2023-2024学年安徽省合肥市庐江县（八校联考）高一上学期第二次集体练习数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐江县（八校联考）高一上学期第二次集体练习数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合B=xx2−3x+2<0，若U=R，则∁UB=( )
A. x1≤x<2B. x1C. ⌀D. x|x≤1或x≥2
2.若函数y=ax−12(a>0，且a≠1)恒过定点P，则点P的坐标是( )
A. (1,32)B. (−1,0)C. (0,12)D. (2,72)
3.命题p：∀x>0，x3x−2>0，则命题p的否定是
( )
A. ∃x>0，x3x−2≤0B. ∃x≤0，x3x−2≤0
C. ∃x>0，x3x−2<0D. ∃x>0，0≤x≤2
4.设a>0，b>0，1a+4b=2，则使得a+b≥m恒成立，求m的取值范围是
( )
A. −∞,9B. 0,1C. −∞,92D. −∞,8
5.若a=23−1,b=lg23,c=120.3，则
( )
A. a6.f(x)与g(x)表示同一函数的是
( )
A. f(x)=x−1,g(x)=x2x−1B. f(x)=x2,g(x)=( x)4
C. f(x)=x2,g(x)=3x6D. f(x)=x0,g(x)=1
7.设函数f(x)={1+lg2(2−x),x<1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(lg212)=( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
8.已知f1−x1+x=1−x21+x2(x≠−1)，则f(x)的解析式为
( )
A. f(x)=x1+x2(x≠−1)B. f(x)=−2x1+x2(x≠−1)
C. f(x)=2x1+x2(x≠−1)D. f(x)=−x1+x2(x≠−1)
9.下列运算不正确的是( )
A. 4(3−π)4=π−3B. e2x=(ex)2
C. 3(a−b)3=a−bD. ab= a⋅ b
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.下列运算法则正确的是( )
A. lga3b2=23lgabB. anmn=am
C. lgab=lnblna(b>0,a>0且a≠1)D. am+n=am⋅ana≠0,m,n∈N+
11.已知函数fx=x2−2mx+2+m2,x≤mlg12x,x>m，其中0( )
A. 116B. 18C. 14D. 12
12.已知定义在0,+∞的函数fx满足：当x1≠x2时，恒有x2fx1−x1fx2x1−x2>0，则
( )
A. 3f4<4f3
B. 函数y=fxx在区间0,+∞为增函数
C. 函数y=xfx在区间0,+∞为增函数
D. f2x1+x2+fx1+2x2>3fx1+x2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数fx的定义域为−3,1，则函数f2x−1的定义域为________．
14.函数gx=ax−2x+b，若不等式gx>0的解集是−1,2，则a+b=____________．
15.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量 m3．
16.已知函数f(x)=(x−1)4+2|x−1|，则使得f(x)>f(2x)的x的取值范围是．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)0.064−13+ (−2)4−(π+e)0−932× 334；
(2)lg18+lg5−lg60lg227×lg2−lg8．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−4x=0}，B={x|ax2−2x+8=0}．
(1)是否存在实数a，使A∪B={0,2,4}?若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由;
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性，并加以证明；
(3)解不等式：lga(1−x)>lga(x+2)．
20.(本小题12分)
某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1700元．根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x元(60≤x≤300,x∈N*)，用y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入．(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值．
21.(本小题12分)
我们知道，a+b22≤a2+b22，当且仅当a=b时等号成立.即a，b的算术平均数的平方不大于a，b平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即(a+b+c3)2≤a2+b2+c23，当且仅当a=b=c时等号成立．
(1)证明：(a+b+c3)2≤a2+b2+c23，当且仅当a=b=c时等号成立．
(2)已知x>0，y>0，z>0，若不等式 x+ y+ z≤t x+y+z恒成立，利用(1)中的不等式，求实数t的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数fx+1=alg3x+1，且f2=1．
(1)求fx的解析式；
(2)已知fx的定义域为2,+∞.若方程f4x+1−fk⋅2x+k=x有唯一实根，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】解不等式求得集合B，由此求得∁UB．
解：由x2−3x+2=x−1x−2<0，解得1所以B=x|1故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
由题意令幂指数等于零，求得x、y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标．
【解答】
解：对于函数y=ax−12(a>0，且a≠1)，令x=0，求得y=12，
可得它的图象恒过定点P(0,12)，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定，注意含有定义域的命题在判断时要将定义域考虑进去，属于基础题．
命题p：∀x>0，x3x−2>0等价于∀x>0，x<0或x>2，由含有量词的命题的否定可直接判断．
解：命题p中，由x3x−2>0可解得x<0或x>2，
即命题p：∀x>0，x3x−2>0等价于∀x>0，x<0或x>2，
则命题p的否定是∃x>0，0≤x≤2．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查的是利用基本不等式求最值，考查了学生对基本知识的掌握情况．
由题意，利用基本不等式求出a+b的最小值即可．
解：因为a>0，b>0，1a+4b=2，
所以a+b=a2+b21a+4b=52+b2a+2ab≥52+2 b2a⋅2ab=92
当且仅当b2a=2ab，即b=2a时等号成立，所以m≤92
故选：C
5.【答案】D
【解析】【分析】易得a=23−1=32，032比较即可．
解：a=23−1=32，
