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2023-2024学年福建重点大学附中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建重点大学附中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|01}，则A∩B=( )
A. {x|00}C. {x|12.函数f(x)= 2−x+lnx的定义域是( )
A. (0,+∞)B. (0,2)C. (0,2]D. (−∞,2)
3.方程ex+2x−6=0的根所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.函数f(x)=x31+ln|x|的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.已知xy>0，若x+4y=2，则4x+y的最小值为( )
A. 24B. 16C. 12D. 8
6.已知函数f(x)=lg(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. [4,+∞)B. [6,+∞)C. (103,4]D. [103,4]
7.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列数据最接近33611000052的是(lg3≈0.477)( )
A. 10−37B. 10−36C. 10−35D. 10−34
8.设函数f(x)满足f(−x)=f(x)，当x1，x2∈[0,+∞)时都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，且对任意的x∈[12,1]，
不等式f(ax+1)≤f(x−2)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [−2,0]B. [−5,0]C. [−5,1]D. [−2,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2，[π]=3，[−2.1]=−3，定义函数f(x)=x−[x]，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的定义域为RB. 函数f(x)的值域为R
C. 函数f(x)无最大值D. 函数f(x)在定义域内是增函数
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. f(x)= −2x3与g(x)=x −2x
B. f(x)=x与g(x)= x2
C. f(x)=x0与g(x)=1x0
D. f(x)=x2−2x−1与g(t)=t2−2t−1
11.下列四个命题中为假命题的是( )
A. ∃x∈(0,1),2x=1x
B. 命题“∀x∈R，x2+x−1>0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1<0”
C. 设p：11，则p是q的必要不充分条件
D. f(x)=2x与g(x)=lg2x的图象关于直线y=x对称
12.已知函数f(x)=e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0，则下列结论正确的是( )
A. 函数y=f(x)−x有3个零点
B. 若函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈[1,2]
C. 若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=2
D. 若关于x的方程f2(x)−3f(x)+α=0有8个不等实根，则α∈(2,94)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=f(x)过点P(4,2)，则f(9)= ______ ．
14.已知f(x)=x5+ax3+bx−8，且f(lg2)=10，那么f(lg12)= ______ ．
15.函数f(x)=lga(3x−2)+2(a>0且a≠1)恒过的定点坐标为 ．
16.已知函数f(x)=ax+b−1(a>0且b>−1)，g(x)=x−1，若对任意x∈R，不等式f(x)g(x)≥0恒成立，则a+b= ______ ，a2+5a+b2b+1的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算(5116)0.5−2×(21027)−23−2×( 2+π)0÷(34)−2
(2)计算9lg32−4lg43⋅lg278+13lg68−2lg6−1 3．
18.(本小题10分)
设全集U=R，集合A={x|(x+2)(x−3)≤0}，B={x|y=ln(x−1)}，C={x|a−4(1)求∁UA和A∩B；
(2)若A∪C=C，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知f(x)=−x+ax，其中f(2)=0，函数g(x)=f(x),x≥12x+1,x<1．
(1)求a的值并用定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减；
(2)若g(m)>g(m+1)，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位：万元)与速度v(单位：百公里/小时)(0≤v≤3)的以下数据：
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=klgav+b．
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
21.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)满足，对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x<0时，f(x)>0，f(1)=−2．
(1)求f(0)的值，并证明函数f(x)是奇函数；
(2)判断函数f(x)在R上的单调性并证明；
(3)解不等式−422.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(ax+1)+bx(a>0且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)=ax(a>0且a≠1)．
(1)求b的值；
(2)若函数h(x)=f(x)−12x−a有零点，求a的取值范围；
(3)当a=2时，若∀x1∈(0,+∞)，∃x2∈R，使得g(2x1)+mg(x1)−f(2x2)>0恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={x|01}，
则A∩B={x|1故选：D．
利用交集的定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．
根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】
解：要使函数有意义，则2−x≥0x>0，
得 x≤2x>0，得0故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：令f(x)=ex+2x−6，
函数定义域为R，且在R上单调递增，
f(0)=1−6=−5<0，
f(1)=e−4<0，
f(2)=e2−2>0，
f(1)⋅f(2)<0，
由零点存在性定理可知，函数f(x)零点所在区间为(1,2)，
即方程ex+2x−6=0的根所在的区间为(1,2)，
故选：B．
令f(x)=ex+2x−6，求得函数定义域并判断单调性，将选项区间端点依次代入解析式计算函数值，由零点存在性定理可判断结果．
本题考查了零点存在性定理，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：显然1+ln|x|≠0，解得x≠0且x≠±1e，
函数的定义域关于原点对称，且f(−x)=−x31+ln|x|=−f(x)，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除CD，
当x∈(0,1e)，x3>0，1+lnx<0，所以f(x)<0，排除B．
故选：A．
首先判断函数的奇偶性，排除选项，再判断x∈(0,1e)时，函数值的正负，排除选项．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵xy>0，x+4y=2，
∴4x+y=12(4x+y)(x+4y)=4+12(xy+16xy)≥4+ xy⋅16xy=8，
当且仅当xy=4，x+4y=2，即x=1，y=4时，等号成立，
故4x+y的最小值为8，
故选：D．
利用基本不等式的性质即可求得答案．
本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：要使函数f(x)=lg(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，
则t=−x2+ax−1在[2,3]上单调递减且大于0恒成立，
则a2≤2−32+3a−1>0，解得103∴实数a的取值范围是(103,4].
