2023-2024学年福建省厦门第一中学高一上学期12月月考数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年福建省厦门第一中学高一上学期12月月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x−1A. −1,2B. 0,1C. 0,1D. −1,2
2.下列函数中最小值为4的是( )
A. y=x2+2x+4B. y=|sinx|+4|sinx|
C. y=2x+22−xD. y=lnx+4lnx
3.已知函数fx=2sinωx+π3ω>0，则“fx在0,π3存在最大值点”是“ω=1”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=xsin x2|x|−1的图象大致为
( )
A.
B.
C.
D.
5.在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ=2 rad时，点M与点O之间的距离为
( )
A. 1cs1B. 2sin1C. 2D. 5
6.设函数f(x)=ln |2x+1|−ln |2x−1|，则f(x)( )
A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减
C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减
7.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则
( )
A. f−12=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=0
8.设a=78,b=cs12,c=2sin12，则
( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，与y=x是同一个函数的是( )
A. y=3x3B. y= x2C. y=lg10xD. y=10lgx
10.已知函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0)满足：fπ6=2，f2π3=0，则
( )
A. 曲线y=f(x)关于直线x=7π6对称B. 函数y=fx−π3是奇函数
C. 函数y=f(x)在π6,7π6单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[−2,2]
11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t(单位：秒)，已知cs48∘≈23，则
( )
A. d=2−3csπ30t+θ，其中csθ=23，且θ∈0,π2
B. d=3sinπ30t+θ+2，其中sinθ=−23，且θ∈−π2,0
C. 大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中
D. 大约经过22秒，盛水筒P到达最高点
12.已知x>0,y>0，且x+2y=xy.则下列选项正确的是
( )
A. x+y的最小值为3+2 2B. 4x2+1y2的最小值为12
C. lg2x+lg22y≥5D. 2−2y+x>4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某地中学生积极参加体育锻炼，其中有70%的学生喜欢足球或游泳，50%的学生喜欢足球，60%的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______．
14.已知函数fx=tanωx−φω>0的最小正周期为π3，写出满足“将函数fx的图象向左平移π12个单位后为奇函数”的φ的一个值______．
15.若方程sin2x−π3=13在0,π的解为x1,x2x116.椭圆曲线y2+ay=x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象．已知椭圆曲线C:y2=x3−3x+1，则C与x轴的交点个数n= ；若fx=x2−2，C与x轴交点的横坐标从小到大排列为x1,x2,⋅⋅⋅,xn，则i=1nfxi−xi+1 .(这里xn+1=x1，若n≥1，则i=1nai=a1a2⋅⋅⋅an；若n=0，则i=1nai=0)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数fx=2csωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示．
(1)求函数fx的解析式：
(2)求函数fx在0,π的单调递减区间．
18.(本小题12分)
已知定义域为R的函数fx，满足对∀x,y∈R，均有fx+y=fx+fy，且当x>0时，fx>0．
(1)求证：fx在−∞,+∞单调递增；
(2)求关于x的不等式fx2−2fx19.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A,B两点．
(1)如果tanα=34，B点的横坐标为513，求csα+β的值；
(2)设α+β的终边与单位圆交于C,AP,BQ,CR均与x轴垂直，垂足分别为P,Q,R，求证：以线段AP,BQ,CR的长为三条边长能构成三角形．
20.(本小题12分)
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100的水泡制，等到茶水温度降至60时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100开始，经过xmin后的温度为y，现给出以下三种函数模型：
①y=kx+b(k<0,x≥0)；
②y=kax+bk>0,0③y=lgax+k+ba>1,k>0,x≥0．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min的数据求出相应的解析式；
(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01)；
(参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477.)
