福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共28页。

注意事项：
1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本练习卷上无效.
3．答题结束后，学生必须将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数，则“在存在最大值点”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减
7. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则( )
A. 曲线y=f(x)关于直线对称B. 函数y=f()是奇函数
C. 函数y=f(x)在(,)单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[-2,2]
11. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t（单位：秒），已知，则（ ）
A. ，其中，且
B. ，其中，且
C 大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中
D. 大约经过22秒，盛水筒P到达最高点
12. 已知，且．则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
13. 某地中学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______．
14. 已知函数最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值______．
15. 若方程在的解为，则______．
16. 椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．已知椭圆曲线，则与轴的交点个数______；若，与轴交点的横坐标从小到大排列为，则______．（这里，若，则；若，则）
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）求函数在的单调递减区间．
18. 已知定义域为的函数，满足对，均有，且当时，．
（1）求证：在单调递增；
（2）求关于的不等式的解集．
19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点．
（1）如果，点的横坐标为，求的值；
（2）设的终边与单位圆交于均与轴垂直，垂足分别为，求证：以线段的长为三条边长能构成三角形．
20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③．
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
（参考数据：．）
21. 记的内角为，已知．
（1）求的取值范围；
（2）若，请用角表示角和角．
22. 已知函数，满足是奇函数，且不存在实数使得．
（1）求；
（2）若方程恰有两个实根，求实数范围并证明．时间
0
1
2
3
4
5
水温
100.00
92.00
84.80
7837
72.53
67.27
福建省厦门第一中学海沧校区2023级高一12月适应性练习
数学试题
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本练习卷上无效.
3．答题结束后，学生必须将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用集合的并运算求集合.
【详解】由题设.
故选：D
2. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
3. 已知函数，则“在存在最大值点”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的最值、充分和必要条件等知识求得正确答案.
【详解】，
，
“在存在最大值点”，等价于“”，等价于“”，
所以“在存在最大值点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可.
【详解】根据题意，函数，其定义域为，
由，函数为偶函数，
函数图象关于轴对称，故排除C、D；
当时，，，则，排除B.
故选：A．
5. 在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可.
【详解】展开过程中：
,
,
故选：D.
6. 设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
7. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
8. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先证明时，，由b，c结合商数关系作商比较，由b，a结合二倍角余弦公式作差比较.
【详解】如图所示：
在单位圆中，设，则，，，
因为，所以，
因为，所以，即，
所以当时，，
所以，则；
，则，
所以，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用单位圆证明时，，再利用此结论结合作差法和作商法比较大小即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．
【详解】的定义域为，值域为，
对于A选项，函数的定义域为，故是同一函数；
对于B选项，函数，与解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；
对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.
故选：AC．
【点睛】本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.
10. 已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则( )
A. 曲线y=f(x)关于直线对称B. 函数y=f()是奇函数
C. 函数y=f(x)在(,)单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[-2,2]
【答案】ABD
【解析】
【分析】用辅助角公式化简,再利用,得出的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.
【详解】,所以函数的值域为,故D正确；
因为,所以,所以，
因为,所以,所以，
所以,即，
所以，
因为，
所以曲线关于直线对称,故A正确；
因为
即，
所以函数是奇函数,故B正确；
取,则最小正周期,故C错误.
故选：ABD
11. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t（单位：秒），已知，则（ ）
A. ，其中，且
B. ，其中，且
C. 大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中
D. 大约经过22秒，盛水筒P到达最高点
【答案】ABD
【解析】
【分析】若为筒车轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，由题设知筒车的角速度，令，易得，而、，即可求的解析式判断A、B的正误，、代入函数解析式求，即可判断C、D的正误.
【详解】由题意知，如图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，
筒车的角速度，令且，
∴，故，而，
∴，其中，且，
又
，
若，且，所以，
此时
，
故，其中，且，故A、B正确；
当时，，且，，
∴，
故盛水筒没有进入水中，C错误；
当时，，且，，
故盛水筒到达最高点，D正确.
故选：ABD
12. 已知，且．则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，且，.
A选项，，
当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
当且仅当时等号成立.
则，
由两边平方得，
所以，所以B选项正确.
C选项，，所以C选项错误.
D选项，，且，若，则无解，
所以，则，解得，
所以
，
由于，所以，所以，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
13. 某地中学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得既喜欢游泳，又喜欢足球的人数，从而求得正确答案.
