2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0
2．（5分）圆x2+y2+ax＝0的圆心横坐标为1，则a等于（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
3．（5分）在递增的等差数列{an}中，已知a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则a20＝（ ）
A．19B．20C．21D．22
4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S5＝25，则a8＝（ ）
A．13B．14C．15D．16
5．（5分）已知点A（﹣2，﹣1），B（3，0），若点M（x，y）在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]
6．（5分）已知数列{an}满足：an2＝an﹣1•an+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（ ）
A．84B．63C．42D．21
7．（5分）直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0交于点P，则点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律，12小时后细胞存活个数（ ）
A．2048B．2049C．4096D．4097
二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）
（多选）9．（5分）已知b∈R，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣b）2＝4，C2：x2+y2＝1，则（ ）
A．两圆可能外离B．两圆可能相交
C．两圆可能内切D．两圆可能内含
（多选）10．（5分）已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9＝S17，下列说法正确的是（ ）
A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10
（多选）11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（ ）
A．若Sn＝2n2﹣3，则{an}是等差数列
B．若{an}是等差数列，且a3＝5，a2+a10＝2，则数列{an}的前n项和Sn有最大值
C．若等差数列{an}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2
D．若{an}是等差数列，则三点、、共线
（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为AB中点
B．|AB|的最小值为3
C．若，则l的方程为y＝2
D．△ABC的面积最大值为
三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）
13．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，则{an}的通项公式为an＝ ．
14．（5分）过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为 ．
15．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若an＝n，则＝ ．
16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，P（x，y）为圆C上一点，则2x﹣y的最大值为 ．
四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC．
（1）求B；
（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝an•bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn．
20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，，∠BAC＝45°，BC边上的中线为AM．
（1）求AM的值；
（2）求sin∠BAM．
21．（12分）数列{an}中，a1＝2，an+1＝．
（Ⅰ）证明数列{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2．
22．（12分）函数f（x）＝lga（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．
（1）求m、n以及r的值；
（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y＝﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0
【分析】由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程
【解答】解：由题意可得，直线的斜率k＝﹣1
根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y＝﹣x﹣1即x+y+1＝0
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题
2．（5分）圆x2+y2+ax＝0的圆心横坐标为1，则a等于（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】把圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标，再根据圆心横坐标为1，求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2+ax＝0，即圆（x+）2+y2＝，它的圆心横坐标为﹣＝1，a＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．
3．（5分）在递增的等差数列{an}中，已知a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则a20＝（ ）
A．19B．20C．21D．22
【分析】根据方程的解与递增的等差数列，可得，于是可求得公差d＝1，则由等差数列的通项性质可得a20的值．
【解答】解：a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，方程为（x﹣4）（x﹣6）＝0
则或，由于递增的等差数列{an}中，所以，则公差，
所以a20＝a4+16d＝4+16＝20．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S5＝25，则a8＝（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
a2＝3，S5＝25，
∴，
解得a1＝1，d＝2．
∴a8＝1+7×2＝15．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
5．（5分）已知点A（﹣2，﹣1），B（3，0），若点M（x，y）在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]
【分析】设Q（﹣1，2），分别求出kQA，kQB，根据表示直线QM的斜率即可得到结果．
【解答】解：设Q（﹣1，2），则，
因为点M（x，y）在线段AB上，
所以的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的斜率，是基础题．
6．（5分）已知数列{an}满足：an2＝an﹣1•an+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（ ）
A．84B．63C．42D．21
【分析】由an2＝an﹣1•an+1（n≥2）得数列{an}是等比数列，设其公比为q，依题意，可求得q2＝2，从而可得a4+a6+a8的值．
【解答】解：∵an2＝an﹣1•an+1（n≥2），
∴数列{an}是等比数列，设其公比为q，
∵a2＝3，a2+a4+a6＝3+3q2+3q4＝21，
即q4+q2﹣6＝0，
解得q2＝2或q2＝﹣3（舍），
∴a4+a6+a8＝a2（q2+q4+q6）＝3（2+4+8）＝42．
故选：C．
【点评】本题考查数列递推式的应用，判断出数列{an}是等比数列是关键，考查等比数列的通项公式的应用，属于中档题．
7．（5分）直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0交于点P，则点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可．
【解答】解：由题可列：，