故选：C．
要使函数f(x)=lg(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，则t=−x2+ax−1在[2,3]上单调递减且大于0恒成立，转化为关于a的不等式组求解．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．
根据题意，求33611000052的对数得lg33611000052≈−35.8，即可得33611000052≈10−35.8，分析选项即可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于33611000052，
有lg33611000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8，
则33611000052≈10−35.8，
分析选项：B中10−36与其最接近，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：f(x)是偶函数且f(x)在(0,+∞)递增，
故f(x)在(−∞,0)递减，
x∈[12,1]时，x−2∈[−32,−1]，
故f(x−2)≥f(1)，
若任意的x∈[12,1]，不等式f(ax+1)≤f(x−2)恒成立，
则x∈[12,1]时，|ax+1|≤1恒成立，
故−1≤ax+1≤1，x∈[12,1]，
故−2≤ax≤0，x∈[12,1]，
故−2x≤a≤0，x∈[12,1]，
而a≥(−2x)max=−2，
故−2≤a≤0，
故选：A．
根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题．
9.【答案】AC
【解析】解：由题意，函数中x为任意实数，A正确；
当x∈[−1,0)时，f(x)=x−(−1)=x+1，
当x∈[0,1)时，f(x)=x−0=x，
当x∈[1,2)时，f(x)=x−1，
x∈[−2,3)时，f(x)=x−2，以此类推，作出函数的部分图像，
结合函数图象可知，f(x)的值域为[0,1)，没有最大值，B错误，C正确；
结合函数图象可知，函数在定义域R上没有单调性，D错误．
故选：AC．
由已知结合x的范围对函数解析式进行化简，作出函数的图象，结合函数图象检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A：由于f(x)= −2x3值域为[0,+∞)，g(x)=x −2x的值域为R，它们的值域不一样，故它们不是同一个函数；
对于B：由于f(x)=x的值域为R，g(x)= x2值域为[0,+∞)，它们的值域不一样，故它们不是同一个函数；
对于C：由于f(x)=x0与g(x)=1x0具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数；
对于Df(x)=x2−2x−1与g(t)=t2−2t−1具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数，
故选：CD．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：A.如图，
可看出，存在x∈(0,1)，使2x=1x，A为真命题；
B.命题“∀x∈R，x2+x−1>0“的否定是″∃x∈R，x2+x−1≤0“，∴B是假命题；
C.p：112，则p是q的充分不必要条件，∴C是假命题；
D.f(x)=2x与g(x)=lg2x互为反函数，∴图象关于y=x对称，该命题是真命题．
故选：BC．
在同一坐标系下画出2x和1x的图象即可说明选项A的命题是真命题；根据全称量词命题的否定即可判断B是假命题；根据充分条件和必要条件的定义即可判断C是假命题；根据原函数和反函数的对称性即可判断D是真命题．
本题考查了指数函数和反比例函数的图象，全称量词命题的否定，充分不必要条件的定义，互为反函数的两函数图象的对称性，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：A选项，当x≥2时，f(x)=ex−2单调递增，
当0画出f(x)=e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0的图象，可以看出y=e|x−2|关于x=2对称，
当x=2时，y=e|x−2|取得最小值为1，
在同一坐标系内作出y=x的图象，可看出两函数图象有3个交点，
所以函数y=f(x)−x有3个零点，A正确；
数形结合可得：函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈(1,2)，B错误；
由上图可知：若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，
不妨设x1其中x1，x2关于x=−1对称，x3，x4关于x=2对称，则x1+x2=−2，x3+x4=4，
所以x1+x2+x3+x4=2，C正确；
D选项，令f(x)=t，则t2−3t+α=0要有2个不相等的实数根t1，t2，t1，t2∈(1,2)，
且t1+t2=3，α=t1t2，
α=t1t2=3t2−t22=−(t2−32)2+94，
因为t2∈(1,2)，所以α=−(t2−32)2+94∈(2,94],
由Δ=9−4α>0，解得：α<94，
综上：α∈(2,94)，
若关于x的方程f2(x)−3f(x)+α=0有8个不等实根，则α∈(2,94)，D正确．
故选：ACD．
A选项，画出f(x)=e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0的图象，在同一坐标系内作出y=x的图象，可看出两函数图象有3个交点，A错误；
B选项，数形结合得到t∈(1,2)，B错误；
C选项，可看出四个实根有两个根关于x=−1对称，另外两个根关于x=2对称，从而得到x1+x2+x3+x4=2，C正确；
D选项，令f(x)=t，则t2−3t+α=0要有2个不相等的实数根t1，t2，t1，t2∈(1,2)，