21.(本小题12分)
记▵ABC的内角为A,B,C，已知2sinC−sin2C≥2 3sin2A+B．
(1)求C的取值范围；
(2)若csA1+sinA=sin2B1+cs2B，请用角C表示角A和角B．
22.(本小题12分)
已知函数fx=2x−t2x+t,gx=sinx，满足fx是奇函数，且不存在实数m,n使得fm=gn．
(1)求fx；
(2)若方程lnx=aflg2x恰有两个实根x1,x2x1aeax2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】应用集合的并运算求集合．
解：由题设A∪B=x−1故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，以及二次函数的性质，属于基础题．
由二次函数的性质可得A错误；由基本不等式求最值，由正弦函数的性质可知不等式取不到等号，故B错误；由基本不等式求出最值，可知 C正确；由lnx可取负值，可知D错误．
【解答】
解：对于A：y=x2+2x+4=(x+1)2+3，
当x=−1时，取最小值3，故A错误；
对于B：y=|sinx|+4|sinx|⩾2 |sin⁡x|·4|sin⁡x|=4，
当且仅当|sinx|=2时等式成立，
∵|sinx|最大值为1，故取不到等号，故B错误；
对于C：∵2x>0，22−x>0，
∴y=2x+22−x⩾2 2x·22−x=2 2x+2−x=4，
当且仅当2x=22−x，即x=1时取等号，故C正确；
对于D：lnx可取负值，故错误，
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据三角函数的最值、充分和必要条件等知识求得正确答案．
解：fx=2sinωx+π3ω>0，
0“fx在0,π3存在最大值点”，等价于“π3ω+π3>π2”，等价于“ω>12”，
所以“fx在0,π3存在最大值点”是“ω=1”的必要不充分条件．
故选：B
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别，属于基础题．
先判断其奇偶性是解题的关键，然后根据特殊值进行排除可得答案．
【解答】
解：∵f(−x)=−xsin− x2|−x|−1=xsinx2|x|−1=f(x)，定义域为R，
∴函数fx是偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D;
∵f( π 2)= π 2×sin π 22| π 2|−1= π 22 π 2−1>0，排除B，
故选A．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查弧长公式，属于较易题．
由题OB=OA=1,BM=AB=φ·OA=2,结合勾股定理可求解．
【解答】
解：由题意可知OB=OA=1,BM=AB=φ·OA=2,
由于BM是圆的切线，故BM⊥OB,
故OM= OB2+BM2= 5,
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
先利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，然后在不同的区间里面将绝对值号去掉后判断单调性即可．
【解答】
解：由已知，函数定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称，
函数f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|
=ln|2x−1|−ln|2x+1|=−f(x)，
则f(x)为奇函数，故排除AC；
当x∈(−12,12)时，f(x)=ln (2x+1)−ln (1−2x)=ln2x+11−2x=ln(1+41x−2)，单调递增；
当x∈(−∞,−12)时，f(x)=ln (−2x−1)−ln (1−2x)=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)，单调递减．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于基础题．
根据f(x+2)为偶函数，可得f(x+4)=f(−x)，f(2x+1)为奇函数，可得f(−2x+1)=−f(2x+1)，即可判断选项．
【解答】
解：由题意，f(x+2)为偶函数，可得f(x+4)=f(−x)，
f(2x+1)为奇函数，可得f(−2x+1)=−f(2x+1)，
令F(x)=f(2x+1)为奇函数，
可得F(0)=f(1)=0，
