福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 若角与角的终边相同，则， 设集合，则的取值范围为， 是函数且在是减函数的， 设函数，则， 对于实数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

高一数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第II卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若角与角的终边相同，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用终边相同的角的特征即可得解.
【详解】因为角与角的终边相同，
所以，则.
故选：B.
2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解.
【详解】若函数的定义域为，则函数有意义当且仅当，解得，即函数的定义域为.
故选：A.
3. 若函数的图象在上连续不断，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B. 在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C. 在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D. 在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据存在定理即可得结果.
【详解】因为，所以在区间上可能有零点，
因为，，所以在区间上一定有零点，
故选：D.
4. 设集合，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意解对数函数不等式得到集合，由即可得解.
【详解】由题意，，则，
若，则.
故选：C.
5. 已知幂函数的图象过点，设，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数过点求出解析式，由解析式可得函数单调性，再比较大小得解.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
即，故函数在上为增函数，
因为，，，
所以.
故选：D
6. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A. 9B. 10C. 24D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果.
【详解】设，由，得，即，
所以
故选：C.
7. 是函数且在是减函数的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】令， ，图象的对称轴为直线，判断在上单调递减，若要满足且在单调递减，则单调递增，进而得到不等式组，求出的范围，利用逻辑推理判断选项.
【详解】令，，
则图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，
若要满足且在单调递减，
则单调递增，
则，解得,
故，
则是函数且在单调递减的必要不充分条件.
故选：B
8. 设函数(，且)，则（ ）
A. 若，则一定有零点
B. 若，则无零点
C. 若，且，则一定有零点
D. 若，则有两个零点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据选项条件，逐一画图判断，能画出反例的即可排除.
【详解】对于A，如图，此时，当，，此时无零点；
对于B，，如图时，，如图在，，此时有零点；
对于C，反例图如选项A，此时无零点；
对于D，设，，又因为，所以无解，有两解，
故选：D.
【点睛】本题考查函数图像的应用，考查二次函数的性质，考查学生运用图像画反例的能力，是一道难度较大的题目.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 是第二象限角B. 是钝角
C. D. 点在第二象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.
【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；
，C正确；
由，，则点在第二象限，D正确.
故选：ACD.
10. 对于实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由特值法可判断BD，由不等式的性质判断A，由作差法判断C，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，则，则，故A正确；
对于B，取，则，故B错误；
对于C，若，则，即，故C正确；
对于D，因为，当时，，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 值域为
C. 若，且，则
D. 当时，恒有成立
【答案】AC
【解析】
【分析】应用奇偶性定义判断A；在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断B；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D.
【详解】由解析式知：函数定义域为，且，
所以为奇函数，A对；
当时，令，当且仅当时等号成立，
由对勾函数性质知：在上递减，在上递增，且值域为，
而在上递增，故在上递减，在上递增，且，
由奇函数的对称性知：在上递增，在上递减，且，
所以值域为，B错；
由，若且，
所以，故，当且仅当时等号成立，
而时，故等号不成立，所以，C对；
由，即时，D错；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据解析式推导出，进而得到为关键.
12. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.
【详解】对于A，因为，
令，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上是增函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，，
所以，
又因为，所以，
由得即，
因为在上增函数，所以，解得，
所以不等式解集为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则________
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义可求出的值，然后由诱导公式可得得到答案.
【详解】点在角的终边上，则.
由三角函数的定义可得：
又
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.
14. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】易知不等式成立，当时，根据一元二次不等式恒成立即可判断.
【详解】因为命题“”是假命题，所以在R上恒成立，
当时，不等式化为，恒成立；
当时，由不等式恒成立，
得，解得：，
因此实数m的取值范围为．
故答案：.
15. 音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由公式（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）计算得到，设的声音的声波强度为的声音的声波强度为，则是的__________倍.
【答案】
【解析】
【分析】由题意根据指数、对数互换运算即可求解.
详解】由题意，所以.
故答案为：.
16. 设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有四个零点．
则方程化为，
设的两根为，
因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．
令
所以，解得：，
综上：实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）结合指对数的运算性质化简即可；
（2）结合两次平方关系即可求得.
【详解】（1）原式.
（2），
，
即，
，
，，
.
18. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知__________.
（1）求的值；
（2）当为第三象限角时，求的值.
【答案】（1）选①②③，答案均为
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用诱导公式得到，化弦为切，代入求值即可；若选②和③，利用诱导公式和同角三角函数关系得到，化弦为切，代入求值即可；
（2）根据，利用同角三角函数关系求出，利用诱导公式化简，代入求值.
【小问1详解】
若选①，则，
所以；
若选②，则，
即，则，
所以；
若选③，则，即，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，即，
由，则，解得，
为第三象限角，
，
.
19. 已知函数在上的最大值为3，最小值为-1.
（1）求的解析式；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的最大值、最小值求出函数的解析式；
（2）分离参数，根据存在性转化为求出函数的最小值，利用对勾函数单调性得解.
【小问1详解】
依题意得，
，
，
，
，
，即，
.
【小问2详解】
，使得，
令，
由对勾函数的单调性知，在上单调递增，
，
当时，，
的取值范围为.
20. 已知函数.
（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知时，函数的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或5.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质结合的解析式可求的解析式；
（2）首先化简得，再利用换元法结合二次函数的性质求a的值即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，为上的奇函数
综上所述，函数的解析式为；
【小问2详解】
，
设，则，函数化为.
①当，即时，函数在上是增函数
的最小值为，解得（不合题意，舍去）
②当，即时，函数在上是减函数
的最小值为，解得
③当，即时，函数在上有最小值
的最小值为
解得或（不合题意，舍去）
综上所述，实数的值为或5.
21. “双11”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为150元，则实际支付额=140元，其中[x]表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为810元，则实际支付额1340=705元．
（1）小芳计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）已知某商品是小芳常用必需品，其价格为30元/件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
【答案】（1）一次支付好，理由见解析
（2）15件或16件，25元/件
【解析】
【分析】(1)分别按两次支付及一次支付求出支付额，进行比较即可求解；
(2) 设购买x（x∈N*）件，平均价格为y元/件，当1≤x≤14时，及当15≤x≤19时，求出最低平均价格即可求解.
【小问1详解】
解：（1）分两次支付：支付额为
元，
一次支付：支付额为元
因为745＜790，所以一次支付好．
【小问2详解】
（2）设购买x（x∈N*）件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件，
当1≤x≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠，
当1≤x≤14时，，n∈N*，
当x＝2n时，，n∈N*．
当x＝2n+1时，，n∈N*．
所以当1≤x≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．
当15≤x≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠，
，
当x＝2n时，，当n＝8，x＝16时，ymin＝25，
当x＝2n+1时，，y随着n的增大而增大，
所以当n＝7，x＝15时，ymin＝25．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．
22. 已知函数，函数的图像与的图像关于对称.
（1）求的值；
（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意，将代入可得答案.
（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.
（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.
【小问1详解】
由题意，，所以
【小问2详解】
由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，
设，作出函数在上的图像（如下图）
，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数k的取值范围是或
【小问3详解】
记，
其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，
若存在实数m，使得的值域为，
则，即a，b是方程的两个不等正根，
即a，b是的两个不等正根，
所以解得，所以实数m的取值范围是.
【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.