(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升3.2《导数与函数的单调性》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数f(x)＝x﹣sin x在R上是增函数．( )
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )

2．函数f(x)＝(x﹣2)ex的单调递增区间为________．
3．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3﹣eq \f(3,2)x2＋ax＋4的单调递减区间为[﹣1,4]，则实数a的值为________．
题型一 不含参数的函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝x2﹣2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(﹣∞，1) D．(﹣1,1)
(2)若函数f(x)＝eq \f(ln x＋1,ex)，则函数f(x)的单调递减区间为________．
教师备选
若幂函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(1,2)))，则函数g(x)＝eq \f(fx,ex)的单调递增区间为( )
A．(0,2) B．(﹣∞，0)∪(2，＋∞)
C．(﹣2,0) D．(﹣∞，﹣2)∪(0，＋∞)
思维升华 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
跟踪训练1
(1)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为____________．
(2)函数f(x)＝(x﹣1)ex﹣x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2﹣(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
延伸探究 若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？
教师备选
讨论下列函数的单调性．
(1)f(x)＝x﹣aln x； (2)g(x)＝(x﹣a﹣1)ex﹣(x﹣a)2.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x﹣eq \f(2,x)＋a(2﹣ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例3 (1)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))，f(1)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的大小关系为( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5))) B．f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)
(2)已知函数f(x)＝ex﹣e﹣x﹣2x＋1，则不等式f(2x﹣3)>1的解集为________．
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
例4 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2＋2ax﹣ln x，若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))上单调递增，则实数a的取值范围为________．
延伸探究 在本例中，把“f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))上单调递增”改为“f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))上存在单调递增区间”，求a的取值范围．
教师备选
1．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(﹣eq \r(2)，＋∞)
2．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
跟踪训练3
(1)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足eq \f(f′x,mx－3)<0，当m<0时，下列关系中一定成立的是( )
A．f(1)＋f(3)＝2f(2) B．f(0)·f(3)＝0
C．f(4)＋f(3)<2f(2) D．f(2)＋f(4)>2f(3)
(2)函数f(x)＝eq \f(ln x,x)在(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
课时精练
1．函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))) D．(e，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x(ex﹣e﹣x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
3．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是( )
4．若函数f(x)＝﹣x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( )
A．[﹣1，＋∞) B．(﹣∞，﹣1]
C．(﹣∞，﹣2] D．[﹣2，＋∞)
5．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有eq \f(x1fx1－x2fx2,x1－x2)>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
6．(多选)下列不等式成立的是( )
A．2ln eq \f(3,2)C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
7．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(﹣3,1)，则m＋n的值为________．
8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
9．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2﹣2aln x＋(a﹣2)x.
(1)当a＝﹣1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)﹣ax在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
10．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋a,ex)，a∈R.
(1)若f(x)在x＝1处的切线与直线y＝x﹣1垂直，求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
11．若函数h(x)＝ln x﹣eq \f(1,2)ax2﹣2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,16)，＋∞)) B．(﹣1，＋∞)
C．[﹣1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,16)，＋∞))
12．设函数f(x)＝cs x＋eq \f(1,2)x2，若a＝f( SKIPIF 1 < 0 )，b＝f(lg52)，c＝f(e0.2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．b13．函数f(x)＝2sin x﹣cs 2x，x∈[﹣π，0]的单调递增区间为________________．
14．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.若f(x)为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
15．设函数f(x)＝sin x＋ex﹣e﹣x﹣x，则满足f(x)＋f(5﹣3x)<0的x的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))
16．已知函数f(x)＝eq \f(aex,x).
(1)若a>0，求f(x)的单调区间；
(2)若对∀x1，x2∈[1,3]，x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<2恒成立，求实数a的取值范围．
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数