解得，
所以点P的坐标为（1，﹣1），
因为直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R），
即k（x﹣y+2）+（1﹣y）＝0恒过定点Q（﹣1，1），
所以点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的最大距离为．
故选：B．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
8．（5分）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律，12小时后细胞存活个数（ ）
A．2048B．2049C．4096D．4097
【分析】根据题意，设每小时后细胞的存活数构成数列{an}，归纳数列的通项公式，再根据通项公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设每小时后细胞的存活数构成数列{an}，
则a1＝2×2﹣1＝3，a2＝2×3﹣1＝5，a3＝2×5﹣1＝9，…
由此得，an＝2an﹣1﹣1，an﹣1＝2（an﹣1﹣1）；
所以，数列{an﹣1}为等比数列，且公比为2，所以an﹣1＝2n，变形可得an＝2n+1，
所以12小时后细胞存活个数是212+1＝4097．
故选：D．
【点评】本题考查了构造法求数列通项公式，涉及归纳推理的应用，属于基础题．
二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）
（多选）9．（5分）已知b∈R，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣b）2＝4，C2：x2+y2＝1，则（ ）
A．两圆可能外离B．两圆可能相交
C．两圆可能内切D．两圆可能内含
【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断．
【解答】解：圆的圆心为C1（1，b），半径r1＝2，
圆的圆心为C2（0，0），半径r2＝1；
则，r1+r2＝3，r1﹣r2＝1，
当b2＞8时，|C1C2|＞r1+r2，两圆外离；
当0＜b2＜8时，r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，两圆相交；
当b2＝0时，|C1C2|＝r1﹣r2，两圆内切；
当b2＝8时，|C1C2|＝r1+r2，两圆外切；
综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9＝S17，下列说法正确的是（ ）
A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10
【分析】根据给定条件，结合等差数列前n项和公式及等差数列的性质求出a9，用公差d表示首项，再判断各项作答．
【解答】解：令等差数列{an}的公差为d，有d＞0，
由a9＝S17得：，
解得a9＝0，有a8＝a9﹣d＝﹣d＜0，A不正确，B正确；a1＝a9﹣8d＝﹣8d，S16＝S17﹣a17＝a9﹣（a9+8d）＝﹣8d，即a1＝S16，C正确；
S10﹣S8＝a9+a10＝a9+d＝d＞0，S8＜S10，D不正确．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（ ）
A．若Sn＝2n2﹣3，则{an}是等差数列
B．若{an}是等差数列，且a3＝5，a2+a10＝2，则数列{an}的前n项和Sn有最大值
C．若等差数列{an}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2
D．若{an}是等差数列，则三点、、共线
【分析】根据等差数列及等差数列前n项和Sn的性质，逐项分析判断．
【解答】解：A项，n＝1时，a1＝S1＝﹣1，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2﹣3﹣2（n﹣1）2+3＝4n﹣2，
当n＝1时，a1＝2≠﹣1，所以，{an}不是等差数列；所以A不正确；
B项，由已知可得，a6＝1，又a3＝5，所以，，，所以，Sn有最大值；所以B正确；
C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为5d＝10，所以d＝2；所以C正确；
D项，设三点分别为A，B，C，，则，，．
则，，，所以三点共线，所以D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查数列的简单应用，是中档题．
（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为AB中点
B．|AB|的最小值为3
C．若，则l的方程为y＝2
D．△ABC的面积最大值为
【分析】判断点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，且此时|AB|最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D．
【解答】解：由圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，知圆心（3，4），半径为r＝3，
对于A：因为（1﹣3）2+（2﹣4）2＝8＜9，即点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，故A正确；
对于B：当CP⊥直线l时，|AB|最小，因为kCP＝＝1，所以kl＝﹣1，
则直线l的方程为x+y﹣3＝0，圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，所以|AB|＝2＝2，故B错误；
对于C：当直线l斜率不存在时，即x＝1，此时|AB|＝2＝2，符合，
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为kx﹣y﹣k+2＝0，由|AB|＝2＝2，得d＝2，
则圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，解得k＝0，即y＝2，所以满足题意的直线为y＝2或x＝1，故C错误；
对于D：S△ABC＝×|AB|×d＝×2×≤＝，
当且仅当9﹣d2＝d2，即d＝时取等号，所以△ABC的面积最大值为，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及三角形的面积问题，属中档题．
三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）
13．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，则{an}的通项公式为an＝ 2n﹣1 ．
【分析】由Sn＝2an﹣1和Sn+1＝2an+1﹣1相减得an+1＝2an+1﹣2an，所以 ，由此可求出数列{an}的通项公式．
【解答】解：由Sn＝2an﹣1，
得Sn+1＝2an+1﹣1，
二式相减得：an+1＝2an+1﹣2an，
∴，
∴数列{an}是公比为2的等比数列，
又∵S1＝2a1﹣1，
∴a1＝1，
∴an＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法和递推公式的灵活运用．
14．（5分）过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为 3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0 ．
【分析】①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y﹣3＝（x﹣2），过点A（1，2）的直线与直线平行时满足条件．
②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）．经过点A（1，2）与中点的直线满足条件．
【解答】解：①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y﹣3＝（x﹣2），化为：4x+y﹣11＝0，
过点A（1，2）的直线与直线：4x+y﹣11＝0平行时满足条件：y﹣2＝﹣4（x﹣1），化为：4x+y﹣6＝0．
②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）．
则经过点A（1，2）与中点的直线满足条件：y﹣2＝（x﹣1），化为：3x+2y﹣7＝0．
综上可得：满足条件的直线方程为：3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．
故答案为：3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．
【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若an＝n，则＝ ．
