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山西省大同市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）
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这是一份山西省大同市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，则两直线的方向向量共线列式计算即可.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】运用等差数列的性质 SKIPIF 1 < 0 计算即可.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
则②-①可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3. 如果椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到此椭圆一个焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为2， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A. 6B. 10C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用中位线的性质即可求解．
【详解】如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则由中位线可得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：C.
4. 曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】求出切线方程，利用导数的几何意义求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用切线方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】设曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5. 等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式，可求项数 SKIPIF 1 < 0 ，利用前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求解即可得答案．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 等比数列中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
6. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，其中 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象可以是
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：讨论x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1时， SKIPIF 1 < 0 的正负，从而得函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可得解．
详解：由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象得到：
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
由此得到函数y=f（x）的大致图象可以是A．
故选A．
点睛：本题利用导函数的图象还原函数的图象，即根据导数的正负判断函数的单调性，属于基础题．
7. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 6440B. 6702C. 6720D. 6740
【答案】D
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，及递推关系式 SKIPIF 1 < 0 ，列举归纳可得 SKIPIF 1 < 0 是以6为周期的周期数列， SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，从而利用周期性可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
依次得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……，
故 SKIPIF 1 < 0 是以6为周期的周期数列， SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导求最值即可.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立等价于 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. (多选)关于双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的说法正确的是（ ）
A. 有相同的焦点B. 有相同的焦距
C. 有相同的离心率D. 有相同的渐近线
【答案】BD
【解析】
【分析】将两个双曲线方程化标准方程，再逐一判断.
【详解】两方程均化为标准方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
这里均有 SKIPIF 1 < 0 ，所以有相同的焦距，
而焦点一个在 SKIPIF 1 < 0 轴上，另一个在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以A错误，B正确；
又两方程的渐近线均为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
故选：BD.
10. 直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，过直线 SKIPIF 1 < 0 的平面分别与棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列表述正确的是（ ）
A. 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B. 四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最大为 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D. 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积恒为常数 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用面面垂直的判定定理可判断A项，当点 SKIPIF 1 < 0 和点B重合时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最大，计算其面积即可判断B项，假设 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 可判断C项，运用等体积法 SKIPIF 1 < 0 计算可判断D项.
【详解】对于A项，如图所示，
连接AC，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以A项正确；
对于B项，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的运动过程中，当点 SKIPIF 1 < 0 和点B或点 SKIPIF 1 < 0 重合时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 是对角线长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的菱形，所以面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B项正确；
对于C项， 假设 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即：O为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
分别取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点P、Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图所示，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C项错误；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以M到面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于B到面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面AEFC，
所以 SKIPIF 1 < 0 面AEFC，即： SKIPIF 1 < 0 面AEF，
所以B到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故D项正确.
故选：ABD.
11. 经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时， SKIPIF 1 < 0 最小B. SKIPIF 1 < 0
C. 以弦 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相离D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】先设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立抛物线，可得D.
用抛物线焦点弦公式表示 SKIPIF 1 < 0 ，可得A.
利用抛物线定义，可表示 SKIPIF 1 < 0 ，可证B.
利用抛物线定义，结合图像位置关系可判断C.
【详解】
如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故D正确，
SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，故A正确，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则以弦 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0
分别过 SKIPIF 1 < 0 作抛物线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
由抛物线的定义知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
故以弦 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，C错误，
故选：ABD
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值点
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一极值点
C. 若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，二次求导，得到 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，从而判断出 SKIPIF 1 < 0 无极值点；C选项，根据A选项得到的 SKIPIF 1 < 0 的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值点，故A正确；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值点，故B错误；
对于C：由A得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 恒成立.设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由A，B可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：AD.
【点睛】构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】首先根据题中所给的 SKIPIF 1 < 0 ，类比着写出 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而确定出数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，再令 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得 SKIPIF 1 < 0 ，之后应用等比数列的求和公式求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案是 SKIPIF 1 < 0 .
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 SKIPIF 1 < 0 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
14. 若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，则a=__________．
【答案】2
【解析】
【分析】对函数求导，根据极值点得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；所以函数在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，不符合题意；
综上： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
【点睛】思路点睛：
已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.
15. 三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题意画出图形，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示出来，求 SKIPIF 1 < 0 的模长即可求解.
【详解】
如图设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题解题的关键是将 SKIPIF 1 < 0 用从点 SKIPIF 1 < 0 出发的一组基底 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示出来计算其模长即可.