得到两根之和，两根之积，化简得到α=t1t2=3t2−t22=−(t2−32)2+94，结合t2∈(1,2)，求出α∈(2,94]，结合Δ=9−4α>0，求出α∈(2,94)．
本题主要考查分段函数的性质和函数的零点，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：由题意可设，f(x)=xα，
则4α=2，解得α=12，
故f(x)=x12，即f(9)=912=3．
故答案为：3．
根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
14.【答案】−26
【解析】解：f(x)=x5+ax3+bx−8，
可得f(x)+8=x5+ax3+bx，
设g(x)=f(x)+8，则g(−x)=−g(x)，
可得g(x)为奇函数，
则f(−x)+8+f(x)+8=0，
即f(−x)+f(x)=−16，
由f(lg2)=10，则f(lg12)=f(−lg2)=−16−f(lg2)=−26．
故答案为：−26．
可设g(x)=f(x)+8，推得g(x)为奇函数，可得f(x)+f(−x)=−16，由对数的运算性质可得所求值．
本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】(1,2)
【解析】【分析】
根据函数y=lgax过定点(1,0)，求出函数f(x)的图象所经过的定点．
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，利用了函数y=lgax过定点(1,0)，属于基础题．
【解答】
解：由于函数y=lgax过定点(1,0)，即x=1，y=0
故函数f(x)=lga(3x−2)+2(a>0且a≠1)中，令3x−2=1，可得x=1，y=2，
所以恒过定点(1,2)，
故答案为：(1,2)．
16.【答案】1 3+ 5
【解析】解：因为对任意x∈R，不等式f(x)⋅g(x)≥0恒成立，
所以当x<1时，g(x)<0，有f(x)≤0；
当x>1时，g(x)>0，有f(x)≥0．
又f(x)连续不断，故必有f(1)=0
所以a+b−1=0，即a+b=1．
所以a2+5a+b2b+1=(a+5a)+(b−1+1b+1)
=5a+1b+1=12(5a+1b+1)×(a+b+1)
=12(6+5(b+1)a+ab+1)≥12(6+2 5(b+1)a×ab+1)
=3+ 5，当且仅当a=5− 52，b= 5−32时等号成立，
即a2+5a+b2b+1的最小值为3+ 5．
故答案为：1；3+ 5．
对任意x∈R，不等式f(x)⋅g(x)≥0恒成立，可得a+b=1；将a2+5a+b2b+1变形成5a+1b+1，用基本不等式求解其最小值即可．
本题考查了不等式恒成立问题和基本不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)(5116)0.5−2×(21027)−23−2×( 2+π)0÷(34)−2
= 8116−2×(6427)−23−2÷(43)2
=94−2×(34)2−2×(34)2=0．
(2)9lg32−4lg43⋅lg278+13lg68−2lg6−1 3
=3lg34−4×12lg23×lg32+lg62+lg63
=4−2+lg66
=2+1=3．
【解析】本题考查指数式、对数式化简求值，解题时要认真审题，注意指数、对数性质、运算法则的合理运用，是中档题．
(1)利用有理数指数幂性质、运算法则求解．
(2)利用对数性质、运算法则求解．
18.【答案】解：(1)A={x|−2≤x≤3}，B={x|x−1>0}={x|x>1}，
∴∁UA={x|x<−2或x>3}，
A∩B={x|−2≤x≤3}∩{x|x>1}={x|1(2)因为A∪C=C，所以，A⊆C，
所以，a−4<−2且a+3≥3，
所以，0≤a<2．
所以a的取值范围{a|0≤a<2}．
【解析】(1)解对数不等式、一元二次不等式，求出集合A、B、C，从而求出∁UA和A∩B．
(2)由题意可得，A⊆C，可得a−4<−2且a+3≥3，由此求得实数a的取值范围．
本题主要考查对数不等式、一元二次不等式的解法，集合间的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=−x+ax，其中f(2)=0，
则f(2)=−2+a2=4，解可得a=4，故f(x)=−x+4x，
∀x1，x2∈[1,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=(−x1+4x1)−(−x2+4x2)=(x2−x1)+(4x1−4x2)=(x2−x1)+4x2−x1x1x2=(x2−x1)(1+4x1x2)，
因为1≤x10,1+4x1x2>0，即(x2−x1)(1+4x1x2)>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，
(2)因为g(x)=−x+4x,x≥12x+1,x<1在(−∞,1]单调递增，在[1,+∞)上单调递减，g(x)在(−∞,+∞)上是连续函数，
①当m≤0时，m②当0g(m+1)得2m+1>−(m+1)+4m+1，
解得13③当m≥1时，1≤mg(m+1)恒成立，符合题意，
综上可知，m的取值范围(13,+∞)．
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式，将x=2代入，计算可得a的值，由此利用作差法分析可得结论；
(2)根据题意，由g(x)的解析式分析g(x)的单调性和单调区间，据此分情况讨论m的取值范围，综合可得答案．
本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若选择函数模型Q=0.5v+a，则该函数在v∈[0,3]上为单调减函数，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，
若选择函数模型Q=klgav+b，须v>0，这与试验数据在v=0时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型；
