2023-2024学年山西大学附中高一（上）诊断数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山西大学附中高一（上）诊断数学试卷（12月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|2x>4}，则A⋂B=( )
A. (1,32)B. (32,3)C. (2,3)D. (1,3)
2.与函数y=x−1表示同一个函数的是( )
A. y=2lg2(x−1)B. y=x2−1x+1C. y=3(x−1)3D. y=( x−1)2
3.函数f(x)= 2x+1x−2+lg(x−1)的定义域是( )
A. {x|x>−12}B. {x|x>1}
C. {x|x≥−12且x≠2}D. {x|x>1且x≠2}
，lg20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是( )
A. 0.32<20.3C. lg20.3<0.32<20.3D. lg20.3<20.3<0.32
5.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
6.函数y=(2x+2−x)ln|x|的图像大致为( )
A. B.
C. D.
7.某食品加工厂2022年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2023年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)( )
A. 2026年B. 2027年C. 2028年D. 2029年
8.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1(x,y∈R)，当x>0时，f(x)+1>0且f(1)=2，若当x∈[1,2]时，f(ax2+2x)+f(x)<1有解，则a的取值范围为( )
A. (−∞,−2)B. (−2,−54)C. (−2,+∞)D. (−∞,−54)
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 3−27=3B. 16的4次方根是±2
C. 481=±3D. (x+y)2=|x+y|
10.已知关于x的方程x2+ax+a+3=0，则( )
A. 当a=2时，方程有两个不相等的实数根
B. 方程无实数根的一个充分条件是−2C. 方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<−4
11.已知a，b为正实数，满足a+b=1，则下列判断中正确的是( )
A. 2a+2b有最小值2 2B. a+ b有最小值 2
C. 函数y=a+1a+1的最小值为1D. ab4a+b有最大值19
12.已知函数f(x)=−x2−4x−3,x≤0lg12x,x>0，若方程[f(x)]2+mf(x)+1=0恰有6个不相等的实数根，则实数m的值可能是( )
A. 53B. 73C. 103D. 113
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.计算(278)−23+lg827lg23+( 2− 3)0−lg31−2lg5−lg4= ______ ．
14.函数f(x)=ln(x2−x−6)的单调递增区间是______ ．
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(−1)=0，若x1，x2∈(−∞,0)，且x1≠x2时，x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0恒成立，则不等式xf(2x)>0的解集是______ ．
16.已知函数f(x)=|lg2x|,02，若函数g(x)=f(x)−m存在四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(ax2−4ax+3)．
(1)当a=1时，求不等式f(x)≥lg23的解集；
(2)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a2x+1，且f(x)是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不用说明理由)；
(3)若不等式f(t⋅3x)+f(3x−9x+2)>0，对任意的x≥1恒成立，求实数t的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg2x)2+2mlg2x+2−m,x∈[2,8]．
(1)当m=−2时，求f(x)的值域；
(2)设f(x)的最小值为h(m)，求h(m)的解析式．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=3−x，函数g(x)是f(x)的反函数．
(1)若g(mx2+2x+m)的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)是否存在实数n，便得函数k(x)=4−n−lg3f(x2−4)x(x>0)在[a,b]上的值域为[2a,2b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意A={x|x2−4x+3<0}={x|14}={x|x>2}，
所以A∩B=(2,3)．
故选：C．
由题意，解一元二次不等式以及指数不等式化简所给集合，结合交集的概念即可求解．
本题主要考查一元二次不等式、指数不等式的解法，交集的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．