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若在区间 SKIPIF 1 < 0 内，曲线 SKIPIF 1 < 0 轴有三个不同的交点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，显然不合乎题意；当 SKIPIF 1 < 0 时，如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，存在一个零点，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数；此时 SKIPIF 1 < 0 必须在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线 SKIPIF 1 < 0
（1）求与 SKIPIF 1 < 0 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 直线方程；
（2）已知圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切求圆的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直设出所求直线，分别令 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）根据圆与直线相切的条件及点到直线的距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为所求的直线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以设所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
因为所求的直线与两坐标轴围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) an=2n-1 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】分析：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公差为 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，可知 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， 由此解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
令 SKIPIF 1 < 0 ，利用错位相减法可求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
详解：
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公差为 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，可知 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0
因此: SKIPIF 1 < 0
(2)令 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
①—②,得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
19. 如图，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1），建立空间直角坐标系，分别求得平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：如图所示，取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由图形得二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 设正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【详解】分析：第一问首先将 SKIPIF 1 < 0 代入题中所给的式子，结合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再类比着写出一个式子 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合数列的项的符号，得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，应用等差数列的通项公式写出结果；第二问利用裂项相消法对数列求和，结合式子写出其范围.
详解：（1）① SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 时，由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
又因为数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最小， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解以及裂项相消法求和，在解题的过程中，需要对题中所给的式子，类比着往前写或者往后写一个，两式相减，结合题中的条件，得到相邻两项的差为同一个常数，从而得到该数列是等差数列，之后借助于等差数列的通项公式求得结果，对于第二问应用裂项相消法求和之后，结合式子的特征以及n的范围，求得其值域.
21. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 重合，且椭圆短轴的两个端点与 SKIPIF 1 < 0 构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 ，试问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒为定值? 若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)答案见解析.
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得点F的坐标，然后结合正三角形的性质和椭圆的性质求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)假设存在满足题意的点，当直线斜率存在的时候，设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，然后整理变形确定m的值，当直线斜率不存在的时候直接验证 SKIPIF 1 < 0 的值即可确定点E是否存在.
【详解】（1）由题意知抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可求得a=2.
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设其斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 为定值，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
当直线的斜率不存在时，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）证明：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求定义域，再求导，分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 求解函数的单调性；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求导后得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，从而证明出 SKIPIF 1 < 0 成立．
【小问1详解】
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
综上， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
【小问2详解】
证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ①
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，不等式①成立，即 SKIPIF 1 < 0 成立．
【点睛】对于双元问题，要转化为单元问题，构造函数，结合函数单调性和极值等进行求解.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，则两直线的方向向量共线列式计算即可.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】运用等差数列的性质 SKIPIF 1 < 0 计算即可.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
则②-①可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3. 如果椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到此椭圆一个焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为2， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A. 6B. 10C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用中位线的性质即可求解．
【详解】如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则由中位线可得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：C.
4. 曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】求出切线方程，利用导数的几何意义求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用切线方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】设曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5. 等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式，可求项数 SKIPIF 1 < 0 ，利用前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求解即可得答案．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 等比数列中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
6. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，其中 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象可以是
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：讨论x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1时， SKIPIF 1 < 0 的正负，从而得函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可得解．
详解：由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象得到：
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
由此得到函数y=f（x）的大致图象可以是A．
故选A．
点睛：本题利用导函数的图象还原函数的图象，即根据导数的正负判断函数的单调性，属于基础题．
7. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 6440B. 6702C. 6720D. 6740
【答案】D
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，及递推关系式 SKIPIF 1 < 0 ，列举归纳可得 SKIPIF 1 < 0 是以6为周期的周期数列， SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，从而利用周期性可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
依次得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……，
故 SKIPIF 1 < 0 是以6为周期的周期数列， SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导求最值即可.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立等价于 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. (多选)关于双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的说法正确的是（ ）
A. 有相同的焦点B. 有相同的焦距
C. 有相同的离心率D. 有相同的渐近线
【答案】BD
【解析】
【分析】将两个双曲线方程化标准方程，再逐一判断.
【详解】两方程均化为标准方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
这里均有 SKIPIF 1 < 0 ，所以有相同的焦距，
而焦点一个在 SKIPIF 1 < 0 轴上，另一个在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以A错误，B正确；
又两方程的渐近线均为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
故选：BD.
10. 直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，过直线 SKIPIF 1 < 0 的平面分别与棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列表述正确的是（ ）
A. 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B. 四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最大为 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D. 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积恒为常数 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用面面垂直的判定定理可判断A项，当点 SKIPIF 1 < 0 和点B重合时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最大，计算其面积即可判断B项，假设 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 可判断C项，运用等体积法 SKIPIF 1 < 0 计算可判断D项.