从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+cv，由试验数据得，
a+b+c=0.7，①
8a+4b+2c=1.6，②
27a+9b+3c=3.3，③
联立①②③解得：a=0.1，b=−0.2，c=0.8；
故所求函数解析式为：Q=0.1v3−0.2v2+0.8v，(0≤v≤3)
(2)设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元)
则所需时间为3v(小时)，其中：0<ν≤3，
结合(1)知，y=3v(0.1v3−0.2v2+0.8v)
=0.3[(v−1)2+7]
所以当ν=1时，ymin=2.1
答：(1)相应的函数解析式：Q=0.1v3−0.2v2+0.8v，(0≤v≤3)；当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元；
【解析】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
(1)由表中v，Q对应的数据分别代入模型可判断最符合实际的函数模型，并求得相应的函数解析式；
(2)利用函数配方求最值可得答案．
21.【答案】解：(1)依题意，函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，
令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0；
证明：∀x∈R，取y=−x，则f(x)+f(−x)=f(x−x)=f(0)=0，
即f(−x)=−f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)在R上单调递减，证明如下：
证明：任取x1，x2∈R，x10，则f(x1−x2)>0，
于是f(x1)=f[(x1−x2)+x2]=f(x1−x2)+f(x2)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递减．
(3)由于f(1)=−2，则f(2)=f(1)+f(1)=−4，f(−2)=−f(2)=4，
于是不等式−4由(2)知，−2<3−2x<2，解得12所以原不等式的解集为(12,52)．
【解析】(1)利用赋值法求得f(0)，利用定义证明函数f(x)为奇函数．
(2)判断函数单调性，并用定义证明函数f(x)在R上的单调性．
(3)根据函数f(x)的单调性求得不等式−4本题考查了用赋值法求抽象函数的值、利用定义法判断并证明抽象函数的奇偶性、单调性，并利用这些性质解抽象不等式，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以∀x∈R，都有f(−x)=f(x)，
即lga(a−x+1)−bx=lga(ax+1)+bx对∀x∈R恒成立，
即lga(a−x+1)−lga(ax+1)=2bx对∀x∈R恒成立，
即lga(ax+1ax)−lga(ax+1)=lga1ax=−x=2bx对∀x∈R恒成立，
所以b=−12．
(2)h(x)=lga(ax+1)−x−a有零点，即lga(ax+1)−x=a，即lga(1+1ax)=a有解，
令p(x)=lga(1+1ax)，则函数y=p(x)图象与直线y=a有交点，
当01,p(x)=lga(1+1ax)<0,lga(1+1ax)=a无解，
当a>1时，u=1+1ax在(−∞,+∞)上单调递减，p(x)=lga(1+1ax)在(−∞,+∞)上单调递减，
∴p(x)值域为(0,+∞)，
由lga(1+1ax)=a有解可得a>1，
综上可知，a的取值范围是(1,+∞)．
(3)f(x)=lg2(2x+1)−12x，
当x2∈R时，f(2x2)=lg2(22x2+1)−x2=lg2(22x2+12x2)=lg2(2x2+2−x2)，
由2x2+2−x2≥2，当且仅当x2=0时取等号，所以f(2x2)的最小值为1，
因为∀x1∈(0,+∞)，∃x2∈R，使得g(2x1)+mg(x1)>f(2x2)成立，
所以[g(2x1)+mg(x1)]min>[f(2x2)]min=1，
即22x1+m⋅2x1>1 对任意的x1>0恒成立，
设t=2x1,t>1，
所以当t>1时，t2+mt>1恒成立，
所以t2+mt>1，即m>1t−t，
设函数k(t)=1t−t在(1,+∞)单调递减，
所以k(t)所以m≥0，即实数m的取值范围为[0,+∞)．
【解析】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了对数函数的性质，同时考查了函数的零点与方程根的关系，属于较难题．
(1)由偶函数的性质可知对于∀x∈R，都有f(−x)=f(x)，代入化简即可求出b的值．
(2)h(x)=lga(ax+1)−x−a有零点，即lga(ax+1)−x=a，即lga(1+1ax)=a有解，即函数p(x)=lga(1+1ax)图象与直线y=a有交点，对a的范围分情况讨论，求出p(x)的值域，从而求出a的取值范围．
(3)由题意可知[g(2x1)+mg(x1)]min>[f(2x2)]min=1，即22x1+m·2x1>1对任意的x1>0恒成立，设t=2x1,t>1，所以当t>1时，m>1t−t恒成立，再结合函数k(t)=1t−t在(1,+∞)上的单调性，即可求出结果．v
0
1
2
3
Q
0
0.7
1.6
3.3
1.已知集合A={x|0
A. {x|0
A. (0,+∞)B. (0,2)C. (0,2]D. (−∞,2)
3.方程ex+2x−6=0的根所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.函数f(x)=x31+ln|x|的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.已知xy>0，若x+4y=2，则4x+y的最小值为( )
A. 24B. 16C. 12D. 8
6.已知函数f(x)=lg(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. [4,+∞)B. [6,+∞)C. (103,4]D. [103,4]