∵2lg23=lg29>lg28=2lg2232=3，
∴b>32，
又0所以c故选：D
6.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于容易题．
分别判断四个选项中fx与gx的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案．
解：对于选项A：fx的定义域为R，gx的定义域为xx≠0，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：fx的定义域为R，gx的定义域为xx≥0，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：fx的定义域为R，gx的定义域为R，两个函数的定义域相同，g(x)=3x6=x2与f(x)=x2对应法则相同，是同一个函数；
对于选项D：fx的定义域为xx≠0，gx的定义域为R，故两个函数不是同一个函数；
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分段函数与指数和对数运算，属于基础题．
将不同的自变量代入不同的表达式进行计算．
【解答】
解：函数f(x)={1+lg2(2−x),x<12x−1,x⩾1,
即有f−2=1+lg22+2=3，
flg212=2lg212−1=12×12=6，
则有f−2+flg212=3+6=9．
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求函数的解析式，考查计算能力，属于基础题．
利用换元法即可求解．
【解答】
解：设1−x1+x=t，则x=1−t1+t(t≠−1)，
所以f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2t1+t2，即f(x)=2x1+x2(x≠−1)．
故选C．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了有理数指数幂的运算，考查了偶次根式对被开方数的要求，考查分析解决问题的能力，属于基础题．
根据指数幂的运算法则及运算性质，分选项排除即可．
【解答】
解：对于A，4(3−π)4=|3−π|=π−3，故A正确；
对于B，e2x=(ex)2，成立，故B正确；
对于C，3(a−b)3=a−b，成立，故C正确；
对于D， ab当a<0且b<0时， a和 b无意义，故D错误，
故选：D．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了对数运算与指数幂的运算，属于基础题．
依据运算法则，逐项判断可得结果．
【解答】
解：A选项，必须满足b>0，才有lga3 b2=23lga b，故A错误；
B选项，若a=−1，n=2，m=1时，左边为1，而右边为−1，显然不相等，故B错误；
C选项，由换底公式可知，lgab=lnblna(b>0,a>0且a≠1)，故C正确；
D选项，依据指数幂运算法则，同底的指数相乘，底数不变，指数相加可知am+n=am⋅ana≠0,m,n∈N+，故D正确．
故选CD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题．
本题首先可以根据题意绘出函数fx的大致图像，然后根据当x≤m时fx≥2得出fx=a恰有三个互异的实数解需要满足lg12m>2，最后通过计算即可得出结果．
解：当0函数fx=x2−2mx+2+m2,x≤mlg12x,x>m的大致图像如图所示：
因为当x≤m时，fx=x2−2mx+2+m2=x−m2+2≥2，
所以要存在实数a，使关于x的方程fx=a恰有三个互异的实数解，
需要满足lg12m>2且0故选：AB．
12.【答案】BD
【解析】【分析】令x1=4,x2=3可判断A；不妨设x1>x2>0，可得x2fx1−x1fx2>0，即f(x1)x1>f(x2)x2，即可判断B；结合选项B，可取fx=x−4判断C；结合选项B及不等式的性质判断D．
解：令x1=4,x2=3，则有3f4−4f34−3>0，即3f4>4f3，故 A错误；
不妨设x1>x2>0，由x2fx1−x1fx2x1−x2>0，可得x2fx1−x1fx2>0，
∴f(x1)x1>f(x2)x2，∴函数y=fxx在区间0,+∞为增函数，故 B正确；
由选项B可知，函数y=fxx在区间0,+∞为增函数，
可取fx=x−4，此时y=fxx=1−4x在区间0,+∞为增函数，
而y=xfx=x2−4x=x−22−4，可知函数y=xfx在0,2上为减函数，在[2,+∞)上为增函数，故 C错误；
∵函数y=fxx在区间0,+∞为增函数，2x1+x2>x1+x2,x1+2x2>x1+x2，
∴f2x1+x22x1+x2>fx1+x2x1+x2,fx1+2x2x1+2x2>fx1+x2x1+x2，
∴f2x1+x2>2x1+x2fx1+x2x1+x2,fx1+2x2>x1+2x2fx1+x2x1+x2，
∴f2x1+x2+fx1+2x2>2x1+x2fx1+x2x1+x2+x1+2x2fx1+x2x1+x2=3fx1+x2，故 D正确．
故选：BD．
13.【答案】−1,1
【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案．
解：依题意，函数fx的定义域为−3,1，
所以函数f2x−1有意义应满足−3≤2x−1≤1，解得−1≤x≤1，
所以f2x−1的定义域为−1,1．
故答案为：−1,1
14.【答案】−4
【解析】【分析】本题考查已知一元二次不等式的解集求参数，解题关键是掌握“三个二次”的关系．
根据−1和2是方程(ax−2)(x+b)=0的解可得．同时可得a<0．
解：由题意a≠0，方程(ax−2)(x+b)=0有两个不等实解，x1=2a，x2=−b，
又不等式(ax−2)(x+b)>0的解集为(−1,2)，∴−1和2是方程(ax−2)(x+b)=0的解且a<0，
∴2a=−1−b=2或2a=2−b=−1，解得a=−2b=−2或a=1b=1(舍去)．
∴a+b=−4．
故答案为：−4．
15.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于一般题．
由题意可知此户居民本月用水量超过12m3但不超过18m3，设此户居民本月用水量为xm3，列出关于x的等式求解即可．
【解答】解：若月用水量为12m3，需要3×12=36元，
若月用水量为18m3，需要3×12+6×(18−12)=72元，
某户居民本月交纳的水费为60元，可知：此用户用水量超过12m3但不超过18m3．
设此户居民本月用水量为xm3，则12×3+(x−12)×6=60，解得x=16．
∴此户居民本月用水量为16m3．
故答案为16．
16.【答案】(0,23)
【解析】【分析】
本题考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，属于基础题．
【解答】
解：令g(x)=x4+2|x|，显然g(x)是偶函数，且在(0,+∞)内单调递增.因为f(x)=g(x−1)，所以f(x)>f(2x)⇔g(x−1)>g(2x−1)⇔|x−1|>|2x−1|⇔(x−1)2>(2x−1)2，解得017.【答案】解：(1)根据指数幂的运算法则可得：原式=0.43−13+ 16−1−3232×3−124
=0.4−1+4−1−27×19=2.5+4−1−3=2.5．
(2)根据对数的运算法则可得：原式=lg18×560lg27lg2×lg2−lg8=lg32lg278=lg323lg32=13．

