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2023-2024学年云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学高二上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式可得，，再由集合运算法则可得结果.
【详解】易知，，
所以，
故选：B.
2．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由复数为纯虚数求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选：C.
3．已知，，则（ ）
A．B．C．9D．19
【答案】B
【分析】由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果.
【详解】因为，，所以，
则.
故选：B
4．已知在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据递推关系式求得数列周期，进而求解出结论.
【详解】由题意，可知，,
所以，
，，
，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
，
，
故选：C.
5．已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，即可得出答案.
【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意，
则，则直线的斜率为，直线的斜率为，
所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，
得的倾斜角的取值范围为，
故选：B.
6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图1甲、乙所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为4，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意根据点到直线的距离公式、平方关系结合已知得，进一步结合离心率公式、平方关系即可求出，由此即可得解.
【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离，
，，，
，，
双曲线方程为：.
故选：D.
7．设数列满足且是前项和，且，则（ ）
A．2024B．2023C．1012D．1011
【答案】C
【分析】根据题意和等差数列的定义和前n项求和公式,，可得出也为等差数列,从而得出答案.
【详解】由题意，，，
则数列为等差数列，设公差为，，即，则，则，
则所以，（常数），则也为等差数列.
则数列的公差为.
所以
所以.
故选：C
8．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线方程得到纵坐标的韦达定理形式，然后利用焦半径公式表示出则可求解出，由此可求.
【详解】由抛物线方程可知，因为直线过抛物线的焦点，
当时，直线方程为，由解得，则不满足题意，
当时，联立消可得：，
，
设，，则，，
由抛物线的定义可得：，
因为，所以，所以，
故选：A.
二、多选题
9．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（ ）
A．2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C．2021年全国居民人均消费支出24100元
D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足
【答案】ACD
【分析】根据条形图以及扇形图，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由图可知，2017～2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，故A正确；
对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，故B错误；
对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，故C正确；
对于D，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，故D正确，
故选:ACD.
10．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若，分别是圆，上的动点，则
【答案】BC
【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与两圆半径之差和半径之和的关系确定两圆的位置关系，进而判断两圆公切线的条数，求出公切线方程、公共弦长以及距离的最大值即可.
【详解】由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，，故两圆相交，
所以与的公切线恰有2条，故A错误；
两圆方程相减可得与相交弦的方程为，故B正确；
所以到相交弦的距离为，
所以相交弦的弦长为，故C正确；
若，分别是圆，上的动点，
当，，，四点共线且，在，之间时，
，故D错误.
故选：BC.
11．已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．当为偶数时，
D．数列的前项和等于
【答案】ABC
【分析】分奇偶讨论即可得为奇数时及为偶数时的通项公式，可得B、C，运用为偶数时的通项公式可计算出，即可得A，用裂项相消法求的前项和可得D.
【详解】由,可得，，
当为奇数且时，，
其中符合，所以当为奇数时，，故B正确；
当为偶数时，，
其中符合，所以当为偶数时，，
则，故A正确，C正确；
又，
，
所以数列的前项和为：
，故D错误.
故选：ABC.
12．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（ ）
A．椭圆的“蒙日圆”的面积为
B．对直线上任意点，都有
C．椭圆的标准方程为
D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3
【答案】AD
【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果.
【详解】已知椭圆的离心率为，
，为的左、右焦点且，故，
所以，，
故椭圆方程为：，故C错误；
对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为，
如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点，
易知点，且点在蒙日圆上，
所以故蒙日圆的面积为，故A正确；
对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程，
由得，
则，
所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误；
对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2，
连接，设，则，
，
设，，
所以，
又（当且仅当时取等号），
所以，即，
所以，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13．若函数的最小值为，则常数的值为 .
【答案】/
【分析】根据条件，利用辅助角公式得到，再由题得到，即可求出结果.
【详解】，
由函数的最小值为，得，所以，
解得，又，得到，
故答案为：.
14．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 .
【答案】
【分析】过作，垂足为，根据抛物线定义以及正弦定理可求得，可得为等腰直角三角形，所以.
【详解】过作，垂足为，如下图所示：
易知，，
在中，，由正弦定理可得，
即，
则在中，可得，则，
所以，即.
可得为等腰直角三角形，又易知，可得.
故答案为：
15．已知等比数列，记其前项乘积.若，，则的前5项和为 .
【答案】11
【分析】根据等比数列定义解方程组即可求得，再由前项和公式即可求出结果.
【详解】由题意可知，
设等比数列的公比为，
则由可得，又；
两式相比可得，即，
将代入，可得，解得，
则，
所以等比数列的前5项和为.
故答案为：11
16．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，则双曲线的方程为 ；设，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为
【答案】 8
【分析】首先求出椭圆的离心率与，即可得到双曲线的离心率与，从而求出、，即可得到双曲线方程，由双曲线的定义可得，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】椭圆的离心率，而，
由条件知双曲线的离心率①，
双曲线的半焦距②，又③，联立①②③，解得，，
所以有双曲线的方程为；
若，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，可得，
即，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为8.