【分析】先求数列{an}的前n项和Sn，再利用裂项相消法求和即可．
【解答】解：因为an＝n，所以，
所以，
所以
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，P（x，y）为圆C上一点，则2x﹣y的最大值为 20 ．
【分析】由圆C关于直线x+3y+2＝0对称列方程求a，由此确定圆的圆心坐标和半径，设z＝2x﹣y，由直线z＝2x﹣y与圆C有公共点，列不等式求z的范围及最大值．
【解答】解：方程x2+y2﹣2ax+4y＝0可化为（x﹣a）2+（y+2）2＝a2+4，
所以圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0的圆心为C（a，﹣2），半径为，
因为圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，
所以a+3×（﹣2）+2＝0，所以a＝4，
令z＝2x﹣y，则，
所以|10﹣z|≤10，所以0≤z≤20，所以2x﹣y的最大值为20，
故答案为：20．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．
【分析】（1）验证k＝0时，直线l是否符合要求，当k≠0时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；（2）先求直线在x轴和y轴上的截距，表示△AOB的面积，利用基本不等式求其最小值．
【解答】解：（1）当k＝0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为x＝﹣2，不经过第一象限；
当k≠0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为，
要使直线不经过第一象限，则，
解得﹣2≤k＜0．
综上，k的取值范围为[﹣2，0]．
（2）由题意可得k＞0，
由x﹣ky+2+k＝0取y＝0得x＝﹣2﹣k，
取x＝0得，
所以，
当且仅当时，即k＝2时取等号，
综上，此时Smin＝4，直线l的方程为x﹣2y+4＝0．
【点评】本题主要考查了直线方程的应用，还考查了直线交点坐标的求解，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC．
（1）求B；
（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）由已知利用正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得csB的值，结合范围0＜B＜π，可得B的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求a+c的值，即可求解△ABC的周长．
【解答】解：（1）将（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC，展开得sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得，
因为0＜B＜π，
所以．
（2）根据余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accsB＝（a+c）2﹣3ac，
因为△ABC的面积为，所以ac＝1，
因为b＝1，所以1＝（a+c）2﹣3，解之，得a+c＝2，
所以△ABC的周长为a+c+b＝3．
【点评】本题主要考查了正余弦定理等知识点在解三角形中的应用，考查转化与划归得方法与方程思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养，属于基础题．
19．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝an•bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由等差数列的求和公式、等比数列的通项公式，求得首项和公差、公比，进而得到所求；
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项，
可得b1q＝2，5×2+10d＝30，2（b4+2）＝b3+b5，
即2（b1q3+2）＝b1q2+b1q4，
解得d＝2，b1＝1，q＝2，
则an＝2+2（n﹣1）＝2n；bn＝2n﹣1；
（2）因为cn＝an•bn＝n•2n；
所以数列{cn}的前n项和Tn＝1×21+2×22+3×23++（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
2Tn＝1×22+2×23++（n﹣2）•2n+（n﹣1）•2n+n•2n+1，
两式相减可得﹣Tn＝2+22+23++2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴Tn＝（n﹣1）•2n+1+2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，，∠BAC＝45°，BC边上的中线为AM．
（1）求AM的值；
（2）求sin∠BAM．
【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理求BC，在△ABM，△ACM中分别利用余弦定理求cs∠BMA，cs∠CMA，由此列方程求解，即可得出答案；
（2）在△ABM中由余弦定理求cs∠BAM，利用同角三角函数的关系，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝2，，∠BAC＝45°，
∴由余弦定理得，即，
又BC边上的中线为AM，则，
在△ABM中，由余弦定理得，
在△ACM中，由余弦定理得，
又∠BMA与∠CMA互补，则cs∠BMA+cs∠CMA＝0，解得AM＝5；
（2）在△ABM中，由余弦定理得，
∵∠BAC＝45°，∴，
∴．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）数列{an}中，a1＝2，an+1＝．
（Ⅰ）证明数列{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2．
【分析】（Ⅰ）化简已知条件，即可证明数列{}是等比数列，求出首项与公比，然后求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用放缩法推出，然后利用等比数列求和，证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题设，数列是首项为2，公比的等比数列
所以，；
（Ⅱ）证明：，
注意对任意n∈N*，2n﹣1≥2n﹣1，
所以．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和以及放缩法的应用，考查计算能力．
22．（12分）函数f（x）＝lga（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．
（1）求m、n以及r的值；
（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y＝﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意和对数函数过定点可得m＝5，n＝﹣1，由圆的弦长公式可得r的方程，解方程可得；
（2）假设在直线y＝﹣1上存在一点B（异于点P）满足题意，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，若点T在S和Q时，则有，解得，然后由距离公式证明在直线y＝﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．
【解答】解：（1）在函数f（x）＝lga（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）中，
当x＝5时，y＝﹣1，∴必经过的定点为点（5，﹣1），即m＝5，n＝﹣1，
由于直线AP被圆C所截得的弦长为，圆C半径为r，设圆心到直线AP的距离为d，
由于圆心（5，﹣1）到直线的距离为，
∴，代入d值解方程可得r＝5；
（2）假设在直线y＝﹣1上存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．
圆与直线y＝﹣1的交点为S（0，﹣1），Q（10，﹣1），设B（m，﹣1）（m≠2），而若点T在S和Q时，则有，
即，解得，
下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，则：，＝，
∴在直线y＝﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．
【点评】本题考查圆的方程的综合应用，涉及圆的弦长问题和距离公式以，属中档题．
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