分别判断函数的定义域是否是R，以及对应法则是否和y=x−1相同即可．
【解答】
解：A.函数的定义域为(1,+∞)，与y=x−1的定义域不相同，不是同一函数．
B.y=x2−1x+1=x−1，函数的定义域为{x|x≠−1}，与y=x−1的定义域不相同，不是同一函数．
C.y=3(x−1)3=x−1，两个函数的定义域相同，表达式相同是同一函数．
D.y=( x−1)2=x−1，函数的定义域为[1,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：f(x)= 2x+1x−2+lg(x−1)定义域满足2x+1≥0x−2≠0x−1>0，
解得x>1且x≠2．
故选：D．
根据函数定义域得到不等式，解得答案．
本题考查了求函数的定义域问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵0<0.32<1，lg20.3<0，20.3>1
∴lg20.3<0.32<20.3
故选：C．
确定0.32，lg20.3，20.3这些数值与0、1的大小即可．
本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较．
5.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=2x+3x是增函数，
f(−1)=12−3<0，f(0)=1+0=1>0，
可得f(−1)f(0)<0．
由零点判定定理可知：函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间(−1,0)．
故选：B．
判断函数的单调性，利用f(−1)与f(0)函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
6.【答案】B
【解析】解：函数y=(2x+2−x)ln|x|，因为f(−x)=(2x+2−x)ln|−x|=f(x)，函数是偶函数，排除D；x∈(0,1)时，y=(2x+2−x)ln|x|<0，
排除选项A，C，
故选：B．
利用函数的奇偶性，结合特殊值对应点的位置，判断选项的正误即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，是判断函数的图象的常用方法，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设第n年获利y元，则y=20×1.2n，n是正整数，2023年是第一年，
故20×1.2n>60，解得n>lg1.23=lg3lg1.2=lg3lg3+2lg2−1≈6.03，
故n≥7，即从2029年开始这家加工厂年获利超过60万元．
故选：D．
根据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可．
本题考查函数在实际问题中的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：取∀x1，x2∈R且x10，
因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1(x,y∈R)，
所以f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)+1−f(x1)=f(x2−x1)+1，
又当x>0时，有f(x)+1>0，
所以当x2−x1>0时，有f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)+1>0，
所以f(x)在R上单调递增；
而f(ax2+2x)+f(x)<1⇔f(ax2+2x)+f(x)+1<2，
又f(x+y)=f(x)+f(y)+1(x,y∈R)，
所以f(ax2+3x)<2=f(1)，
又f(x)在R上单调递增，
所以ax2+3x<1，
所以当x∈[1,2]时，ax2+3x<1有解，即a<1−3xx2有解；
令t=1x，则t∈[12,1]，设g(t)=t2−3t=(t−32)2−94，
则g(t)在[12,1]上单调递减，
当t=12，即x=2时，g(t)max=−54，所以a<−54．
故选：D．
首先根据已知条件导出f(x)在R上单调递增，再利用已知条件将不等式f(ax2+2x)+f(x)<1转化为f(ax2+3x)<2=f(1)，根据单调性可知当x∈[1,2]时，ax2+3x<1有解，从而根据不等式能成立来求解a的取值范围即可．
本题考查抽象函数及其应用，明确解抽象函数不等式一定要联想到函数单调性是关键，考查运算求解能力，属于中档题．．
9.【答案】BD
【解析】解：负数的3次方根是一个负数，3−27=3(−3)3=−3，故A错误；
16的4次方根有两个，为±2，故B正确；
481=434=|3|=3，故C错误；
(x+y)2是非负数，所以 (x+y)2=|x+y|，故D正确．
故选：BD．
利用根式的定义即可求解．
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A选项：当a=2时，x2+2x+5=0，此时Δ=22−4×1×5=−16<0，
此时方程没有实数根，故A选项错误；
对于B选项：方程无实数根的充要条件是Δ=a2−4×1×(a+3)<0，即−2所以方程无实数根的一个充分条件是{a|−2对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是Δ=a2−4×1×(a+3)>0x1+x2=−a<0x1⋅x2=a+3>0，
解得：a>6，故C选项正确；
对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是Δ=a2−4×1×(a+3)>0x1⋅x2=a+3<0，
