湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用优秀测试题

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一、选择题
1．（2023八下·合肥期末）在某中学开展的课外阅读活动中，要求七，八、九三个年级学生的人均阅读量逐次增加，而且增长率相同，已知七年级学生的人均阅读量为每年10万字，九年级学生的人均阅读量为每年14.4万字，则该校八年级学生的人均阅读量为每年（ ）
A．11万字B．11.2万字C．12万字D．12.2万字
2．（2023八下·瑶海期末）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（ ）
A．(x+16)(200−5x)=1200B．(x+16)(200+5x)=1200
C．(x−16)(200+5x)=1200D．(x−16)(200−5x)=1200
3．（2023八下·金寨期中）某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨．若蔬菜产量的年平均增长率相同，则年平均增长率为（ ）
A．−210%B．−10%C．5%D．10%
4．（2023七下·海曙期末）如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2=16，点B是线段CG上一点，设CG=6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．5B．4C．8D．10
5．（2023·富锦模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支.若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2023·石家庄月考）红星电池厂2022年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180(1−x)2=461B．180(1+x)2=461
C．368(1−x)2=137D．368(1+x)2=442
7．（2023八下·蜀山期中）空地上有一段长为a米的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若a=18，S=194，则（ ）
A．有一种围法B．有两种围法
C．不能围成菜园D．无法确定有几种围法
二、填空题
8．（2023八下·静安期末）某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，如果设每年降价的百分率均为x（x>0），则由题意可列方程： ．
9．（2023七下·云梦期末）某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 折.
10．（2023八下·孝义期中）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q=I2Rt．已知导线的电阻为9Ω，1s时间导线产生72J的热量，则电流的值是 A．
11．（2023八下·上城期末）有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于x2+10x=39的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和52的矩形，再把它补充成一个边长为x+5的大正方形，我们得到大正方形的面积为(x+5)2=x2+10x+25=39+25=64（因为x2+10x=39）．所以大正方形边长为x+5=8，得到x=3．思考：当我们用这种方法寻找x2+6x=7的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．
12．（2023·牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
三、解答题
13．（2023七下·潮安期末）小辰想用一块面积为100cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3. 小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体裁法；若不能，请说明理由.
14．（2023八下·东阳期末）澄泥砚是全国四大名砚之一，其历史可上溯到唐代，为陶砚，以泥沙再造而成，其质细腻，柔中有坚，贮水不涸，历寒不冰，发墨护毫，兼具陶石双重优点，某电商直播销售一款澄泥砚，每块澄泥砚的成本为30元，当每块售价定为48元时，平均每月可售出500块澄泥砚，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10块，若想获得销售澄泥砚的月利润恰好为11200元，且每块售价上涨不超过20元，问每块澄泥砚的售价应上涨多少元？
四、综合题
15．（2023八下·德清期末）“杭州亚运●三人制篮球”赛将于9月25-10月1日在我县举行，我县某商店
抓住商机，销售某款篮球服.6月份平均每天售出100件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件.
（1）若降价5元，求平均每天的销售数量：
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元?
16．（2023八下·岑溪期末）我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2021年的单价是200元，今年的单价为162元．
（1）求2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该校学生七年级至九年级人均阅读量的人均阅读年增长率为x，
根据题意，得：10(1+x)2=14.4
解得：x1=20%，x2=-220%（不符合题意，舍去），
∴该校八年级学生的人均阅读量为每年：10×(1+20%)=12（万字），
故答案为：C．
【分析】设该校学生七年级至九年级人均阅读量的人均阅读年增长率为 x ，根据增长率问题，列出一元二次方程，解方程即可求解．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种商品的售价上涨x元时，根据题意得，
(x+16)(200−5x)=1200
故答案为：A．
【分析】设这种商品的售价上涨x元时，根据该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，列出方程，即可求解．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，
由题意可得：100（1+x）2=121，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去），
即年平均增长率为10%.
故答案为：D.
【分析】根据某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨，列方程100（1+x）2=121，再求解即可。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设BC长为x，由CG=6可知，BG=6-x；
则S1=BC2=x2，S2=BG2=(6-x）2；
由S1+S2=16可知，x2+(6-x）2=2x2-12x+36=16；
由韦达定理可知，防滑砖面积为12x1x2=5.
故答案为：A.
【分析】设BC长为x，可表示出BG的长，利用正方形的面积公式可表示出S1，S2，再根据S1+S2=16，代入可得到关于x的方程，利用一元二次方程根与系数及三角形的面积公式，可求出阴影部分的三角形的面积.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得1+x+x2=57，
解得x=7或-8（舍去）.
