2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 3tan60∘的值等于( )
A. 1B. 32C. 3D. 3
2.下列事件为必然事件的是( )
A. 购买二张彩票，一定中奖
B. 打开电视，正在播放极限挑战
C. 抛掷一枚硬币，正面向上
D. 一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
3.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A. 2：1B. 3：1C. 4：1D. 5：1
4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D=120∘，则∠CAB的度数为( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 60∘
5.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转90∘，点B的对应点B′的坐标是( )
A. (− 3,3)
B. (−3, 3)
C. (− 3,2+ 3)
D. (−1,2+ 3)
6.如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC=2，则k的值为( )
A. 4
B. −4
C. −2
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.点P(−3,−4)关于原点对称的点的坐标是______.
8.如图，已知AC//EF//BD.如果AE：EB=2：3，CF=6.那么CD的长等于______ .
9.关于x的一元二次方程x2+2x−(m−2)=0有两个相等的实数根，则m的值为______.
10.在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为______.
11. 如图，若反比例函数y1=kxk≠0与一次函数y2=ax+b交于A、B两点，当y112.如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，小红上了两节梯子到D点，此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为______米．
13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，csC=12，AB=10，AC=6，则BC的长为______ .
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12(x−3)2+m与y=23(x+2)2+n的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则ABAC的值为______.
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
解方程：x2+10x+16=0.
16.(本小题5分)
已知反比例函数y=k−4x的图象位于第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)当反比例函数过点A(2,4)，求k的值．
17.(本小题5分)
已知在△ABC中，∠C=90∘，AB=4，AC= 7.
(1)求BC；
(2)求sin∠A.
18.(本小题5分)
医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．求：恰好选中医生甲和护士A的概率．
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD=4，∠BDE+∠C=180∘，求AE的长．
20.(本小题7分)
钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD=70∘，∠BCD=45∘.根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．(参考数据：tan70∘≈2.75，sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34，结果精确到1米．)
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．一次函数y=−3x+6的图象经过点C、D，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，求k的值．
22.(本小题7分)
图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画一条以P为端点的射线PC，使其平分线段AB，点C在线段AB上；
(2)在图②中画一条以P为端点的射线PD，使其分线段AB为1：3两部分，点D在线段AB上；
(3)在图③中画一条以P为端点的射线PE，使tan∠PEB=1，点E在线段AB上．
23.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF=1.
(1)求BD的长；
(2)当∠D=30∘时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．
24.(本小题8分)
已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′.
感知：如图①，当BC′落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB之间的数量关系是______(不需要证明)；
探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：如图③，若∠BAC=90∘，AA′、CC′交于点E，则∠A′EC=______度．
25.(本小题10分)
如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴分别交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，连结BC.点P是BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交BC于点N，分别过P、N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M，设P点的横坐标为m.
(1)求抛物线所对应的函数关系式．
(2)当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值．
(3)当四边形PQMN为正方形时，求m的值．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发沿折线CD−DB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC，垂足为点E，以PE，PD为邻边作平行四边形PDFE.设点P的运动时间为t(秒).
(1)CD=______；
(2)当点P在BD上时，求PE的长度；(用含t的代数式表示)
(3)当平行四边形PDFE与△ACD重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式；
(4)当点F落在△ABC的某个内角平分线上时请直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 3tan60∘= 3× 3=3.
故选：C.
直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握殊角的三角函数值是关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D.一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D.
根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断的前提．
3.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△FED，AB//ED，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OBOE=2，
∴S△ABCS△DEF=(ABDE)2=4，
即△ABC与△DEF的面积比是：4：1.
故选：C.
根据位似图形的概念得到△ABC∽△FED，AB//DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠D+∠B=180∘，∠D=120∘，
∴∠B=60∘，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴CAB=90∘−∠B=30∘，
故选：A.
利用圆内接四边形的性质求出∠B=60∘，再求出∠CAB即可．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】A
【解析】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H.
∵∠AOB=∠B=30∘，
∴OA=AB=2.
