2023-2024学年河南省郑州市郑外集团五校联考高一（上）月考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市郑外集团五校联考高一（上）月考数学试卷（12月份）(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|y=lnx}，B={y|y=x2+1}，则A∩∁RB=( )
A. [0,1]B. (0,1)C. (−∞,1)D. [1,+∞)
2.命题“∀x∈(1,2)，x2+2x>3”的否定是( )
A. ∃x∈(1,2)，x2+2x>3B. ∃x∉(1,2)，x2+2x≤3
C. ∃x∈(1,2)，x2+2x≤3D. ∀x∈(1,2)，x2+2x≤3
3.已知扇形的周长为20cm，当扇形的面积最大值时，扇形圆心角为( )
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3
4.已知函数f(2x−1)的定义域为(−1,9)，则函数f(3x+1)的定义域为( )
A. (−13,43)B. (−43,163)C. (−23,83)D. (−2,28)
5.在平面直角坐标系中，点P(tan2022°,sin2022°)位于第象限．( )
A. 一B. 二C. 三D. 四
6.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.已知0.4771A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093
7.定义在区间(0,π2)上的函数y=3csx与y=8tanx的图象交点为P(x0,y0)，则sinx0的值为( )
A. 13B. 33C. 23D. 2 23
8.函数y=[x]为数学家高斯创造的取整函数.[x]表示不超过x的最大整数，如[−3.1]=−4，[2.1]=2，已知函数f(x)=xx2+3x+4+89，则函数y=[f(x)]的值域是( )
A. {−1,1,2}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a，b，c∈R，则下列命题中为真命题的是( )
A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若|a|>|b|，则a2>b2
C. 若(a−b)c2>0，则a>bD. 若1b>1|a|，则a>b
10.已知正数a，b满足3ab=a+3b，则( )
A. 3a+b的最小值为163B. ab的最小值为43
C. a2+9b2的最小值为8D. b>12
11.设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期为π，则ω=2
B. 若ω=1，则f(x)的图象关于点(2π3,0)对称
C. 若f(x)在区间[0,π2]上单调递增，则0<ω<43
D. 若f(x)在区间[0,2π]上恰有2个零点，则712≤ω<1312
12.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，对∀x，y∈(0,+∞)都有f(x⋅y)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0，且f(13)=−1，下列说法正确的是( )
A. f(1)=0
B. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
C. f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2022)+f(12022)+f(2023)+f(12023)=0
D. 满足不等式f(x)−f(x−2)≥2的x的取值范围为(2,94]
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.函数y= −x2+3x−2的递增区间为______ ．
14.函数f(x)=sin(12x+π12)的图象的对称轴中，离y轴最近的对称轴方程为x= ______ ．
15.已知函数y=lg(ax2+ax+1)，若函数的定义域是R，则实数a的取值范围是______ ．
16.已知函数f(x)=|lg2(x−1)|,x>1,(x+1)2,x≤1,若关于x的方程f(x)=m有4个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知f(x)=sin(π2−x)cs(3π2+x)tan(π−x)cs(3π−x)sin(π+x)．
(1)化简函数f(x)；
(2)若f(α)=3，求sinα+2csα2sinα−csα和sinαcsα的值．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=ax2−(2a+3)x+6．
(1)当a=1时，求函数f(x)的零点；
(2)当a≥0时，求不等式f(x)>0的的解集．
19.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π3)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[m,0]上的值域为[−2, 3]，求m的取值范围．
20.(本小题10分)