解得：a<−3，故D选项错误．
故选：BC．
对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C，D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断；
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：因为a，b为正实数，满足a+b=1，
则2a+2b≥2 2a⋅2b=2 2a+b=2 2，当且仅当a=b=12时取等号，A正确；
因为( a+ b2)2≤a+b2=12，则 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时取等号，即 a+ b的最大值为 2，B错误；
由题意得0令t=1+a，则0y=a+1a+1=1+a+11+a−1=t+1t−1在(0,1)上单调递减，没有最小值，C错误；
因为a+b=1，
所以4b+1a=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+2 ba⋅4ab=9，
当且仅当b=2a且a+b=1，即a=13，b=23时取等号，
又ab4a+b=14b+1a≤19，D正确．
故选：AD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：∵函数f(x)=−x2−4x−3,x≤0lg12x,x>0的大致图像如图所示：
令f(x)=t，则方程[f(x)]2+mf(x)+1=0，即g(t)=t2+mt+1=0，
方程[f(x)]2+mf(x)+1=0恰有6个不相等的实数根，
即g(t)=t2+mt+1在[−3,1)上有两个不相等的实数根，
则Δ=m2−4>0g(−3)=(−3)2−3m+1≥0g(1)=12+m+1>0−3<−m2<1，解得2故选：BC．
画出函数f(x)的大致图像，把问题转化为t2+mt+1=0在[−3,1)上有两个不相等的实数根，结合二次函数的性质即可求解结论．
本题主要考查函数性质的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．
13.【答案】49
【解析】解：(278)−23+lg827lg23+( 2− 3)0−lg31−2lg5−lg4
=[(32)3]−23+lg2333lg23+1−0−2lg5−2lg2
=49+1+1−2=49．
故答案为：49．
利用分数指数幂和对数运算法则计算即可．
本题主要考查分数指数幂和对数运算法则，属于基础题．
14.【答案】(3,+∞)
【解析】解：函数的定义域x2−x−6>0，即x>3或x<−2，
令t=x2−x−6，
则y=lnt在t>0上单调递增，
要求函数f(x)=ln(x2−x−6)的单调递增区间，由复合函数单调性判断方法“同增异减”，
可知只需求t=x2−x−6单调递增区间，即x>3，
因此函数f(x)=ln(x2−x−6)的单调递增区间是(3,+∞)．
故答案为：(3,+∞)．
先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数f(x)的单调递增区间．
本题考查了求复合函数的单调区间，也考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】(−∞,−12)∪(12,+∞)
【解析】解：设g(x)=xf(x)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，
所以g(x)为偶函数，
又x1，x2∈(−∞,0)，且x1≠x2时，x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0恒成立，
所以g(x)在(−∞,0)上为减函数，
又 f(−1)=0，可得g(−1)=0，所以g(x)>0=g(−1)，得x<−1，
g(x)在(0,+∞)为增函数，由g(x)>0=g(1)，得x>1，
又xf(2x)>0，可化为(2x)⋅f(2x)>0，即g(2x)>0，所以2x>1，或2x<−1，
即x>12，或x<−12．
故答案为：(−∞,−12)∪(12,+∞)．
先根据x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0可得xf(x)的单调性，然后结合单调性可解不等式．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】(10,212)
【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：
由图象可知当0设g(x)的4个零点从小到大为x1由函数图象可知|lg2x1|=|lg2x2|，
即−lg2x1=lg2x2，
∴x1x2=1，
所以x2=1x1，x1∈(12,1)，
由函数图象的对称性可知x3+x4=8，
∴x1+x2+x3+x4=x1+1x1+8，x1∈(12,1)，
根据对勾函数单调性，x1∈(12,1)时，x1+x2+x3+x4=x1+1x1+8递减，
所以x1+x2+x3+x4的取值范围为(10,212).
故答案为：(10,212).
作出f(x)的函数图象，根据图象得出m和各零点的范围，然后根据函数图象可求出x1+x2的范围和x3+x4的值，即可求出答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lg2(x2−4x+3)，由不等式f(x)≥lg23，
即lg2(x2−4x+3)≥lg23，可得x2−4x+3≥3，解得x≤0或x≥4，
所以不等式f(x)≥lg23的解集为(−∞,0]∪[4,+∞)．
(2)f(x)的定义域为R，即ax2−4ax+3>0对∀x∈R恒成立，
当a=0时，上式3>0恒成立；