∴f(−1)=−f(3)=−f(1)=0，
即f(−x)=−f(x+2)，
∴f(x+4)=−f(x+2)，
易知f(x)的周期T=4，其他选项的值不一定等于0．
即f(−1)=0，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题的关键是利用单位圆证明x∈0,π2时，sinx先证明x∈0,π2时，sinx解：如图所示：
在单位圆中，设∠AOB=x∈0,π2，则AB⌢=x，BC=sinx，AT=tanx，
因为BC因为S扇形AOB=12AB⌢×1所以当x∈0,π2时，0所以cb=2sin12cs12=2tan12>2×12=1，则c>b；
b−a=cs12−78=1−2sin214−78>18−2×142=0，则b>a，
所以c>b>a，
故选：D
9.【答案】CA
【解析】【分析】
本题考查了判断函数是否为同一函数的问题，属于基础题．
根据判断函数是否为同一函数的标准：解析式与定义域完全相同，对应各个选项即可判断求解．
【解答】
解：因为函数y=x的定义域为R，
选项A：因为函数y=3x3=x，且定义域为R，故A正确；
选项B：因为函数y= x2=|x|，与函数y=x的解析式不同，故B错误；
选项C：因为函数y=lg10x=x，且定义域为R，故C正确；
选项D：因为函数y=10lgx=x，定义域为{x|x>0}，故D错误．
故答案选：AC．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查正弦型函数的对称性，奇偶性，单调性，值域，属于中档题．
由题意可得ω=1+12k，k∈N代入函数结合各选项逐项判断即可．
【解答】
解：整理得：f(x)=2sin(ωx+π3)，
因为f(2π3)=0，所以2π3ω+π3=k1π，k1∈Z，所以ω=3k1−12，k1∈Z，ω>0
因为f(π6)=2，所以π6ω+π3=π2+2k2π，k2∈Z，所以ω=12k2+1，k2∈Z，ω>0
由3k1−12=12k2+1，得k1=8k2+1，所以ω∈{1,13,25,37,⋯}，故ω=12k+1,k∈N
对于A. f(7π6)=2sin((12k+1)7π6+π3)=−2，故A正确；
对于B．因为f(x−π3)=2sin((12k+1)(x−π3)+π3)=2sin((12k+1) x−4kπ)=2sin((12k+1) x)=−f(−x−π3)，即f(x−π3)=−f(−x−π3)，所以函数y=f(x−π3)是奇函数，故B正确：
对于C取ω=13，则最小正周期T=2πω=2π13<7π6−π6=π，故C错误．
对于D.函数f(x)=2sin⁡(ωx+π3),(ω>0)，−2⩽2sin⁡(ωx+π3)⩽2，故D正确．
故选择ABD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】若O为筒车的轴心的位置，AC为水面，P为筒车经过t秒后的位置，由题设知筒车的角速度ω=π30，令∠AOB=θ，易得∠POB=πt30+θ，而cs∠POB=OBOP、d=2−OB，即可求d的解析式判断A、B的正误，t≈38、t≈22代入函数解析式求d，即可判断C、D的正误．
解：由题意知，如图，若O为筒车的轴心的位置，AC为水面，P为筒车经过t秒后的位置，
筒车的角速度ω=2π60=π30，令cs∠AOB=csθ=23且θ∈0,π2，
∴cs∠POB=cs(πt30+θ)=OBOP，故OB=OP⋅cs(πt30+θ)，而d=2−OB，
∴d=2−3csπ30t+θ，其中csθ=23，且θ∈0,π2，
又d=2−3csπ30t+θ=2−3csπ30tcsθ+3sinπ30tsinθ
=2−2csπ30t+ 5sinπ30t，
若θ∈−π2,0，且sinθ=−23，所以csθ= 53，
此时d=3sinπ30t+θ+2=3sinπ30tcsθ+3csπ30tsinθ+2
= 5sinπ30t−2csπ30t+2，
故d=3sinπ30t+θ+2，其中sinθ=−23，且θ∈−π2,0，故 A、B正确；
当t≈38时，38π30=180∘+48∘，且sin48∘≈ 53，csθ=23，
∴d=2+3cs(48∘+θ)=2+3(cs48∘csθ−sin48∘sinθ)=53，
故盛水筒P没有进入水中， C错误；
当t≈22时，22π30=90∘+42∘，且sin42∘=cs48∘≈23，d=2−2cs(90∘+42∘)+ 5sin(90∘+42∘)=2+2sin42∘+ 5cs42∘=5，
故盛水筒P到达最高点， D正确．