已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)−f(x)=0，且f(x)=lg2(2x+1)+kx，g(x)=f(x)+x．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式g(4x−a⋅2x+1)>g(−3)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设h(x)=x2−2mx+1，若对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,3]，使得g(x1)≥h(x2)，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A=(0,+∞)，B=[1,+∞)，
∴∁RB=(−∞,1)，
∴A∩∁RB=(0,1)，
故选：B．
先化简，再运算即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈(1,2)，x2+2x≤3．
故选：C．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，
因为扇形的周长为20cm，
则有l+2r=20，
所以扇形的面积S=12⋅l⋅r=14⋅l⋅2r≤14(l+2r2)2=25，
当且仅当l=2r，即圆心角α=lr=2时取等号，
所以当扇形的面积最大值时，扇形圆心角为2．
故选：B．
设扇形的弧长为l，半径为r，利用扇形的周长得到l+2r=20，由扇形的面积公式以及基本不等式分析求解即可．
本题考查了扇形面积最值的应用，基本不等式求解最值的应用，解题的关键是对扇形的面积进行变形，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数f(2x−1)的定义域为(−1,9)，所以2x−1∈(−3,17)，
所以函数f(x)的定义域为(−3,17)．
对于函数f(3x+1)，由3x+1∈(−3,17)，得x∈(−43,163)，
所以函数f(3x+1)的定义域为(−43,163)．
故选：B．
由题意，根据函数的定义域的定义，先求出2x−1的范围，可得3x−1的范围，从而求出x的范围．
本题主要考查抽象函数的定义域，函数的定义域的定义，考查数学抽象与数学运算的核心素养，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由于tan2022°=tan(2160°−138°)=−tan138°>0，sin2022°=sin(2160°−138°)=−sin138°<0，
故点P(tan2022°,sin2022°)位于第四象限．
故选：D．
直接利用三角函数的诱导公式求出三角函数值的符号，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对数的运算，涉及到对数的性质、运算法则，考查化归与转化思想，是基础题．
根据条件可得M≈3361，N≈1080，由对数性质有3=10lg3≈100.477，从而得到M≈3361≈10172.2，由此能求出结果．
【解答】
解：∵围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，
可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．
∴M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有3=10lg3≈100.477，
∴M≈3361≈(100.477)361≈10172.2，
∴M N≈10172.21080=1092.2≈1093，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：依题意x0∈(0,π2)，y0=3csx0,y0=8tanx0=8sinx0csx0，
所以3csx0=8sinx0csx0，即3cs2x0=8sinx0，可得3(1−sin2x0)=8sinx0，
即3sin2x0+8sinx0−3=0，得(sinx0+3)(3sinx0−1)=0，其中sinx0+3>0，所以3sinx0−1=0,sinx0=13．
故选：A．
根据题意，将P点坐标代入两个函数的解析式，结合同角三角函数的基本关系式求得sinx0，即可得到本题的答案．
本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数的基本关系及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：当x=0时，f(x)=89，则f(x)=0，此时函数的值域{0}；
若x≠0，则f(x)=xx2+3x+4+89=1x+4x+3+89，
当x>0时，y=x+4x+3≥2 x⋅4x+3=7，当且仅当x=2时等号成立；
则0<1x+4x+3≤17，所以89当x<0时，y=−(−x−4x)+3≤−2 −x⋅(−4x)+3=−1，所以−1≤1y<0，
当且仅当x=−2时等号成立，则−19≤1y+89<89，即f(x)∈[−19,89)，
则此时函数y=[f(x)]的值域为{−1,0}．
综上所述，函数y=[f(x)]的值域是{−1,0,1}．
故选：B．
分x=0，x>0，x<0分别求出函数的值域，进而求出整个函数的值域．
本题考查求分段函数的值域及均值不等式的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，取a=0>b=−1，c=1>d=0，但ac=0，bd=0，故A错误；
对于B，若|a|>|b|，对不等式两边同时平方则a2>b2，故B正确；
对于C，若(a−b)c2>0，则a−b>0，所以a>b，故C正确；
对于D，若1b>1|a|，取b=1，a=−2，则a故选：BC．
取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为3ab=a+3b，即13b+1a=1，