【详解】既喜欢游泳，又喜欢足球人数有，
所以该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是.
故答案为：
14. 已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先求得，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案.
【详解】函数的最小正周期为，
所以，向左平移个单位后，
得到，
所得函数为奇函数，所以，
故可取的一个值为.
故答案为：（答案不唯一）
15. 若方程在的解为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先求得，然后根据的关系式以及二倍角公式求得.
【详解】由于，所以，
由于，所以，
根据正弦函数的性质可知，
且，，
所以
.
故答案为：
16. 椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．已知椭圆曲线，则与轴的交点个数______；若，与轴交点的横坐标从小到大排列为，则______．（这里，若，则；若，则）
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】首先由零点存在定理以及三次多项式最多3个根即可得出第一问的答案；再得出若是的一个根，则也是的一个根，进一步，（其中），从而即可得解.
【详解】对于第一空：
设，则，
又因三次方程至多3个根，所以有三个实根，即；
对于第二空：
不妨设是的一个根，即，则，
则
，
所以也是的一个根，
因为，
所以，
所以，即，（其中），
因为恰有三个实根，所以，
所以
，即.
故答案为：3，.
【点睛】关键点睛：第一空的关键是零点存在定理，第二空的关键是得出，（其中），从而即可顺利得解.
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）求函数在的单调递减区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象求得，也即求得的解析式.
（2）根据三角函数单调区间的求法求得在的单调递减区间．
【小问1详解】
由图可知，
所以，，
，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
由解得，，
令可得函数在的单调递减区间为.
18. 已知定义域为的函数，满足对，均有，且当时，．
（1）求证：在单调递增；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）证明见解析.
（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为.
【解析】
【分析】（1）用定义法判断函数的单调性；
（2）根据函数的单调性求不等式的解集.
【小问1详解】
设，则
，
因为当时，，又，所以，即，
所以在单调递增.
【小问2详解】
化为，
因为，则原式可化为:
，即，
因为在单调递增，
所以，，
，令，，，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点．
（1）如果，点的横坐标为，求的值；
（2）设的终边与单位圆交于均与轴垂直，垂足分别为，求证：以线段的长为三条边长能构成三角形．
【答案】（1）
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.
（2）先求得，然后根据三角形的知识求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，是锐角，
由，解得
由于的横坐标为，则纵坐标为，
所以，
所以.
【小问2详解】
由于，
由（1）得，所以，
所以在第二象限，且，
依题意可知：，
即，
，，
，
所以以线段的长为三条边长能构成三角形．
20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③．
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
（参考数据：．）
【答案】（1）选②，理由详见解析，解析式为
（2）最佳饮用口感的放置时间为
【解析】
【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式.
（2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【小问1详解】
根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，
所以选②，
且，，
利用加减消元法解得，
所以.
【小问2详解】
由，得，
两边取以为底的对数得，
.
答：最佳饮用口感的放置时间为.
21. 记的内角为，已知．
（1）求的取值范围；
（2）若，请用角表示角和角．
【答案】（1）
（2）、
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得的取值范围.
（2）根据三角恒等变换的知识求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，
即，
由于，所以，
所以，，
由于，所以，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
,
，，
所以，
由于，所以.
由于，
所以.
22. 已知函数，满足是奇函数，且不存在实数使得．
（1）求；
（2）若方程恰有两个实根，求实数的范围并证明．
【答案】（1）
（2）；证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇函数性质求解；
（2）先将方程化简，分参，将函数零点转化为函数图象交点问题，再利用根和函数性质得到，消元证明不等式.
【小问1详解】
因为，且是奇函数，
所以，即，所以，，
所以，
所以，
所以，即，所以，
解得，
当时，，
因为，存在，不满足题意，
当时，，当时，，
此时，满足题意，所以.
【小问2详解】
由（1）得，，所以，
所以方程恰有两个实根转化为恰有两个实根，
转化为，令，
所以，
令，
所以，所以单调递增，
因为，所以当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，
因为有两个不等实数根，所以.
因为两个实根，所以，
因为，
所以，
整理得：，
因为，所以且，解得，
要证成立，只需证成立，即证，
由得，即证，
只需证，
设函数，，，
因为为增函数，且当时，，
所以，所以原不等式成立.
【点睛】①利用奇函数性质化简求t，注意化简过程；时间
0
1
2
3
4
5
水温
100.00
92.00
84.80
78.37
72.53
67.27