当a≠0时，有a>0Δ=16a2−12a<0，解得0综上，a的取值范围为[0,34)．
【解析】(1)由对数函数的性质有x2−4x+3≥3，解一元二次不等式求解集；
(2)问题化为ax2−4ax+3>0对∀x∈R恒成立，讨论a=0、a≠0求参数范围．
本题考查了对数函数的性质，对数不等式的解法，是中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−x)+f(x)=0，且2x+1>1≠0，
∴f(−x)+f(x)=−2−x+a2−x+1+−2x+a2x+1=−1+a⋅2x1+2x+−2x+a2x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=(a−1)=0，
∴a−1=0，即a=1；
(2)由(1)问：f(x)=−2x+12x+1=−(2x+1)+22x+1=−1+22x+1，易知f(x)在R上单调递减．
(3)∵f(x)是定义在R奇函数，且f(t⋅3x)+f(3x−9x+2)>0，
∴f(t⋅3x)>−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，
∵f(x)在R上单调递减，且3x>0，
∴t⋅3x<9x−3x−2，对任意的x≥1恒成立，
∴t<3x−23x−1，对任意的x≥1恒成立，
令g(x)=3x−23x−1，则易判断g(x)=3x−23x−1在[1,+∞)单调递增，
∴g(x)min=g(1)=31−231−1=43，
要使t故实数t的取值范围(−∞,43)．
【解析】(1)利用f(x)是定义在R上的奇函数，计算化简f(−x)+f(x)=0，进而求出实数a的值；
(2)对f(x)进行常数分离，即可判断；
(3)先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数，最后构造函数求最小值．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，运用常变量分离法、换元法、基本不等式是解题的关键，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当m=−2时，f(x)=(lg2x)2−4lg2x+4,x∈[2,8]，
令t=lg2x，因为t=lg2x在[2,8]上单调递增，所以t=lg2x∈[1,3]，
则y=t2−4t+4=(t−2)2在[1,2]单调递减，[2,3]单调递增，
当t=2时，ymin=0；当t=1或t=3时，ymax=1．
所以f(x)的值域为[0,1]．
(2)结合题意：f(x)=(lg2x)2+2mlg2x+2−m,x∈[2,8]，
令t=lg2x，则t=lg2x∈[1,3]，
则y=t2+2mt+2−m=(t+m)2−m2+2−m，t∈[1,3]，对称轴为t=−m，
①当−m≤1时，即m≥−1，此时y=(t+m)2−m2+2−m在[1,3]单调递增，
所以t=1时，h(m)=ymin=(1+m)2−m2+2−m=m+3；
②当1<−m<3时，即−3所以t=−m时，h(m)=ymin=(−m+m)2−m2+2−m=−m2−m+2；
③当−m≥3时，即m≤−3，此时y=(t+m)2−m2+2−m在[1,3]单调递减，
所以t=3时，h(m)=ymin=(3+m)2−m2+2−m=5m+11；
h(m)的解析式为：h(m)=5m+11,m≤−3−m2−m+2,−3【解析】(1)换元后结合二次函数的性质即可求解值域；
(2)转化为二次函数，借助二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论即可．
本题主要考查函数最值的求法，值域的求法，函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意函数g(x)是f(x)=3−x的反函数，所以x=3−g(x)，解得g(x)=−lg3x，
由题意若g(mx2+2x+m)=−lg3(mx2+2x+m)的值域为R，
则当且仅当y=mx2+2x+m的值域包含(0,+∞)，
当m=0时，y=2x的值域包含(0,+∞)，满足题意，
当m≠0时，当且仅当m>0Δ=4−4m2≥0时，y=mx2+2x+m的值域包含(0,+∞)，
解得0综上所述实数m的取值范围为[0,1]．
(2)由题意k(x)=4−n−lg3f(x2−4)x=4−n−lg33−(x2−4)x=4−n+x2−4x=4−n+x−4x(x>0)，
由复合函数单调性可知，k(x)=4−n+x−4x(x>0)单调递增，
由题意0即问题等价转换为了函数方程k(x)=4−n+x−4x=2x在(0,+∞)上存在两个不同的解，
即方程4−n=x+4x,(x>0)有两个不同的解，
而当0所以当且仅当x=2时，ymin=y(2)=2+42=4，
又当x→0时，y→+∞，当x→+∞时，y→+∞，
所以当且仅当4−n>ymin=4时，方程4−n=x+4x,(x>0)有两个不同的解，
即函数方程k(x)=4−n+x−4x=2x在(0,+∞)上存在两个不同的解，
所以解得n<0，即满足题意的实数n的取值范围为(−∞,0)．
【解析】(1)首先由反函数定义求出g(x)=−lg3x，进一步根据g(mx2+2x+m)的值域为R，可知y=mx2+2x+m的值域包含(0,+∞)，对m分类讨论即可．
(2)首先将函数表达式化简，然后得出其单调性，故原题等价于是否存在实数n，使得函数方程k(x)=4−n+x−4x=2x在(0,+∞)上存在两个不同的解，即求方程4−n=x+4x,(x>0)有两个不同的解时，实数n的取值范围，根据对勾函数的性质即可得解．
本题考查的知识要点：函数的性质，反函数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．