故答案为：；
四、解答题
17．在中，，，分别为内角，，所对的边，.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用三角函数公式求角A；
（2）利用余弦定理得到b、c关系式，再利用均值不等式求bc的最大值，进而求面积的最大值.
【详解】（1）由条件及正弦定理得，
因为，
所以，
故，因为，所以，
故，因为，所以.
（2）由余弦定理得，即，
故，
由基本不等式得，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故.
18．已知圆，直线.
(1)求直线恒过定点的坐标；
(2)求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
【答案】(1)直线恒过定点
(2)，4
【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点；
（2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值及弦长.
【详解】（1）直线，
可化为，
联立解得故直线恒过定点.
（2）由，配方得，
所以圆心，半径为，直线恒过定点，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短.
因为直线的斜率为，
故直线的斜率为，解得.
此时圆心到直线的距离为，
所以最短弦长为.
19．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取计算得到，利用得到，得到通项公式.
（2）确定，设，，相减计算得到答案.
【详解】（1）当时，由，得；
当时，因为，所以，
则，可得.
故是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2），则，
两边都乘以，得，
以上两个式子相减，
可得：，
故.
20．如图，在三棱锥中，平面，点，分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为.
(1)求的长；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用线面垂直性质可以为坐标原点建立空间直角坐标系，设并利用空间向量求得，即可求得的长为；
（2）求出平面的一个法向量为，由线面角的向量求法即可得直线与平面所成角的正弦值为.
【详解】（1）因为平面，平面，所以；
又，所以，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图3所示的空间直角坐标系，
因为点，分别是和的中点，，所以，
设，
则，，，，，，
可得，
因为直线与直线所成的角为，所以，
即，解得，
所以的长为.
（2）由（1）知，，，，
设平面的法向量为，则，
解得，令，得，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
【答案】(1)，焦点为
(2).
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程；
（2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可.
【详解】（1）易知抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，所以，解得，
所以抛物线方程为，焦点为.
（2）由（1）知抛物线的焦点，易知直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，
联立消去并整理得，
此时，由韦达定理得，，
所以，
又，所以，，
因为，所以，
即，
可得，解得，
所以直线的方程为，即.
22．已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线经过点，交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）利用韦达定理及面积公式计算即可.
【详解】（1）由题意得，即①.
当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，
所以，即②.
联立①②，得，，故的方程为.
（2）由（1）可得，，如图
由题意设直线，，.
联立得，
则，
，，所以.
直线的方程为，
令，得，即.同理可得.
故
.
【点睛】本题第二问的关键是化积为和，得到，最后得到面积比值表达式，再进行代换即可得到面积比值.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式可得，，再由集合运算法则可得结果.
【详解】易知，，
所以，
故选：B.
2．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由复数为纯虚数求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选：C.
3．已知，，则（ ）
A．B．C．9D．19
【答案】B
【分析】由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果.
【详解】因为，，所以，
则.
故选：B
4．已知在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据递推关系式求得数列周期，进而求解出结论.
【详解】由题意，可知，,
所以，
，，
，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
，
，
故选：C.
5．已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，即可得出答案.
【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意，
则，则直线的斜率为，直线的斜率为，
所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，
得的倾斜角的取值范围为，
故选：B.
6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图1甲、乙所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为4，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意根据点到直线的距离公式、平方关系结合已知得，进一步结合离心率公式、平方关系即可求出，由此即可得解.
【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离，
，，，
，，
双曲线方程为：.
故选：D.
7．设数列满足且是前项和，且，则（ ）
A．2024B．2023C．1012D．1011
【答案】C
【分析】根据题意和等差数列的定义和前n项求和公式,，可得出也为等差数列,从而得出答案.
【详解】由题意，，，
则数列为等差数列，设公差为，，即，则，则，
则所以，（常数），则也为等差数列.
则数列的公差为.
所以
所以.
故选：C
8．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线方程得到纵坐标的韦达定理形式，然后利用焦半径公式表示出则可求解出，由此可求.
【详解】由抛物线方程可知，因为直线过抛物线的焦点，
当时，直线方程为，由解得，则不满足题意，
当时，联立消可得：，
，
设，，则，，
由抛物线的定义可得：，
因为，所以，所以，
故选：A.
二、多选题
9．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（ ）
A．2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C．2021年全国居民人均消费支出24100元
D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足
【答案】ACD
【分析】根据条形图以及扇形图，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由图可知，2017～2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，故A正确；
对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，故B错误；
对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，故C正确；
对于D，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，故D正确，
故选:ACD.
10．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若，分别是圆，上的动点，则
【答案】BC
【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与两圆半径之差和半径之和的关系确定两圆的位置关系，进而判断两圆公切线的条数，求出公切线方程、公共弦长以及距离的最大值即可.
【详解】由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，，故两圆相交，
所以与的公切线恰有2条，故A错误；
两圆方程相减可得与相交弦的方程为，故B正确；
所以到相交弦的距离为，
所以相交弦的弦长为，故C正确；
若，分别是圆，上的动点，
当，，，四点共线且，在，之间时，
，故D错误.
故选：BC.