由旋转可知A′B′=AB=OA=OA′=2，∠A′OB′=∠A′B′O=∠AOB=∠B=30∘，
∴∠B′A′H=∠A′OB′+∠A′B′O=60∘，
∴∠A′B′H=30∘，
∴A′H=12A′B′=1，
∴B′H= A′B′2−A′H2= 3，
∴OH=OA′+A′H=2+1=3，
∴B′(− 3,3).
故选：A.
过点B′作B′H⊥y轴于H，求出B′H，OH即可．
本题考查坐标与图形性质，旋转的基本性质，含30∘角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6.【答案】B
【解析】解：设点A的坐标为(x,y)，
∵点A在第二象限，
∴x<0，y>0，
∴S△ABC=12AB⋅OB=12|x|⋅|y|=−12xy=2，
∴xy=−4，
∵A是反比例函数y=kx的图象上一点，
∴k=xy=−4，
故选：B.
先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x<0，y>0，然后由三角形面积公式求出xy即可．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出xy的值．
7.【答案】(3,4)
【解析】解：点P(−3,−4)关于原点对称的点的坐标是(3,4)，
故答案为：(3,4).
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y).
8.【答案】15
【解析】解：∵AC//EF//BD，
∴AEEB=CFFD=23，
∴FD=32CF=32×6=9，
∴CD=CF+FD=6+9=15.
故答案为15.
根据平行线分线段成比例定理得到AEEB=CFFD=23，这样可求出FD的长，然后计算CF+FD即可．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
9.【答案】1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−(m−2)=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即22−4×1×[−(m−2)]=0，
解得m=1.
故答案为：1.
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+2x−(m−2)=0有两个相等的实数根，则有Δ=0，得到关于m的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
10.【答案】12
【解析】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.4，
设袋子中的红球有x个，
根据题意，得：20−x20=0.4，
解得x=12，
∴估计袋子中的红球有12个，
故答案为：12.
根据口袋中两种颜色的球20个，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出白球在总数中所占比例与试验比例应该相等是解决问题的关键．
11.【答案】−12
【解析】解：观察图象可知，当y12.
故答案为：−12.
写出反比例函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】6
【解析】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ABC∽△ADE，则DEBC=ADAB，
设梯子长为x米，则x−0.6x=1.82，
解得，x=6.
即梯子的长为6米，
故答案为：6.
根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
13.【答案】3+ 73
【解析】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90∘.
∵csC=12，
∴CDAC=12，
∴CD=12AC=12×6=3.
∴AD= AC2−CD2= 62−32=3 3，
在Rt△ADB中，
BD= AB2−AD2= 100−27= 73，
∴BC=CD+BD=3+ 73，
故答案为：3+ 73.
在Rt△ACD中，利用csC=12，可求CD，利用勾股定理求得AD，在Rt△ADB中，利用勾股定理求得BD，则BC=CD+BD，结论可得．
本题主要考查了解直角三角形．选择合适的直角三角形利用边角关系和勾股定理求出线段的长度是解题的关键．
14.【答案】32
【解析】解：抛物线y=−12(x−3)2+m与y=23(x+2)2+n的对称轴分别为直线x=3与直线x=−2，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为−5，
∴AC=4，AB=6，
则ABAC=64=32，
故答案为：32
由两抛物线的解析式确定出两抛物线对称轴，利用对称性确定出B与C的横坐标，进而求出AB与AC的长，代入原式计算即可求出值．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
15.【答案】解：x2+10x+16=0，
(x+2)(x+8)=0，
x+2=0，x+8=0，
x1=−2，x2=−8.
【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
16.【答案】解：(1)由题意，得k−4>0，
解得 k>4；
(2)把点A(2,4)代入y=k−4x得，4=k−42，
解得k=12.