7.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列数据最接近33611000052的是(lg3≈0.477)( )
A. 10−37B. 10−36C. 10−35D. 10−34
8.设函数f(x)满足f(−x)=f(x)，当x1，x2∈[0,+∞)时都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，且对任意的x∈[12,1]，
不等式f(ax+1)≤f(x−2)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [−2,0]B. [−5,0]C. [−5,1]D. [−2,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2，[π]=3，[−2.1]=−3，定义函数f(x)=x−[x]，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的定义域为RB. 函数f(x)的值域为R
C. 函数f(x)无最大值D. 函数f(x)在定义域内是增函数
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. f(x)= −2x3与g(x)=x −2x
B. f(x)=x与g(x)= x2
C. f(x)=x0与g(x)=1x0
D. f(x)=x2−2x−1与g(t)=t2−2t−1
11.下列四个命题中为假命题的是( )
A. ∃x∈(0,1),2x=1x
B. 命题“∀x∈R，x2+x−1>0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1<0”
C. 设p：1
D. f(x)=2x与g(x)=lg2x的图象关于直线y=x对称
12.已知函数f(x)=e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0，则下列结论正确的是( )
A. 函数y=f(x)−x有3个零点
B. 若函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈[1,2]
C. 若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=2
D. 若关于x的方程f2(x)−3f(x)+α=0有8个不等实根，则α∈(2,94)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=f(x)过点P(4,2)，则f(9)= ______ ．
14.已知f(x)=x5+ax3+bx−8，且f(lg2)=10，那么f(lg12)= ______ ．
15.函数f(x)=lga(3x−2)+2(a>0且a≠1)恒过的定点坐标为 ．
16.已知函数f(x)=ax+b−1(a>0且b>−1)，g(x)=x−1，若对任意x∈R，不等式f(x)g(x)≥0恒成立，则a+b= ______ ，a2+5a+b2b+1的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算(5116)0.5−2×(21027)−23−2×( 2+π)0÷(34)−2
(2)计算9lg32−4lg43⋅lg278+13lg68−2lg6−1 3．
18.(本小题10分)
设全集U=R，集合A={x|(x+2)(x−3)≤0}，B={x|y=ln(x−1)}，C={x|a−4
(2)若A∪C=C，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知f(x)=−x+ax，其中f(2)=0，函数g(x)=f(x),x≥12x+1,x<1．
(1)求a的值并用定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减；
(2)若g(m)>g(m+1)，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位：万元)与速度v(单位：百公里/小时)(0≤v≤3)的以下数据：
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=klgav+b．
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
21.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)满足，对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x<0时，f(x)>0，f(1)=−2．
(1)求f(0)的值，并证明函数f(x)是奇函数；
(2)判断函数f(x)在R上的单调性并证明；
(3)解不等式−4
已知函数f(x)=lga(ax+1)+bx(a>0且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)=ax(a>0且a≠1)．
(1)求b的值；
(2)若函数h(x)=f(x)−12x−a有零点，求a的取值范围；
(3)当a=2时，若∀x1∈(0,+∞)，∃x2∈R，使得g(2x1)+mg(x1)−f(2x2)>0恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={x|0
则A∩B={x|1
利用交集的定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．
根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】
解：要使函数有意义，则2−x≥0x>0，
得 x≤2x>0，得0
3.【答案】B
【解析】解：令f(x)=ex+2x−6，
函数定义域为R，且在R上单调递增，
f(0)=1−6=−5<0，