故选：ABD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：依题意，x>0,y>0，且x+2y=xy，x+2yxy=1y+2x=1．
A选项，x+y=x+y1y+2x=3+2yx+xy≥3+2 2yx⋅xy=3+2 2，
当且仅当2yx=xy,x= 2y=2+ 2时等号成立，所以A选项正确．
B选项，x+2y=xy≥2 x⋅2y, xy≥2 2,xy≥8，
当且仅当x=2y=4时等号成立．
则0<4xy≤12,12≤1−4xy<1，
由x+2y=xy两边平方得x2+4y2+4xy=x2y2,x2+4y2=x2y2−4xy，
所以4x2+1y2=x2+4y2x2y2=x2y2−4xyx2y2=1−4xy≥12，所以B选项正确．
C选项，lg2x+lg22y=lg22xy≥lg216=4，所以C选项错误．
D选项，x>0,y>0，且x+2y=xy，若y=1，则x+2=x无解，
所以y≠1，则xy−1=2y,x=2yy−1>0，解得y>1，
所以2−2y+x=2+2yy−1−2y=2+2×y2−y+1yy−1
=2+2×y2−y+1y2−y=2+2×1+1yy−1，
由于y>1，所以yy−1>0，所以2−2y+x>2+2×1=4，D选项正确．
故选：ABD
13.【答案】80%
【解析】【分析】先求得既喜欢游泳，又喜欢足球的人数，从而求得正确答案．
解：既喜欢游泳，又喜欢足球的人数有50%+60%−70%=40%，
所以该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是40%50%=80%．
故答案为：80%
14.【答案】π4(答案不唯一)
【解析】【分析】先求得ω，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案．
解：函数fx=tanωx−φω>0的最小正周期为T=πω=π3,ω=3，
所以fx=tan3x−φ，向左平移π12个单位后，
得到y=tan3x+π12−φ=tan3x+π4−φ，
所得函数为奇函数，所以π4−φ=kπ2,φ=π4−kπ2,k∈Z，
故可取φ的一个值为π4．
故答案为：π4(答案不唯一)
15.【答案】−4 29
【解析】【分析】先求得cs2x−π3，然后根据x1,x2的关系式以及二倍角公式求得sin2x1−2x2．
解：由于0由于sin2x−π3=13>0，所以0<2x−π3<π，
根据正弦函数的性质可知2x1−π3+2x2−π32=x1+x2−π3=π2,x1+x2=5π6，
且0<2x1−π3<π2,π2<2x2−π3<π，cs2x1−π3= 1−19=2 23，
所以sin2x1−2x2=2sinx1−x2csx1−x2
=2sinx1−5π6−x1csx1−−5π6−x1
=2sin2x1−5π6cs2x1−5π6=2sin2x1−π3−π2cs2x1−π3−π2
=−2cs2x1−π3sin2x1−π3=−2×2 23×13=−4 29．
故答案为：−4 29
16.【答案】3；−9
【解析】【分析】第一空的关键是零点存在定理，第二空的关键是得出fxi=xi+2，(其中xi+3=xi,i=1,2,3)，从而即可顺利得解．
首先由零点存在定理以及三次多项式最多3个根即可得出第一问的答案；再得出若t是x3−3x+1=0的一个根，则t2−2也是x3−3x+1=0的一个根，进一步fxi=xi+2，(其中xi+3=xi,i=1,2,3)，从而即可得解．
解：对于第一空：
设gx=x3−3x+1，则g−2=−1<0,g−1=3>0,g0=1>0,g1=−1<0,g2=3>0，
又因为三次方程至多3个根，所以x3−3x+1=0有三个实根−2对于第二空：
不妨设t是x3−3x+1=0的一个根，即t3−3t+1=0，则t2−2=1−1t,3t−1=t3，
则t2−23−3t2−2+1=t−13t3−31−1t+1
=t3−3t2+3t−1t3−31−1t+1=2t3−3t2t3−31−1t+1=0，
所以t2−2也是x3−3x+1=0的一个根，
因为−2所以x12−2=1−1x1>1,x22−2=1−1x2<0,x32−2=1−1x3∈0,1，
所以x12−2=x3,x22−2=x1,x32−2=x2，即fxi=xi+2，(其中xi+3=xi,i=1,2,3)，
因为x3−3x+1=0恰有三个实根x1所以fx1−x2fx2−x3fx3−x1=x3−x32+2x1−x12+2x2−x22+2
=−−1−x32−x3−1−x12−x1−1−x22−x2=−g−1g2=−9，即i=1nfxi−xi+1=−9．
故答案为：3，−9．
17.【答案】解：(1)