【解析】(1)反比例函数图象在一、三象限，可得k−4>0，解得即可．
(2)把点A代入y=k−4x得关于k的方程，解方程即可．
本题主要考查反比例函数的性质，当k>0时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大；也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
17.【答案】解：(1)∵∠C=90∘，AB=4，AC= 7，
∴BC= AB2−AC2= 42−( 7)2=3，
即BC=3；
(2)由(1)知：BC=3，
∵∠A=90∘，AB=4，
∴sinA=BCAB=34，
即sinA=34.
【解析】(1)根据勾股定理，可以计算出BC的长；
(2)根据∠A=90∘，AB=4和(1)中求得的BC的长，即可计算出sinA的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是求出BC的值．
18.【答案】解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，
∴恰好选中医生甲和护士A的概率为16.
【解析】画树状图，共有6种等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19.【答案】解：∵∠BDE+∠C=180∘，∠BDE+∠ADE=180∘，
∴∠C=∠ADE，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴AEAB=ADAC，
∵AB=10，AC=8，AD=4，
∴AE10=48，
∴AE=5.
【解析】先由∠BDE+∠C=180∘得到∠ADE=∠C，然后得证△ADE∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得到AE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过已知条件∠BDE+∠C=180∘得证△ADE∽△ACB.
20.【答案】解：设CD=x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
∴AD=2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD=45∘，
∴BD=CD=x米，
∴2.75x+x=3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
【解析】设CD=x米，根据正切的定义分别求出AD、BD，再根据AB的长列出方程，解方程可得答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：在y=−3x+6中，令y=0，则−3x+6=0，
解得x=2，
∴C(2,0)，
∴B(2,k2)，
∴A(0,k2)，
∵点D为AB的中点，
∴点D(1,k2)，
∵点D在直线y=−3x+6上，
∴k2=−3×1+6，
∴k=6.
【解析】先求得C的坐标，然后根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出B(2,k2)，进而表示出D的坐标，代入y=−3x+6即可求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出D的坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图①中，射线PC即为所求；
(2)如图②中，射线PD即为所求；
(3)如图，射线PE即为所求．

【解析】(1)取格点T，连接PT交线段AB于点C，射线PC即为所求；
(2)取格点Q，连接PQ，交线段AB于点D，射线PD即为所求；
(3)取格点W，R，连接BW，AW，PR，PR交AB于点E，射线PE即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)∵OF⊥AC，
∴AF=FC，
∵OA=OB，
∴BC=2OF=2，
∵AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴BD=BC=2；
(2)连接OC.
∵∠CAB=∠D=30∘，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30∘，
∴∠AOC=120∘，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90∘，BC=2，∠CAB=30∘，
∴AB=2BC=4，AC= 3BC=2 3，
OA=OB=2，
∴AC的长=120⋅π⋅2180=4π3，
阴影部分的面积=120⋅π⋅22360−12×2 3×1=4π3− 3.
【解析】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、30度角的直角三角形性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
(1)根据三角形的中位线定理可得BC=2OF=2，再利用垂径定理可得BC=BD，推出BD=BC，即可解决问题．
(2)连接OC，利用弧长公式求出弧AC，再求出弓形的面积即可．
24.【答案】相等 135
【解析】解：感知：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A′BC′+∠C′BA=∠ABC+∠C′BA，
即∠A′BA=∠C′BC，
又∵A′B=AB，C′B=BC，
∴180∘−∠A′BA2=180∘−∠C′BC2，
即∠A′AB=∠C′CB，
故答案为：相等；
探究：∠A′AB=∠C′CB，证明如下：
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′，
∴BCBA=BC′BA′，
∴△ABA′∽△CBC′，
∴∠A′AB=∠C′CB；
应用：∵C′B=CB，
∴∠C′CB=∠CC′B，
∴∠BA′A=∠CC′B，
设C′B与AE相交于点O，
∵∠A′OB=∠C′OE，
∴∠C′EO=∠OBA′=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ACB=45∘=∠C′EO，
∴∠A′EC=180∘−∠C′EO=135∘.