所以3a+b=(3a+b)(1a+13b)=103+ba+ab≥103+2=163，当且仅当a=b=43时取等号，A正确；
对于B，由基本不等式得，3ab=a+3b≥2 3ab，
所以ab≥43，当且仅当a=3b=2时取等号，故B正确；
对于C，即a2+9b2≥6ab≥8，当且仅当a=3b=2时取等号，故C正确；
对于D，由3ab=a+3b可得a=3b3b−1>0，即b>13，故D错误．
故选：ABC．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A，若f(x)的最小正周期为π，则2πω=π，解得ω=2，故A正确；
对于B，当ω=1，则f(x)=sin(x−π6)，当x=2π3时，f(x)=1，故B错误；
对于C，x∈[0,π2]时，ωx−π6∈[−π6,πω2−π6]，
因为f(x)在[0,π2]上单调递增，
则−π6<πω2−π6≤π2，解得0<ω≤43，故C错误；
对于D，x∈[0,2π]时，ωx−π6∈[−π6,2πω−π6]，
若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，
则π≤2πω−π6<2π，
解得712≤ω<1312，故D正确．
故选：AD．
直接利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x⋅y)=f(x)+f(y)，
令x=y=1，可得f(1)=2f(1)，解得f(1)=0，所以A正确；
令y=1x，可得f(1)=f(x)+f(1x)，则f(1x)=−f(x)，
当x>1时，f(x)>0，任取0则f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(1x1)=f(x2x1)>0，所以f(x2)>f(x1)，
可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增函数，所以B不正确；
由f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+...+f(2022)+f(12022)+f(2023)+f(12023)
=f(2×12)+f(3×13)+⋯+f(2023×12023)=f(1)+f(1)+⋯+f(1)=0，所以C正确；
由f(13)=−1，可得f(3)=−f(13)=1，则f(9)=f(3)+f(3)=2，
所以f(x)−f(x−2)≥2等价于f(x)+f(1x−2)≥f(9)，即f(xx−2)≥f(9)，
因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增函数，可得x>0xx−2≥9x−2>0，解得2即不等式f(x)−f(x−2)≥2的解集为(2,94]，所以D正确．
故选：ACD．
令x=y=1求出f(1)的值，可判断A；令y=1x可得f(1x)=−f(x)，利用函数单调性的定义证明f(x)单调性，可判断B；由f(x⋅y)=f(x)+f(y)以及f(1)=0，可判断C；通过计算可得f(9)=2，原不等式等价于f(xx−2)≥f(9)，利用单调性求出x的取值范围，可判断D．
本题考查函数的单调性的判定和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】[1,32]
【解析】解：根据题意，函数y= −x2+3x−2，
设t=−x2+3x−2，y= t，
必有t=−x2+3x−2≥0，解可得1≤x≤2，即函数的定义域为[1,2]，
t=−x2+3x−2，在区间[1,32]上为增函数，在区间[[32,2]上为减函数，
故函数y= −x2+3x−2的递增区间为[1,32].
故答案为：[1,32].
根据题意，设t=−x2+3x−2，y= t，先分析函数的定义域，结合二次函数的性质分析t的单调性，进而分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及二次函数的性质，属于基础题．
14.【答案】5π6
【解析】解：令12x+π12=kπ+π2(k∈Z)，得x=2kπ+5π6(k∈Z)，
所以其中离y轴最近的对称轴为x=5π6．
故答案为：5π6．
利用正弦函数的对称性即可求解．
本题考查了正弦函数的性质，属于基础题．
15.【答案】[0,4)
【解析】解：f(x)的定义域为R，即ax2+ax+1>0恒成立，
当a=0时，ax2+ax+1=1>0，满足条件；
当a≠0时，要使f(x)的定义域为R，则需要满足a>0Δ=a2−4a<0，
解得0综上，a∈[0,4)．
故答案为：[0,4)．
f(x)的定义域为R，即ax2+ax+1>0恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查对数函数的性质和应用，是中档题．
16.【答案】(2,25716]
【解析】解：由f(x)的解析式作出f(x)的图象，如图所示：
方程f(x)=m有4个不等实数根等价于y=f(x)的图象与直线y=m有4个不同的公共点，
则0则由图可知，x1+x2=−2，1716≤x3<2所以f(x3)=−lg2(x3−1)，f(x4)=lg2(x4−1)，
由−lg2(x3−1)=lg2(x4−1)，得1x3−1=x4−1，
所以x1+x2+x3+x4=−2+x3+x4=(x3−1)+(x4−1)=1x4−1+x4−1，
设t=x4−1(1根据对勾函数单调性知g(t)=1t+t在区间(1,16]上单调递增，
所以g(t)∈(2,25716]，
即x1+x2+x3+x4的取值范围是(2,25716].
故答案为：(2,25716].