f(1)=e−4<0，
f(2)=e2−2>0，
f(1)⋅f(2)<0，
由零点存在性定理可知，函数f(x)零点所在区间为(1,2)，
即方程ex+2x−6=0的根所在的区间为(1,2)，
故选：B．
令f(x)=ex+2x−6，求得函数定义域并判断单调性，将选项区间端点依次代入解析式计算函数值，由零点存在性定理可判断结果．
本题考查了零点存在性定理，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：显然1+ln|x|≠0，解得x≠0且x≠±1e，
函数的定义域关于原点对称，且f(−x)=−x31+ln|x|=−f(x)，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除CD，
当x∈(0,1e)，x3>0，1+lnx<0，所以f(x)<0，排除B．
故选：A．
首先判断函数的奇偶性，排除选项，再判断x∈(0,1e)时，函数值的正负，排除选项．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵xy>0，x+4y=2，
∴4x+y=12(4x+y)(x+4y)=4+12(xy+16xy)≥4+ xy⋅16xy=8，
当且仅当xy=4，x+4y=2，即x=1，y=4时，等号成立，
故4x+y的最小值为8，
故选：D．
利用基本不等式的性质即可求得答案．
本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：要使函数f(x)=lg(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，
则t=−x2+ax−1在[2,3]上单调递减且大于0恒成立，
则a2≤2−32+3a−1>0，解得103
故选：C．
要使函数f(x)=lg(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，则t=−x2+ax−1在[2,3]上单调递减且大于0恒成立，转化为关于a的不等式组求解．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．
根据题意，求33611000052的对数得lg33611000052≈−35.8，即可得33611000052≈10−35.8，分析选项即可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于33611000052，
有lg33611000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8，
则33611000052≈10−35.8，
分析选项：B中10−36与其最接近，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：f(x)是偶函数且f(x)在(0,+∞)递增，
故f(x)在(−∞,0)递减，
x∈[12,1]时，x−2∈[−32,−1]，
故f(x−2)≥f(1)，
若任意的x∈[12,1]，不等式f(ax+1)≤f(x−2)恒成立，
则x∈[12,1]时，|ax+1|≤1恒成立，
故−1≤ax+1≤1，x∈[12,1]，
故−2≤ax≤0，x∈[12,1]，
故−2x≤a≤0，x∈[12,1]，
而a≥(−2x)max=−2，
故−2≤a≤0，
故选：A．
根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题．
9.【答案】AC
【解析】解：由题意，函数中x为任意实数，A正确；
当x∈[−1,0)时，f(x)=x−(−1)=x+1，
当x∈[0,1)时，f(x)=x−0=x，
当x∈[1,2)时，f(x)=x−1，
x∈[−2,3)时，f(x)=x−2，以此类推，作出函数的部分图像，
结合函数图象可知，f(x)的值域为[0,1)，没有最大值，B错误，C正确；
结合函数图象可知，函数在定义域R上没有单调性，D错误．
故选：AC．
由已知结合x的范围对函数解析式进行化简，作出函数的图象，结合函数图象检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A：由于f(x)= −2x3值域为[0,+∞)，g(x)=x −2x的值域为R，它们的值域不一样，故它们不是同一个函数；
对于B：由于f(x)=x的值域为R，g(x)= x2值域为[0,+∞)，它们的值域不一样，故它们不是同一个函数；
对于C：由于f(x)=x0与g(x)=1x0具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数；
对于Df(x)=x2−2x−1与g(t)=t2−2t−1具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数，
故选：CD．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：A.如图，
可看出，存在x∈(0,1)，使2x=1x，A为真命题；
B.命题“∀x∈R，x2+x−1>0“的否定是″∃x∈R，x2+x−1≤0“，∴B是假命题；
C.p：1
D.f(x)=2x与g(x)=lg2x互为反函数，∴图象关于y=x对称，该命题是真命题．
故选：BC．
在同一坐标系下画出2x和1x的图象即可说明选项A的命题是真命题；根据全称量词命题的否定即可判断B是假命题；根据充分条件和必要条件的定义即可判断C是假命题；根据原函数和反函数的对称性即可判断D是真命题．
本题考查了指数函数和反比例函数的图象，全称量词命题的否定，充分不必要条件的定义，互为反函数的两函数图象的对称性，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：A选项，当x≥2时，f(x)=ex−2单调递增，
当0
当x=2时，y=e|x−2|取得最小值为1，
在同一坐标系内作出y=x的图象，可看出两函数图象有3个交点，
所以函数y=f(x)−x有3个零点，A正确；