由图可知T2=5π6−π3=π2,T=π=2πω,ω=2，
所以fx=2cs2x+φ，fπ3=2cs2π3+φ=0，
−π2<φ<π2,π6<2π3+φ<7π6，所以2π3+φ=π2,φ=−π6，
所以fx=2cs2x−π6．
(2)
由(1)得fx=2cs2x−π6，
由2kπ≤2x−π6≤2kπ+π解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
令k=0可得函数fx在0,π的单调递减区间为π12,7π12．

【解析】【分析】(1)根据图象求得ω,φ，也即求得fx的解析式．
(2)根据三角函数单调区间的求法求得fx在0,π的单调递减区间．
18.【答案】解：(1)
设x1=fx2−x1，
因为当x>0时，fx>0，又x2−x1>0，所以fx2−x1>0，即fx2−fx1>0，
所以fx在−∞,+∞单调递增．
(2)
化fx2−2fx因为fx+y=fx+fy，则原式可化为：
fx2+f2a因为fx在−∞,+∞单调递增，
所以x2+2ax−2x−a<0，令x−2x−a=0，x1=2，x2=a，
当a<2时，不等式的解集为a,2；
当a=2时，不等式解集为⌀；
当a>2时，不等式的解集为2,a．

【解析】【分析】(1)用定义法判断函数的单调性；
(2)根据函数的单调性求不等式的解集．
19.【答案】解：(1)
依题意，α,β是锐角，
由tanα=sinαcsα=34sin2α+cs2α=1，解得sinα=35,csα=45．
由于B的横坐标为513，则纵坐标为 1−5132=1213，
所以sinβ=1213,csβ=513，
所以csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=45×513−35×1213=−1665．
(2)
由于0<α<π2,0<β<π2,0<α+β<π，
由(1)得csα+β=−1665<0，所以π2<α+β<π，
所以C在第二象限，且sinα+β= 1−−16652= 39694225=6365，
依题意可知：AP=sinα=35,BQ=sinβ=513,CR=sinα+β=6365，
即AP=3965,BQ=2565,CR=6365，
AP+BQ=6465>6365=CR，AP+CR=10265>2565=BQ，
BQ+CR=8865>3965=AP，
所以以线段AP,BQ,CR的长为三条边长能构成三角形．

【解析】【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案．
(2)先求得AP,BQ,CR，然后根据三角形的知识求得正确答案．
20.【答案】解：(1)
根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，
所以选②y=kax+bk>0,0且100=ka0+b92=ka1+b84.80=ka2+b,k+b=100ka+b=92ka2+b=84.80,
利用加减消元法解得a=910,k=80,b=20，
所以y=80×910x+20．
(2)
由y=80×910x+20=60，得910x=12，
两边取以10为底的对数得xlg910=lg12,xlg9−1=−lg2，
x=lg21−2lg3≈0.3011−2×0.477≈6.54min．
答：最佳饮用口感的放置时间为6.54min．

【解析】【分析】(1)根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式．
(2)根据已知条件列方程，化简求得正确答案．
21.【答案】解：(1)
依题意2sinC−sin2C≥2 3sin2A+B，
即2sinC−2sinCcsC≥2 3sin2C，
由于00，
所以1−csC≥ 3sinC，2sinC+π6≤1,sinC+π6≤12，
由于π6所以C的取值范围是2π3,π．
(2)
csA1+sinA=sin2B1+cs2B=2sinBcsB2cs2B=sinBcsB，
csAcsB=sinB+sinAsinB，csA+B=sinB，
所以−csC=sinB,sinC−π2=sinB，
由于π6≤C−π2<π2,0由于A+B+C=A+C−π2+C=A+2C−π2=π，
所以A=3π2−2C．

【解析】【分析】(1)根据三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得C的取值范围．
(2)根据三角恒等变换的知识求得正确答案．
22.【答案】解：(1)
因为fx=2x−t2x+t，且fx是奇函数，