画出函数图象，根据方程的根的个数转化为y=f(x)的图象与直线y=m有4个不同的公共点，数形结合求得m范围，以及x1，x2，x3，x4之间的关系及对应范围，即可求解．
本题考查了对数函数、二次函数的性质及转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f(x)=sin(π2−x)cs(3π2+x)tan(π−x)cs(3π−x)sin(π+x)=csxsinx(−tanx)(−csx)(−sinx)=−tanx．
(2)因为f(α)=−tanα=3，
所以tanα=−3，
所以sinα+2csα2sinα−csα=tanα+22tanα−1=−3+22×(−3)−1=17；
sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=−3(−3)2+1=−310．
【解析】(1)由三角函数的诱导公式化简得出；
(2)由三角函数的诱导公式化简再计算得出．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−5x+6
令f(x)=x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0，
得x=2或x=3，
所以f(x)的零点为2或3．
(2)当a=0时，则f(x)=−3x+6>0，得x<2，
当a>0时，f(x)=a(x−3a)(x−2)，
当3a>2，即00的解为x<2或x>3a；
当3a=2即a=32时，f(x)>0的解为x≠2；
当3a<2即a>32时，f(x)>0的解为x<3a或x>2；
综上所述，当a=0时，f(x)>0的解集为|x|x<2}；
当3a>2，即00的解集为{x|x<2或x>3a]；
当a=32时，f(x)>0的解集为[x|x≠2}；
当3a<2，即a>32时，f(x)>0的解集为{x|x<3a或x>2}．
【解析】(1)把a=1代入函数解析式，即可求解函数零点；
(2)结合已知不等式对a进行分类讨论，然后结合一次及二次不等式的求法即可求解．
本题主要考查了函数零点的求解及含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z．
故f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ],k∈Z．
(2)因为x∈[m,0]，所以2x+π3∈[2m+π3,π3]．
画出y=2sinx在[−2π,π]的图象如图所示：

所以−4π3≤2m+π3≤−π2，解得−5π6≤m≤−5π12．
故m的取值范围为[−5π6,−5π12]．
【解析】(1)令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z即可求得单调递增区间；
(2)由x∈[m,0]，得2x+π3∈[2m+π3,π3]，画出y=2sinx在[−2π,π]的图象，可得−4π3≤2m+π3≤−π2，从而可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知，lg2(2−x+1)−kx−lg2(2x+1)−kx=0，
即2kx=lg2(2−x+1)−lg2(2x+1)=lg22−x+12x+1=−x，
所以k=−12，
故f(x)=lg2(2x+1)−12x．
(2)由(1)知，g(x)=f(x)+x=lg2(2x+1)+12x，
所以g(x)在R上单调递增，
所以不等式g(4x−a⋅2x+1)>g(−3)恒成立等价于4x−a⋅2x+1>−3，
即a<4x+42x恒成立，
设t=2x，则t>0，4x+42x=t2+4t=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=1时取等号，
所以a<4，
所以实数a的取值范围是(−∞,4)．
(3)因为对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,3]，使得g(x1)≥h(x2)，
所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于h(x)在[1,3]上的最小值，
因为g(x)=lg2(2x+1)+12x在[0,3]上单调递增，
所以当x∈[0,3]时，g(x)min=g(0)=1，
h(x)=x2−2mx+1的对称轴为x=m，x∈[1,3]，
当m≤1时，h(x)在[1,3]上单调递增，
所以h(x)min=h(1)=2−2m≤1，解得m≥12，
所以12≤m≤1，
当1h(x)min=h(m)=1−m2≤1，解得m∈R，
所以1当m≥3时，h(x)在[1,3]上单调递减，
所以h(x)min=h(3)=10−6m≤1，解得m≥32，
所以m≥3，
综上可知，实数m的取值范围是[12,+∞)．
【解析】(1)由f(−x)−f(x)=0得lg2(2−x+1)−kx−lg2(2x+1)−kx=0，解得k，即可得出答案．
(2)由(1)知，g(x)=f(x)+x=lg2(2x+1)+12x，求导分析单调性，则不等式g(4x−a⋅2x+1)>g(−3)恒成立等价于4x−a⋅2x+1>−3，即a<4x+42x恒成立，即可得出答案．
(3)因为对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,3]，使得g(x1)≥h(x2)，只需g(x)在[0,3]上的最小值不小于h(x)在[1,3]上的最小值，即可得出答案．
本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．