【详解】对于A项，如图所示，
连接AC，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以A项正确；
对于B项，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的运动过程中，当点 SKIPIF 1 < 0 和点B或点 SKIPIF 1 < 0 重合时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 是对角线长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的菱形，所以面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B项正确；
对于C项， 假设 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即：O为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
分别取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点P、Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图所示，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C项错误；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以M到面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于B到面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面AEFC，
所以 SKIPIF 1 < 0 面AEFC，即： SKIPIF 1 < 0 面AEF，
所以B到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故D项正确.
故选：ABD.
11. 经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时， SKIPIF 1 < 0 最小B. SKIPIF 1 < 0
C. 以弦 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相离D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】先设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立抛物线，可得D.
用抛物线焦点弦公式表示 SKIPIF 1 < 0 ，可得A.
利用抛物线定义，可表示 SKIPIF 1 < 0 ，可证B.
利用抛物线定义，结合图像位置关系可判断C.
【详解】
如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故D正确，
SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，故A正确，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则以弦 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0
分别过 SKIPIF 1 < 0 作抛物线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
由抛物线的定义知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
故以弦 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，C错误，
故选：ABD
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值点
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一极值点
C. 若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，二次求导，得到 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，从而判断出 SKIPIF 1 < 0 无极值点；C选项，根据A选项得到的 SKIPIF 1 < 0 的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值点，故A正确；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值点，故B错误；
对于C：由A得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 恒成立.设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由A，B可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：AD.
【点睛】构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】首先根据题中所给的 SKIPIF 1 < 0 ，类比着写出 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而确定出数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，再令 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得 SKIPIF 1 < 0 ，之后应用等比数列的求和公式求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案是 SKIPIF 1 < 0 .
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 SKIPIF 1 < 0 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
14. 若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，则a=__________．
【答案】2
【解析】
【分析】对函数求导，根据极值点得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；所以函数在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，不符合题意；
综上： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
【点睛】思路点睛：
已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.
15. 三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题意画出图形，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示出来，求 SKIPIF 1 < 0 的模长即可求解.
【详解】
如图设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题解题的关键是将 SKIPIF 1 < 0 用从点 SKIPIF 1 < 0 出发的一组基底 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示出来计算其模长即可.
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若在区间 SKIPIF 1 < 0 内，曲线 SKIPIF 1 < 0 轴有三个不同的交点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，显然不合乎题意；当 SKIPIF 1 < 0 时，如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，存在一个零点，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数；此时 SKIPIF 1 < 0 必须在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线 SKIPIF 1 < 0
（1）求与 SKIPIF 1 < 0 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 直线方程；
（2）已知圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切求圆的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直设出所求直线，分别令 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）根据圆与直线相切的条件及点到直线的距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为所求的直线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以设所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
因为所求的直线与两坐标轴围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) an=2n-1 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】分析：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公差为 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，可知 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， 由此解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
令 SKIPIF 1 < 0 ，利用错位相减法可求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
详解：
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公差为 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，可知 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0
因此: SKIPIF 1 < 0
(2)令 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
①—②,得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
19. 如图，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1），建立空间直角坐标系，分别求得平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：如图所示，取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由图形得二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 设正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【详解】分析：第一问首先将 SKIPIF 1 < 0 代入题中所给的式子，结合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再类比着写出一个式子 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合数列的项的符号，得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，应用等差数列的通项公式写出结果；第二问利用裂项相消法对数列求和，结合式子写出其范围.
详解：（1）① SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 时，由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
又因为数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最小， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解以及裂项相消法求和，在解题的过程中，需要对题中所给的式子，类比着往前写或者往后写一个，两式相减，结合题中的条件，得到相邻两项的差为同一个常数，从而得到该数列是等差数列，之后借助于等差数列的通项公式求得结果，对于第二问应用裂项相消法求和之后，结合式子的特征以及n的范围，求得其值域.
21. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 重合，且椭圆短轴的两个端点与 SKIPIF 1 < 0 构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 ，试问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒为定值? 若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)答案见解析.
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得点F的坐标，然后结合正三角形的性质和椭圆的性质求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)假设存在满足题意的点，当直线斜率存在的时候，设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，然后整理变形确定m的值，当直线斜率不存在的时候直接验证 SKIPIF 1 < 0 的值即可确定点E是否存在.
【详解】（1）由题意知抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可求得a=2.
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设其斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 为定值，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
当直线的斜率不存在时，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）证明：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求定义域，再求导，分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 求解函数的单调性；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求导后得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，从而证明出 SKIPIF 1 < 0 成立．
【小问1详解】
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
综上， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
【小问2详解】
证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ①
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，不等式①成立，即 SKIPIF 1 < 0 成立．
【点睛】对于双元问题，要转化为单元问题，构造函数，结合函数单调性和极值等进行求解.
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