，
∴−1−2 7≤a≤−1时，正方形上存在抛物线y=14x2−4的“垂近点”；
综上所述：1≤a≤1+2 7或−1−2 7≤a≤−1时，正方形上存在抛物线y=14x2−4的“垂近点”．
(1)依据“垂近点”的定义，进行判断即可，注意满足x1=x2时，MN≤2即可；
(2)线段CD上任意一点都是⊙O的“垂近点”，可知线段CD在是圆O的弦，得到−2≤2b≤2，解不等式即可；
(3)点P(a,0)是正方形的中心，可得正方形的边长为2，表示出A(a−1,1)B(a+1,−1)，C(a+1,1)，D(a−1,1)，设正方形上点M是抛物线y=14x2−4的“垂近点”，抛物线上存在点N(xN,yN)，使得当xM=xN时，MN≤2，当P点在y轴右侧时，a>0，如图1，当M点与D点重合时，N(a−1,14(a−1)2−4)，MN=14(a−1)2−4−1=2，如图2，当M点与B点重合时，N(a+1,14(a+1)2−4)，MN=−1−14(a+1)2+4=2，解方程可得1≤a≤1+2 7时，正方形上存在抛物线y=14x2−4的“垂近点”；当P点在y轴的左侧时，a<0，如图3，当M点与C点重合时，N(a+1,14(a+1)2−4)，MN=14(a+1)2−4−1=2，如图4，当M点与A点重合时，N(a−1,14(a−1)2−4)，MN=−1−14(a−1)2+4=2，解方程可得−1−2 7≤a≤−1时，正方形上存在抛物线y=14x2−4的“垂近点”．
本题考查了新定义“垂近点”的理解，函数图像上点的特点；理解新定义、掌握函数图像上点的特点是解题的关键．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
−3
−4
−3
0
5
…
甲
乙
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
戊
(甲，戊)
(乙，戊)