【解析】【分析】(1)根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；
(2)根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解．
18.【答案】解：(1)A={0,4}，所以2∈B且B中不含除0，2，4以外的实数，即a×22−2×2+8=0，解得a=−1．
验证：此时B={2,−4}，所以不存在实数a，使A∪B={0,2,4}．
(2)由A∩B=B得B⊆A，即B只可能为⌀，{0}，{4}，{0,4}．
①B=⌀，即a≠0且Δ<0，解得a>18;
②B={0,4}，即a×42−2×4+8=0,a×02−2×0+8=0,此方程组无解;
③B中方程只有一个根：当a=0时，解得x=4，此时B={4}，符合题意;
当a≠0时，由Δ=0，解得a=18，此时B={8}，不符合题意．
综上所述，a∈{0}∪{a|a>18}.

【解析】本题考查含参数的并集运算和集合关系问题，是中档题
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=(a2−3a+3)ax是指数函数，a>0且a≠1，
∴a2−3a+3=1，可得a=2或a=1(舍去)，
∴f(x)=2x；
(2)F(x)是奇函数，
证明如下：
由(1)得F(x)=2x−2−x，定义域为R，
∴F(−x)=2−x−2x，
∴F(−x)=−F(x)，
∴F(x)是奇函数；
(3)由(1)得a=2，不等式lga(1−x)>lga(x+2)，
即：lg2(1−x)>lg2(x+2)，
以2为底的对数函数在定义域上单调递增，
所以1−x>x+2>0，
∴−2∴解集为{x|−2【解析】本题考查的是指数函数的定义，函数奇偶性的证明和对数不等式的解法，对数函数的性质．
(1)由函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数，可得a>0且a≠1，所以a2−3a+3=1，解方程即可得出答案；
(2)由(1)得F(x)=2x−2−x，定义域为R，所以F(−x)=2−x−2x，即可得证；
(3)由(1)得a=2，不等式lga(1−x)>lga(x+2)，即：lg2(1−x)>lg2(x+2)，以2为底的对数函数在定义域上单调递增，所以1−x>x+2>0，即可得出答案．
20.【答案】解：(1)当60≤x≤90时，y=750x−1700，x∈N*;
当90故y关于x 的函数解析式为y=750x−1700,x∈N*−3x2+1020x−1700,x∈N*
(2)由(1)有当60≤x≤90时y=750x−1700为增函数，
故当x=90时取最大值ymax1=750×90−1700=65800；
当90故当x=170时取最大值ymax2=−3×1702+1020×170−1700=85000>65800；
故当每辆电动汽车的日租金为170元时，才能使日净收入最多，为85000元．

