2023-2024学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示的几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时(若指针停在边界处，则重新转动转盘)，指针落在红色区域内的概率是
( )
A. 16B. 15C. 13D. 12
3.如图，在梯形ABCD中，AC交BD于点O，已知AD//BC，AD=2，BC=4，S△AOD=1，则梯形ABCD的面积为( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
4.已知点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(−3,y3)都在反比例函数y=−m2−1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y1>y2B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y2>y3>y1
5.已知关于x的一元二次方程3x2−2xy−y2=0，则xy=( )
A. 1B. 1或13C. 1或−13D. −13
6.下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是( )
A. 长度为2 2的线段B. 边长为2的等边三角形
C. 斜边为2的直角三角形D. 面积为4的菱形
7.有大小、形状、颜色完全相同的3个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3中的一个，将这3个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
8.如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为(−3,2)，则点C的坐标为( )
A. (3,−2)
B. (6,−4)
C. (4,−6)
D. (6,4)
9.如图，▱ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥DE，垂足为G，DG=32 3cm，则EF的长为( )
A. 2cmB. 3cmC. 1cmD. 23 3cm
10.如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，AB=2 3，AD=4，则EC的长为( )
A. 2 33
B. 1
C. 32
D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为______ ．
12.设α、β是方程x2+2020x−2=0的两根，则(α2+2020α−1)(β2+2020β+2)=______．
13.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E.若CDBD=12，则BEAD的值为______．
14.将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法(如：5，2，1和1，5，2)，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是______．
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
若一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．
17.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−3x+a2−4a=0的一根为4．
(1)求3a2−12a+5的值；
(2)求方程的另一根．
18.(本小题8分)
如图，路灯(P点)距地面8米，小明在距路灯的底部(O点)20米的A点时，测得此时他的影长AM为5米．
(1)求小明的身高；
(2)小明沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
19.(本小题8分)
商场以每件200元的价格购进一批商品，以单价300元销售．预计每月可售出250件，该商场为尽可能减少库存，决定降价销售，根据市场调查，该商品单价每降低5元，可多售出25件，但最低售价应高于购进的价格；若该商场希望该商品每月获利28000元，则销售单价应定为多少元？每月可销售多少件？
20.(本小题8分)
一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(1)请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；
(2)求两次取出的小球标号相同的概率；
(3)求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
21.(本小题8分)
已知，如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4)、B(−4,n)，
(1)试确定这两个函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动.当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t(s)．
(1)如图(1)，当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)如图(2)，若点E为边AD上一点，当AE=3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：从正面看，共有四列，小正方形的数量分别为：2，1，1，1．
所以，B正确．
故选：B．
根据从正面看到的列数和每列小正方形的数量进行解答即可．
本题主要考查了简单组合体的三视图，题目较为简单，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：指针落在红色区域内的概率是120360=13，
故选：C．
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．
3.【答案】A
【解析】解：∵AD/​/BC，
∴OA：OC=OD：OB=AD：BC=2：4=1：2，
∴S△AOB=2S△AOD，S△COD=2S△AOD，S△BOC=2S△AOB，
∴S△AOB=S△COD=2，S△BOC=4，
∴S梯形ABCD=1+2+2+4=9．
故选：A．
根据平行线分线段成比例，求出OD：OB和OA：OC，再根据等高三角形的面积之比等于底边长之比依次求出△AOB，△COD，△BOC的面积，四阿哥三角形的面积和就是梯形的面积．
本题主要考查了平行线分线段成比例，题目较为简单，合理运用等高三角形面积与底边关系是本题解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=−m2−1x中k=−m2−1<0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y的值随x的增大而增大，
∵2>0，−3<−1<0，
∴B(2,y2)位于第四象限，点A(−1,y1)，C(−3,y3)位于第二象限，
∴y1>y3>y2．
故选：B．
先判断出反比例函数图象所在的象限，再由各点横坐标的大小判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵3x2−2xy−y2=0
∴3(xy)2−2xy−1=0，
解得：xy=1或−13．
故选：B．
方程两边同时除以y2，构造以xy为未知数的一元二次方程，据此求解．
本题主要考查了一元二次方程的解，也可以用因式分解法求出x和y的关系，再求解xy．
6.【答案】D
【解析】解：∵正方形的边长为2，
∴对角线长为2 2，
∴长度为2 2的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意；
边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意；
斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；
而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，
故选：D．
先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．
本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，掌握相关图形的特征是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中和为偶数的有2种结果，
所以两个球上的数字之和为偶数的概率为26=13，
故选：C．
列举出所有可能，进而求出和为偶数的概率．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，
∴△ABO与△DCO为1：2，
∵点B的坐标为(−3,2)，
∴点C的坐标为(6,−4)，
故选：B．
利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是(x,y)，则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是(kx,ky)或(−kx,−ky)．
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，
∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，
∴∠CDE=∠CED，
∵AB=3cm，AD=6cm，
∴DC=EC=3cm，
∵CG⊥DE，DG=3 32cm，
∴EG=3 32cm，
∴DE=3 3cm，
∵AD/​/BC，
∴△AFD∽△CFE，
∴ADEC=DFEF，则63=3 3−EFEF，