数形结合可得：函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈(1,2)，B错误；
由上图可知：若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，
不妨设x1
所以x1+x2+x3+x4=2，C正确；
D选项，令f(x)=t，则t2−3t+α=0要有2个不相等的实数根t1，t2，t1，t2∈(1,2)，
且t1+t2=3，α=t1t2，
α=t1t2=3t2−t22=−(t2−32)2+94，
因为t2∈(1,2)，所以α=−(t2−32)2+94∈(2,94],
由Δ=9−4α>0，解得：α<94，
综上：α∈(2,94)，
若关于x的方程f2(x)−3f(x)+α=0有8个不等实根，则α∈(2,94)，D正确．
故选：ACD．
A选项，画出f(x)=e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0的图象，在同一坐标系内作出y=x的图象，可看出两函数图象有3个交点，A错误；
B选项，数形结合得到t∈(1,2)，B错误；
C选项，可看出四个实根有两个根关于x=−1对称，另外两个根关于x=2对称，从而得到x1+x2+x3+x4=2，C正确；
D选项，令f(x)=t，则t2−3t+α=0要有2个不相等的实数根t1，t2，t1，t2∈(1,2)，
得到两根之和，两根之积，化简得到α=t1t2=3t2−t22=−(t2−32)2+94，结合t2∈(1,2)，求出α∈(2,94]，结合Δ=9−4α>0，求出α∈(2,94)．
本题主要考查分段函数的性质和函数的零点，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：由题意可设，f(x)=xα，
则4α=2，解得α=12，
故f(x)=x12，即f(9)=912=3．
故答案为：3．
根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
14.【答案】−26
【解析】解：f(x)=x5+ax3+bx−8，
可得f(x)+8=x5+ax3+bx，
设g(x)=f(x)+8，则g(−x)=−g(x)，
可得g(x)为奇函数，
则f(−x)+8+f(x)+8=0，
即f(−x)+f(x)=−16，
由f(lg2)=10，则f(lg12)=f(−lg2)=−16−f(lg2)=−26．
故答案为：−26．
可设g(x)=f(x)+8，推得g(x)为奇函数，可得f(x)+f(−x)=−16，由对数的运算性质可得所求值．
本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】(1,2)
【解析】【分析】
根据函数y=lgax过定点(1,0)，求出函数f(x)的图象所经过的定点．
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，利用了函数y=lgax过定点(1,0)，属于基础题．
【解答】
解：由于函数y=lgax过定点(1,0)，即x=1，y=0
故函数f(x)=lga(3x−2)+2(a>0且a≠1)中，令3x−2=1，可得x=1，y=2，
所以恒过定点(1,2)，
故答案为：(1,2)．
16.【答案】1 3+ 5
【解析】解：因为对任意x∈R，不等式f(x)⋅g(x)≥0恒成立，
所以当x<1时，g(x)<0，有f(x)≤0；
当x>1时，g(x)>0，有f(x)≥0．
又f(x)连续不断，故必有f(1)=0
所以a+b−1=0，即a+b=1．
所以a2+5a+b2b+1=(a+5a)+(b−1+1b+1)
=5a+1b+1=12(5a+1b+1)×(a+b+1)
=12(6+5(b+1)a+ab+1)≥12(6+2 5(b+1)a×ab+1)
=3+ 5，当且仅当a=5− 52，b= 5−32时等号成立，
即a2+5a+b2b+1的最小值为3+ 5．
故答案为：1；3+ 5．
对任意x∈R，不等式f(x)⋅g(x)≥0恒成立，可得a+b=1；将a2+5a+b2b+1变形成5a+1b+1，用基本不等式求解其最小值即可．
本题考查了不等式恒成立问题和基本不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)(5116)0.5−2×(21027)−23−2×( 2+π)0÷(34)−2
= 8116−2×(6427)−23−2÷(43)2
=94−2×(34)2−2×(34)2=0．
(2)9lg32−4lg43⋅lg278+13lg68−2lg6−1 3
=3lg34−4×12lg23×lg32+lg62+lg63
=4−2+lg66
=2+1=3．
【解析】本题考查指数式、对数式化简求值，解题时要认真审题，注意指数、对数性质、运算法则的合理运用，是中档题．
(1)利用有理数指数幂性质、运算法则求解．
(2)利用对数性质、运算法则求解．
18.【答案】解：(1)A={x|−2≤x≤3}，B={x|x−1>0}={x|x>1}，
∴∁UA={x|x<−2或x>3}，
A∩B={x|−2≤x≤3}∩{x|x>1}={x|1
所以，a−4<−2且a+3≥3，
所以，0≤a<2．
所以a的取值范围{a|0≤a<2}．
【解析】(1)解对数不等式、一元二次不等式，求出集合A、B、C，从而求出∁UA和A∩B．
(2)由题意可得，A⊆C，可得a−4<−2且a+3≥3，由此求得实数a的取值范围．
本题主要考查对数不等式、一元二次不等式的解法，集合间的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=−x+ax，其中f(2)=0，
则f(2)=−2+a2=4，解可得a=4，故f(x)=−x+4x，
∀x1，x2∈[1,+∞)，且x1
因为1≤x1
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，
(2)因为g(x)=−x+4x,x≥12x+1,x<1在(−∞,1]单调递增，在[1,+∞)上单调递减，g(x)在(−∞,+∞)上是连续函数，