11．已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．当为偶数时，
D．数列的前项和等于
【答案】ABC
【分析】分奇偶讨论即可得为奇数时及为偶数时的通项公式，可得B、C，运用为偶数时的通项公式可计算出，即可得A，用裂项相消法求的前项和可得D.
【详解】由,可得，，
当为奇数且时，，
其中符合，所以当为奇数时，，故B正确；
当为偶数时，，
其中符合，所以当为偶数时，，
则，故A正确，C正确；
又，
，
所以数列的前项和为：
，故D错误.
故选：ABC.
12．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（ ）
A．椭圆的“蒙日圆”的面积为
B．对直线上任意点，都有
C．椭圆的标准方程为
D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3
【答案】AD
【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果.
【详解】已知椭圆的离心率为，
，为的左、右焦点且，故，
所以，，
故椭圆方程为：，故C错误；
对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为，
如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点，
易知点，且点在蒙日圆上，
所以故蒙日圆的面积为，故A正确；
对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程，
由得，
则，
所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误；
对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2，
连接，设，则，
，
设，，
所以，
又（当且仅当时取等号），
所以，即，
所以，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13．若函数的最小值为，则常数的值为 .
【答案】/
【分析】根据条件，利用辅助角公式得到，再由题得到，即可求出结果.
【详解】，
由函数的最小值为，得，所以，
解得，又，得到，
故答案为：.
14．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 .
【答案】
【分析】过作，垂足为，根据抛物线定义以及正弦定理可求得，可得为等腰直角三角形，所以.
【详解】过作，垂足为，如下图所示：
易知，，
在中，，由正弦定理可得，
即，
则在中，可得，则，
所以，即.
可得为等腰直角三角形，又易知，可得.
故答案为：
15．已知等比数列，记其前项乘积.若，，则的前5项和为 .
【答案】11
【分析】根据等比数列定义解方程组即可求得，再由前项和公式即可求出结果.
【详解】由题意可知，
设等比数列的公比为，
则由可得，又；
两式相比可得，即，
将代入，可得，解得，
则，
所以等比数列的前5项和为.
故答案为：11
16．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，则双曲线的方程为 ；设，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为
【答案】 8
【分析】首先求出椭圆的离心率与，即可得到双曲线的离心率与，从而求出、，即可得到双曲线方程，由双曲线的定义可得，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】椭圆的离心率，而，
由条件知双曲线的离心率①，
双曲线的半焦距②，又③，联立①②③，解得，，
所以有双曲线的方程为；
若，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，可得，
即，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为8.
故答案为：；
四、解答题
17．在中，，，分别为内角，，所对的边，.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用三角函数公式求角A；
（2）利用余弦定理得到b、c关系式，再利用均值不等式求bc的最大值，进而求面积的最大值.
【详解】（1）由条件及正弦定理得，
因为，
所以，
故，因为，所以，
故，因为，所以.
（2）由余弦定理得，即，
故，
由基本不等式得，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故.
18．已知圆，直线.
(1)求直线恒过定点的坐标；
(2)求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
【答案】(1)直线恒过定点
(2)，4
【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点；
（2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值及弦长.
【详解】（1）直线，
可化为，
联立解得故直线恒过定点.
（2）由，配方得，
所以圆心，半径为，直线恒过定点，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短.
因为直线的斜率为，
故直线的斜率为，解得.
此时圆心到直线的距离为，
所以最短弦长为.
19．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取计算得到，利用得到，得到通项公式.
（2）确定，设，，相减计算得到答案.
【详解】（1）当时，由，得；
当时，因为，所以，
则，可得.
故是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2），则，
两边都乘以，得，
以上两个式子相减，
可得：，
故.
20．如图，在三棱锥中，平面，点，分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为.
(1)求的长；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用线面垂直性质可以为坐标原点建立空间直角坐标系，设并利用空间向量求得，即可求得的长为；
（2）求出平面的一个法向量为，由线面角的向量求法即可得直线与平面所成角的正弦值为.
【详解】（1）因为平面，平面，所以；
又，所以，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图3所示的空间直角坐标系，
因为点，分别是和的中点，，所以，
设，
则，，，，，，
可得，
因为直线与直线所成的角为，所以，
即，解得，
所以的长为.
（2）由（1）知，，，，
设平面的法向量为，则，
解得，令，得，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
【答案】(1)，焦点为
(2).
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程；
（2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可.
【详解】（1）易知抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，所以，解得，
所以抛物线方程为，焦点为.
（2）由（1）知抛物线的焦点，易知直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，
联立消去并整理得，
此时，由韦达定理得，，
所以，
又，所以，，
因为，所以，
即，
可得，解得，
所以直线的方程为，即.
22．已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线经过点，交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）利用韦达定理及面积公式计算即可.
【详解】（1）由题意得，即①.
当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，
所以，即②.
联立①②，得，，故的方程为.
（2）由（1）可得，，如图
由题意设直线，，.
联立得，
则，
，，所以.
直线的方程为，
令，得，即.同理可得.
故
.
【点睛】本题第二问的关键是化积为和，得到，最后得到面积比值表达式，再进行代换即可得到面积比值.
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