所以f−x=−fx，即2−x−t2−x+t=−2x−t2x+t，所以，1−t⋅2x1+t⋅2x=−2x−t2x+t，
所以1−t⋅2x2x+t=−1+t⋅2x2x−t，
所以2x+t−t⋅22x−t2⋅2x=−2x+t−t⋅22x+t2⋅2x，
所以2x−t2⋅2x=−2x+t2⋅2x，即2×2x=2t2⋅2x，所以1=t2，
解得t=±1，
当t=1时，fx=2x−12x+1，
因为gx=sinx，存在f0=g0=0，不满足题意，
当t=−1时，fx=2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1，当x>0时，1+22x−1>1，
此时fx>gx，满足题意，所以t=−1．
(2)
解法一：由(1)知，f(x)=2x+12x−1，所以，由lnx=aflg2x得，lnx−a(x+1)x−1=0，
设ℎ(x)=lnx−a(x+1)x−1，
①当a≤0时，注意到，x>1时，lnx>0,−a(x+1)x−1≥0，所以ℎ(x)>0，
当0方程lnx=aflg2x没有实根，不符合题意;
②当a>0时，注意到，函数y=a(x+1)x−1=a+2ax−1在(1,+∞)单调递减，
y=lnx在(1,+∞)单调递增，
所以ℎ(x)在在(1,+∞)单调递增，取b>e2a，且b>3，
则a(b+1)b−1=a+2ab−1<2a,ℎ>2a−2a=0，( )
又ℎea=−2aea−1<0，所以ℎeaℎ<0，( )
所以ℎ(x)在(1,+∞)恰有一个零点x0，且x0>ea，
又由于ℎ(x)=−ℎ1x，所以ℎ1x0=−ℎx0=0，且1x0∈(0,1)，
所以1x0是ℎ(x)在(0,1)的一个零点，
而函数y=a(x+1)x−1=a+2ax−1 在 (0,1)单调递减，y=lnx在(0,1)单调递增，
故ℎ(x)在(0,1)单调递增，故ℎ(x)在(0,1)恰有一个零点1x0，
所以方程lnx=aflg2x恰有两个实根x1,x2x1所以a的取值范围为a>0，此时x1=1x0,x2=x0，所以x1x2=1，
且x2>ea,0在平面直角坐标系xOy中，设单位圆圆O与x轴非负半轴交于点A，
角x1的终边交圆O于点B，
则S▵AOB所以0ea得lnx2>a，
故lnx2x1gx1>ax1e−a=aeax2．
解法二：由(1)得，fx=2x+12x−1，所以flg2x=x+1x−1，
所以方程lnx=aflg2x恰有两个实根转化为lnx=a⋅x+1x−1恰有两个实根，
转化为a=x−1lnxx+1，令px=x−1lnxx+1，
所以p′x=lnx+x−1xx+1−x−1lnxx+12=2lnx+x−1xx+12，
令ℎx=2lnx+x−1x，
所以ℎ′x=2x+1+1x2=x+12x2>0，所以ℎx=2lnx+x−1x单调递增，
因为ℎ1=0，所以当x∈0,1时，ℎx<0，即p′x<0，px单调递减，
当x∈1,+∞时，ℎx>0，即p′x>0，px单调递增，
所以pxmin=p1=0，
因为a=x−1lnxx+1有两个不等实数根，所以a>0．
因为两个实根x1,x2x1因为a=x1−1lnx1x1+1=x2−1lnx2x2+1，
所以x1+1x2−1lnx2=x2+1x1−1lnx1，
整理得：lnx2x11−x1x2+x1−x2lnx1x2=0，
因为0要证lnx2x1gx1>aeax2成立，只需证lnx2x1sinx1>aeax2成立，即证lnx2>aeax1x2sinx1，
由x1x2=1得，即证ln1x1>aeasinx1⇒−lnx1>aeasinx1，
只需证lnx1sinx1<−aea⇒aea⋅sinx1+lnx1<0，
设函数qx=aea⋅sinx+lnx，x∈0,1，a=x1−1lnx1x1+1，
因为qx=aea⋅sinx+lnx为增函数，且当x=1时，a=0，
所以qx
【解析】【分析】①利用奇函数性质化简求t，注意化简过程；②利用函数零点性质得到x1x2=1消元，证明不等式．
(1)利用奇函数性质f−x=−fx求解；
(2)解法一：按照a≤0、a>0分类，y=lnx，y=a(x+1)x−1的单调性即可确定a的范围，利用三角函数函数线得出12sinx1<12x1，即可证得不等式．
解法二：先将方程lnx=aflg2x化简，分参，将函数零点转化为函数图象交点问题，再利用根和函数性质得到x1x2=1，消元证明不等式．
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2023-2024学年福建省厦门第一中学高一上学期12月月考数学试题（含解析）

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