【解析】【分析】本题主要考查函数的实际应用，需要根据题目条件分段列出关系式，再求解函数在每个区间段上的最大值分析即可.属于中等题型．
(1)分情况讨论，当60≤x≤90与90(2)分当60≤x≤90与9021.【答案】解：(1)(a+b+c3)2−a2+b2+c23=(a+b+c)2−3(a2+b2+c2)9
=2ab+2bc+2ca−2a2−2b2−2c29=−19[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]≤0，
故(a+b+c3)2≤a2+b2+c23，当且仅当a=b=c时等号成立．
(2)当x>0，y>0，z>0时，由(1)中的不等式得，( x+ y+ z3)2≤x+y+z3，
所以 x+ y+ z≤ 3(x+y+z)，即 x+ y+ z x+y+z≤ 3，当且仅当x=y=z时等号成立．
因此 x+ y+ z x+y+z的最大值为 3．
由 x+ y+ z≤t x+y+z恒成立得，t≥( x+ y+ z x+y+z)max= 3，
故实数t的最小值为 3．

【解析】本题考查基本不等式的推广，拓展思维，属较难题．
22.【答案】解：(1)令t=x+1(t>0)，则f(t)=alg3t，∴f(x)=alg3x(x>0)，
又f(2)=alg32=1，解得a=1lg32=lg23，
所以f(x)=alg3x=lg23×lg3x=lg2x(x>0)
(2)因为f(x)的定义域为[2,+∞),∴4x+1≥2，解得x≥0，∴f4x+1的定义域为[0,+∞)．
∴x≥0k⋅2x+k≥2，即k≥22x+1在[0,+∞)恒成立，
∵y=22x+1在[0,+∞)单调递减，当x=0时，ymax=1最大值为1，∴k≥1.
又f4x+1−fk⋅2x+k=x，∴lg24x+1−lg2k⋅2x+k=x，
化简得(k−1)⋅2x2+k⋅2x−1=0，
令2x=t(t≥1)，则(k−1)⋅t2+k⋅t−1=0在[1,+∞)有唯一实数根，
令g(t)=(k−1)t2+k⋅t−1,t∈[1,+∞),
当k=1时，令g(t)=0，得t=1，即2x=1，得x=0符合题意，所以k=1；
当k>1时，Δ=k2+4k−4>0，所以只需g(1)=2k−2≤0，解得k≤1，因为k>1，所以此时无解；
综上，实数k的取值范围是k|k=1.

【解析】【分析】本题考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
(1)利用换元法以及f(2)=1，即可求解f(x)的解析式；
(2)根据f4x+1，fk⋅2x+k的定义域得出k≥1，结合函数f(x)的解析式将方程化为(k−1)⋅2x2+k⋅2x−1=0，利用换元法得g(t)=(k−1)t2+k⋅t−1,t∈[1,+∞)，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k的取值范围．
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3

2023-2024学年安徽省合肥市庐江县（八校联考）高一上学期第二次集体练习数学试题（含解析）

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