①当m≤0时，m
解得13
综上可知，m的取值范围(13,+∞)．
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式，将x=2代入，计算可得a的值，由此利用作差法分析可得结论；
(2)根据题意，由g(x)的解析式分析g(x)的单调性和单调区间，据此分情况讨论m的取值范围，综合可得答案．
本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若选择函数模型Q=0.5v+a，则该函数在v∈[0,3]上为单调减函数，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，
若选择函数模型Q=klgav+b，须v>0，这与试验数据在v=0时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型；
从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+cv，由试验数据得，
a+b+c=0.7，①
8a+4b+2c=1.6，②
27a+9b+3c=3.3，③
联立①②③解得：a=0.1，b=−0.2，c=0.8；
故所求函数解析式为：Q=0.1v3−0.2v2+0.8v，(0≤v≤3)
(2)设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元)
则所需时间为3v(小时)，其中：0<ν≤3，
结合(1)知，y=3v(0.1v3−0.2v2+0.8v)
=0.3[(v−1)2+7]
所以当ν=1时，ymin=2.1
答：(1)相应的函数解析式：Q=0.1v3−0.2v2+0.8v，(0≤v≤3)；当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元；
【解析】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
(1)由表中v，Q对应的数据分别代入模型可判断最符合实际的函数模型，并求得相应的函数解析式；
(2)利用函数配方求最值可得答案．
21.【答案】解：(1)依题意，函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，
令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0；
证明：∀x∈R，取y=−x，则f(x)+f(−x)=f(x−x)=f(0)=0，
即f(−x)=−f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)在R上单调递减，证明如下：
证明：任取x1，x2∈R，x1
于是f(x1)=f[(x1−x2)+x2]=f(x1−x2)+f(x2)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递减．
(3)由于f(1)=−2，则f(2)=f(1)+f(1)=−4，f(−2)=−f(2)=4，
于是不等式−4
【解析】(1)利用赋值法求得f(0)，利用定义证明函数f(x)为奇函数．
(2)判断函数单调性，并用定义证明函数f(x)在R上的单调性．
(3)根据函数f(x)的单调性求得不等式−4
22.【答案】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以∀x∈R，都有f(−x)=f(x)，
即lga(a−x+1)−bx=lga(ax+1)+bx对∀x∈R恒成立，
即lga(a−x+1)−lga(ax+1)=2bx对∀x∈R恒成立，
即lga(ax+1ax)−lga(ax+1)=lga1ax=−x=2bx对∀x∈R恒成立，
所以b=−12．
(2)h(x)=lga(ax+1)−x−a有零点，即lga(ax+1)−x=a，即lga(1+1ax)=a有解，
令p(x)=lga(1+1ax)，则函数y=p(x)图象与直线y=a有交点，
当0
当a>1时，u=1+1ax在(−∞,+∞)上单调递减，p(x)=lga(1+1ax)在(−∞,+∞)上单调递减，
∴p(x)值域为(0,+∞)，
由lga(1+1ax)=a有解可得a>1，
综上可知，a的取值范围是(1,+∞)．
(3)f(x)=lg2(2x+1)−12x，
当x2∈R时，f(2x2)=lg2(22x2+1)−x2=lg2(22x2+12x2)=lg2(2x2+2−x2)，
由2x2+2−x2≥2，当且仅当x2=0时取等号，所以f(2x2)的最小值为1，
因为∀x1∈(0,+∞)，∃x2∈R，使得g(2x1)+mg(x1)>f(2x2)成立，
所以[g(2x1)+mg(x1)]min>[f(2x2)]min=1，
即22x1+m⋅2x1>1 对任意的x1>0恒成立，
设t=2x1,t>1，
所以当t>1时，t2+mt>1恒成立，
所以t2+mt>1，即m>1t−t，
设函数k(t)=1t−t在(1,+∞)单调递减，
所以k(t)
【解析】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了对数函数的性质，同时考查了函数的零点与方程根的关系，属于较难题．
(1)由偶函数的性质可知对于∀x∈R，都有f(−x)=f(x)，代入化简即可求出b的值．
(2)h(x)=lga(ax+1)−x−a有零点，即lga(ax+1)−x=a，即lga(1+1ax)=a有解，即函数p(x)=lga(1+1ax)图象与直线y=a有交点，对a的范围分情况讨论，求出p(x)的值域，从而求出a的取值范围．
(3)由题意可知[g(2x1)+mg(x1)]min>[f(2x2)]min=1，即22x1+m·2x1>1对任意的x1>0恒成立，设t=2x1,t>1，所以当t>1时，m>1t−t恒成立，再结合函数k(t)=1t−t在(1,+∞)上的单调性，即可求出结果．v
0
1
2
3
Q
0
0.7
1.6
3.3
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