故答案为：C.
【分析】根据枝干和小分支的数量之和是57个可得1+x+x2=57，求解即可.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：180(1+x)2=461，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图：
设AC=a米，则宽为（40-2a）米，
由题意得a40-2a=194，
解得x=10+3或10-3，
∵40-2a≤18，
∴x≥11，
∴x=10+3，
∴只存在一种围法，
故答案为：A
【分析】设AC=a米，则宽为（40-2a）米，进而根据矩形的面积公式结合题意求出a的取值范围即可求解。
8．【答案】25(1−x)2=16
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设每年降价的百分率均为x（x>0），
∵某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，
∴可列方程：25(1−x)2=16，
故答案为：25(1−x)2=16.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
9．【答案】八
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设商品可打x折销售，
∴1500×x10-1000≥1000×20%，
解得x≥8，
故答案为：8.
【分析】首先设商品可以打x折，由进价为1000元，出售时标价为1500元，利润率不低于20%，根据利润等于售价乘以折扣率再减去进价，即可列出关于x的不等式，解出不等式即可得出答案.
10．【答案】22
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得： I2×9×1=72，
解得：I=22，
即电流的值是22A，
故答案为：22.
【分析】根据题意先求出I2×9×1=72，再计算求解即可。
11．【答案】1；32
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：
根据题中的方法，可令图中的正方形的四个角位置上的正方形的边长为32，则大正方形的边长为（x+3），得到大正形的面积为（x+3）2=x2+6x+9=7+9=16，所以x+3=4，得到x=1；
阴影部分每个正方形的边长为32.
故答案为：1；32.
【分析】利用题中方法，可以直接得出阴影部分正方形的边长；再利用正方形面积公式和 x2+6x=7 得到（x+3）2=16，进而得出小正方形的边长x的值.
12．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，由题意可得5000(1+x)2=7200，
解得x=20%.
故答案为：20%.
【分析】设平均增长率为x，则4月份盈利5000(1+x)元，5月份盈利5000(1+x)2元，然后根据5月份盈利达到7200元建立方程，求解即可.
13．【答案】解：设长方形纸片的长为5xcm，宽为3xcm
依题意，得
5x⋅3x=90
15x2=90
x2=6
∵x>0
∴x=6
∴长方形纸片的长为56cm.
∴面积为100cm2的正方形的边长为10cm，
∵6>2
∴56>10.
答：无法裁出符合要求的纸片.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由长方形的长宽之比设长方形纸片的长为5xcm，宽为3xcm，再根据长方形的面积为90cm2列出一元二次方程，解得长方形的长和宽，然后判断得无法裁出符合要求的纸片.
14．【答案】解：设每块澄泥砚的售价应上涨x元，则每块的销售利润为（48+x﹣30）元，平均每月可售出（500﹣10x）块，
根据题意得：（48+x﹣30）（500﹣10x）＝11200，
整理得：x2﹣32x+220＝0，
解得：x1＝10，x2＝22（不符合题意，舍去）．
答：每块澄泥砚的售价应上涨10元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每块澄泥砚的售价应上涨x元，则每块的销售利润为(48+x-30)元，平均每月可售出(500-10x)块，根据每块的销售利润×销售量=总利润结合题意可得关于x的方程，求解即可.
15．【答案】（1）解：平均每天的销售数量=100+5x10
=150 (件)
（2）解：设每件商品降价x元，则
(100+10x) (40- x)=6000
解得x1=10，x2=20，
答：当每件商品降价10或20元时，该商店每天销售利润为6000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）当降价5元时，平均每天的销售量为100+5×10，计算即可；
（2）设每件商品降价x元，则平均每天的销售量为(100+10x)，每件的利润为(40-x)，根据每件的利润×销售量=总利润建立方程，求解即可.
16．【答案】（1）设2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x
根据题意得：200（1﹣x）2＝162
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）
答：2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
（2）A店买十送一，A店实际需要购买的足球个数为91个
在A店购买需要的费用为162×91＝14742（元）
在B店购买需要的费用为162×100×910＝14580（元）
∵14742元＞14580元，
∴去B店购买足球更优惠．
答：去B店购买足球更优惠.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据足球2021年的单价×（1-降低的百分率）2= 今年的单价 ，列出方程并解之即可；
（2）根据促销方案，分别计算出A、B两店的费用，再比较即可.