感知：由旋转知，△BCC′，BAA′是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案；
探究：由旋转知BCBA=BC′BA′，可证明△ABA′∽△CBC′，从而结论不变；
应用：设C′B与AE相交于点O，由C′B=CB，得∠C′CB=∠CC′B，则∠BA′A=∠CC′B，再利用三角形内角和解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABA′∽△CBC′是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当x=0时，y=ax2+bx+2=2，则C(0,2)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把C(0,2)代入得a⋅1⋅(−3)=2，解得a=−23，
所以抛物线的解析式为y=−23(x+1)(x−3)，即y=−23x2+43x+2；
(2)∵抛物线与x轴分别交于点A(−1,0)、B(3,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线BC的解析式为y=px+q，
把C(0,2)，B(3,0)代入得q=23p+q=0，解得p=−23q=2，
所以直线BC的解析式为y=−23x+2，
设P(m,−23m2+43m+2)，则N(m,−23m+2)，
∴PN=−23m2+43m+2−(−23m+2)=−23m2+2m，
而PQ=1−m，
∴四边形PQMN周长=2(−23m2+2m+1−m)=−43m2+2m+2=−43(m−34)2+114(0∴当m=34时，四边形PQMN周长有最大值，最大值为114；
(3)当0若PQ=PN时，四边形PQMN为正方形，即−23m2+2m=1−m，
整理得2m2−9m+3=0，解得m1=9+ 574(舍去)，m2=9− 574，
当1若PQ=PN时，四边形PQMN为正方形，即−23m2+2m=m−1，
整理得2m2−3m−3=0，解得m1=3− 334(舍去)，m2=3+ 334，
综上所述，当m=9− 574或m=3+ 334时，四边形PQMN为正方形．
【解析】(1)设交点式y=a(x+1)(x−3)，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
(2)先利用对称轴确定抛物线的对称轴方程，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，接着利用m表示出PN和PQ，从而得到四边形PQMN周长与m的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求四边形PQMN周长的最大值；
(3)分类讨论：当0本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会解一元二次方程．
26.【答案】5
【解析】解：(1)如图1中，∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90∘，
∵AD=DB，
∴CD=12AB=5，
故答案为：5.
(2)当点P在DB上时，DP=2(t−2.5)=2t−5，
∴AP=AD+DP=2t，
∵PE//BC，
∴PEBC=APAB，
∴PE6=2t10，
∴PE=65t.
(3)如图2中，当0∵PE//DF，PE⊥AC，
∴DT⊥AC，
∵DA=DC，
∴AT=TC=4，
∴DT= CD2−CT2= 52−42=3，
∵PE//DT，
∴CPCD=CECT=PEDT，
∴2t5=CE4=PE3，
∴CE=85t，PE=65t，
∴ET=4−85t，
∴S=PE⋅ET=65t⋅(4−85t)=−4825t2+245t.
当2.5S=12[3+35(10−2t)]⋅[4−45(10−2t)]=−2425t2+485t−18，
综上所述，S=−4825t2+245t(0(4)如图4−1中，当AF平分∠BAC时，过点F作FH⊥AD于点H，则△AFT≌△AFH，
∴AH=AT=4，FT=FH，
设FT=FH=x，
在Rt△DFH中，则有(3−x)2=x2+12，
∴x=43，
∴PE=DF=3−43=65t，
∴t=2518.
如图4−2中，当BF平分∠ABC时，
∵DF//BC，
∴∠DFB=∠CBF，
∵∠CBF=∠DBF，
∴∠DFB=∠DBF，
∴DB=DF=5，
∴PE=DF=5，
∴65t=5，
∴t=256，
综上所述，满足条件的t的值为2518或256.
(1)证明∠ACB=90∘，利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
(2)由PE//BC，可得PEBC=AEAB，由此构建关系式，可得结论．
(3)分两种情形：如图2中，当0(4)分两种情形：如图4−1中，当AF平分∠BAC时，过点F作FH⊥AD于点H，则△AFT≌△AFH，设FT=FH=x，利用勾股定理求出x，再构建方程，求出t.如图4−2中，当BF平分∠ABC时，证明DF=BD=5，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．