解得：EF= 3．
故选：B．
利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠CDE=∠CED，进而求出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出EF的长．
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△AFD∽△CFE是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：由矩形、翻折变换的性质可知，AD=AF=4，DE=FE，
在Rt△ABF中，
BF= AF2+AB2=2，
∴FC=BC−BF=4−2=2，
设EC=x，则DE=FD=2 3−x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
FC2+EC2=EF2，
即22+x2=(2 3−x)2，
解得x=2 33，
即EC=2 33，
故选：A．
根据矩形、翻折变换的性质以及勾股定理求出FC，再在Rt△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
本题考查矩形、翻折变换的性质以及勾股定理，掌握翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：Δ=16−4m=0，
∴m=4．
故答案为：4．
一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答．
本题主要考查了根的判别式，属于基础题．
12.【答案】4
【解析】届：∵α、β是方程x2+2020x−2=0的两根，
∴α2+2020α−2=0
∴α2+2020α=2
β2+2020β−2=0
β2+2020β=2
∴(α2+2020α−1)(β2+2020β+2)
(2−1)(2+2)=4．
故答案为4．
根据α、β是方程x2+2020x−2=0的两根，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是掌握一元二次方程的解的概念．
13.【答案】56
【解析】解：∵CDBD=12，
∴可以假设CD=k，BD=2k，则CB=CA=3k，
∵∠C=90°，
∴AD= AC2+CD2= (3k)2+k2= 10k，
∵BE⊥AE，
∴∠E=∠C=90°，
∵∠CDA=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴ACBE=ADBD，
∴3kBE= 10k2k，
∴BE=6 105k，
∴BEAD=6 105k 10k=65，
故答案为65．
设CD=k，BD=2k，则CB=CA=3k，想办法用k表示AD，BE即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题．
14.【答案】15
【解析】解：因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，
共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；1，1，6；
因为1，2，5两边之和小于第三边，
所以错误；
因为1，3，4两边之和等于第三边，
所以错误；
因为2，3，3两边之和大于于第三边，
所以正确；
因为4，2，2两边之和等于第三边，
所以错误；
因为1，1，6两边之和小于第三边，
所以错误；
所以其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况，
所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是15；
故答案为：15．
先求出将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有几种情况，再找出其中能构成三角形的情况，最后根据概率公式计算即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
15.【答案】245
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC=OA，OB=OD，
∵AC=6，DB=8，
∴OC=3，OB=4，
∴BC= OB2+OC2= 9+16=5，
∵S菱形ABCD=12×AC×BD=BC×AE，
∴AE=6×82×5=245，
故答案为：245．
根据菱形的性质和勾股定理得出BC，进而利用面积公式解答即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
16.【答案】解：图形如图所示：

【解析】本题考查作图−从正面看，从左面看，从上面看，解题的关键是理解从正面看，从左面看，从上面看的定义，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)将x=4代入方程x2−3x+a2−4a=0，得：16−12+a2−4a=0，
∴a2−4a=−4，
∴3a2−12a+5=3(a2−4a)+5=−7．
(2)设方程的另一根为m，
由根与系数的关系，得：m+4=3，
解得：m=−1．
∴方程的另一根为−1．
【解析】(1)代入x=4可求出a2−4a=−4，将其代入3a2−12a+5=3(a2−4a)+5中即可求出结论；
(2)设方程的另一根为m，由两根之和等于−ba，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：(1)代入x=4求出a2−4a=−4；(2)牢记“两根之和等于−ba”.
18.【答案】解：(1)∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP，
∴MAMO=ACOP，即520+5=AC8，
解得，AC=1.6米．
即小明的身高为1.6米．
(2)∵∠NBD=∠NOP=90°，∠BND=∠ONP，
∴△NBD∽△NOP，
∴BN20−14+BN=1.68，
解得，NB=1.5米，
∴5−1.5=3.5米，
∴小明的身影变短了3.5米．
【解析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
(1)根据同一时刻高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
(2)再次利用相似，两次影长差即为摄影变化的长度．
19.【答案】解：设售价降低x个5元，可得：
(300−200−5x)(250+25x)=28000．
解得：x1=4，x2=6．
当x=4时，300−5×4=280(元)>200元；
当x=6时，300−5×6=270(元)>200元；
因为要减少库存，
所以x=6，售价为：300−5×6=270(元)．
销售件数为：250+6×25=400(件)．
答：售价应定为270元，每月销售400件．
【解析】设售价降低x个5元，由每件利润×数量=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：每件利润×数量=利润．
20.【答案】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果数；
(2)由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个，
∴两次取出的小球标号相同的概率为416=14；
(3)如图：
共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为316．
【解析】(1)先画树状图展示所有16种等可能的结果数即可；
(2)两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；
(2)由(1)可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx的图象过点A(1,4)，
∴4=k1，即k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x．
∵反比例函数y=4x的图象过点B(−4,n)，
∴n=4−4=−1，
∴B(−4,−1)．
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点A(1,4)和点B(−4,−1)，
∴k+b=4−4k+b=−1，
解得k=1b=3．
∴一次函数的解析式为：y=x+3．
(2)设直线与y轴的交点为D，
∵令x=0，则y=3，
∴D(0,3)，
即DO=3，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD
=12OD⋅1+12OD⋅4
=152．
(3)由图象可知：当x<−4或0【解析】(1)把A的坐标代入能求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入求出一次函数的解析式；
(2)设直线与y轴的交点为D，求出D的坐标，分别求出△AOD和△BOD的面积，即可求出答案．
(3)根据函数的图象即可得出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合应用
22.【答案】解：由题意可得DP=t，BQ=2t，则AP=11−t，
(1)若四边形ABQP是矩形，则AP=BQ，
∴11−t=2t，
解得t=113，
故当t=113时，四边形ABQP是矩形；
(2)由题意得PE=8−t，CQ=11−2t，CP2=CD2+DP2=16+t2，
若四边形EQCP为菱形，则PE=CQ=CP，
∴t2+16=(8−t)2=(11−2t)2，
解得t=3，
故当t=3时，四边形EQCP为菱形．
【解析】(1)根据矩形的性质可得AP=CQ，进而列方程，解方程可求解；
(2)根据菱形的性质可得PE=CQ=CP，进而列方程，解方程可求解．
本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，一元一次方程的应用，属于存在型试题．