(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升2.9《函数的零点与方程的解》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2﹣4ac<0，则f(x)无零点．( )
教材改编题
1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋ln x，x>0，))则f(x)的零点为________．
3．方程2x＋x＝k在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是________．

题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(多选)函数f(x)＝ex﹣x﹣2在下列哪个区间内必有零点( )
A．(﹣2，﹣1) B．(﹣1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(﹣∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(﹣∞，a)和(c，＋∞)内
教师备选
设函数f(x)＝eq \f(1,3)x﹣ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点
B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点
C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练1
(1)利用二分法求方程lg3x＝3﹣x的近似解，可以取的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知2题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝﹣f(x)，且x∈[﹣1,1]时，f(x)＝1﹣x2，已知函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,ex，x<0，))则函数h(x)＝f(x)﹣g(x)在区间[﹣6,6]内的零点个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．11
(2)函数f(x)＝eq \r(36－x2)·cs x的零点个数为______．
教师备选
函数f(x)＝2x|lg2x|﹣1的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 令f(x)＝0，得|lg2x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，分别作出y＝|lg2x|与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象(图略)，
由图可知，y＝|lg2x|与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象有两个交点，即原函数有2个零点．
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
跟踪训练2 (1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f(x)＝x2﹣x，则函数y＝f(x)的图象在区间[﹣3,3]上与x轴的交点个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 令f(x)＝x2﹣x＝0，所以x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，
因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(﹣2)＝0，f(﹣1)＝0，f(﹣3)＝0.
所以函数y＝f(x)的图象在区间[﹣3,3]上与x轴的交点个数为7.
(2)设定义域为R的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))则关于x的函数y＝2f2(x)﹣3f(x)＋1的零点的个数为( )
A．3 B．7 C．5 D．6
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x2＋2x|，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))若关于x的方程f(x)﹣a(x＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，4﹣2eq \r(3)) B．(4＋2eq \r(3)，＋∞)
C．[0,4﹣2eq \r(3)] D．(0,4﹣2eq \r(3))
命题点2 根据函数零点范围求参数
例4 已知函数f(x)＝3x﹣eq \f(1＋ax,x).若存在x0∈(﹣∞，﹣1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3))) C．(﹣∞，0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
教师备选
1．函数f(x)＝eq \f(x,x＋2)﹣kx2有两个零点，则实数k的值为________．
2．若函数f(x)＝(m﹣2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(﹣1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．
思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
跟踪训练3 (1)(多选)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|ln x|，x>0，,exx＋1，x≤0.))若函数g(x)＝f(x)﹣b有三个零点，则实数b可取的值可能是( )
A．0 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．1
(2)已知函数f(x)＝lg2(x＋1)﹣eq \f(1,x)＋m在区间(1,3]上有零点，则m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0))
课时精练
1．函数f(x)＝x3﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x﹣2的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
2．设函数f(x)＝4x3＋x﹣8，用二分法求方程4x3＋x﹣8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3))
3．若函数f(x)＝x2﹣ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
4．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg4x－1，x>1，,－3x－m，x≤1))存在2个零点，则实数m的取值范围为( )
A．[﹣3,0) B．[﹣1,0)
C．[0,1) D．[﹣3，＋∞)
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x﹣lg2x，设0A．x0c C．x0b
6．若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg3|x|的根的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．多于4
7．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2﹣x﹣3
C．f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ＋1 D．f(x)＝|lg2x|﹣1
9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________.
10．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))若函数y＝f(x)﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)﹣ax在区间(0，e2]上有三个零点，则实数a的取值范围是______________．
12．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
13．已知函数f(x)＝2x＋x﹣1，g(x)＝lg2x＋x﹣1，h(x)＝x3＋x﹣1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为( )
A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>c>b
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,lg2x，x>0，))则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
15．若关于x的方程eq \f(|x|,x＋4)＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)
16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
﹣4
﹣2
1
4
2
﹣1
﹣3