安徽省安庆市潜山市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份安徽省安庆市潜山市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：各位同学，本试卷共三大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．
请认真审题，仔细答卷，不可以使用计算器，相信你一定能考出满意的成绩！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把你认为正确的选项前字母填写在Ⅱ卷对应题号下的方框中．）
1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由中心对称定义即可求解．
【详解】解：选项，不是中心对称图形，不符合题意；
选项，绕中心旋转后能重合，是中心对称图形，符合题意；
选项，不是中心对称图形，不符合题意；
选项，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，解题的关键是理解中心对称图形的定义．
2. 关于抛物线下列说法中错误的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线C. 顶点坐标D. 与y轴交点坐标
【答案】D
【解析】
【分析】根据的图象与性质解答．
【详解】中，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
所以选项A、B、C均正确．
令，得
抛物线与y轴的交点坐标为．
因此选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3. 已知，则（ ）
A. −3B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由，可得，再代入计算即可．
详解】解：∵
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟练地把比例式化为等积式是解本题的关键．
4. 如图，在中，，，则有（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得，设，则，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴，设，则，
∴，
∴，，
，；
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键．
5. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，，连接、相交于点O，若的面积为1，则的面积为（ ）

A. 10B. 12C. 13D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】设，而，可得，由平行四边形，可得，，证明，，，，从而可得答案．
【详解】解：设，而，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键．
6. 已知二次函数的图像上有两点和，则当时，二次函数的值是（ ）
A. −1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线，也可表示为直线，可得，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．
【详解】解：二次函数的图像上有两点和，
∴，
∴，
当时，二次函数．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，图像上的点坐标符合解析式是解题的关键．
7. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（ ）

A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接，由正方形的性质可得：，，，再求解的正切即可.
【详解】解：如图，连接，

由正方形的性质可得：，，，
∴，
故选D.
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是解本题的关键.
8. 2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价−成本价）（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意知：当时，；当时，代入中，
得，
解得：，
∴，
当每天利润为0元时，售价即为成本价．令，
解得：，
由题意可知38不符合条件，
∴，
∴这种口罩的成本价是10元/个；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
9. 如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（ ）

A. 1.8B. 2C. 2.4D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，进而可得．在和中，设正方形的边长为x，根据平行线分线段成比例定理的推论分别列出方程，即可求解．
【详解】解：正方形顶点E、F在边上，点M在边上，
，
又，
．
设正方形的边长为x，
在中，，
，即，
解得，
，
在中，，
，即，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
10. 如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】求解，可得，，即，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；证明，故④符合题意；证明， 可得为等边三角形．故⑤符合题意；证明在以为圆心，为半径的圆上，可得，，，故③不符合题意；从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
∵点D是的中点，，
∴，故④符合题意；
∴，，
∵， ，
∴，
∴，
∴为等边三角形．故⑤符合题意；
∵点D是的中点，，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上，
∴，，
∴，故③不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请把你的答案填写在Ⅱ卷对应题号下的横线上．）
11. 数2和8的比例中项是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例中项的概念：比例中项的平方等于两个数的乘积，设2和8的比例中项是x，列出方程计算即可．
【详解】设2和8的比例中项是x，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】题主要考查了比例中项的概念，设出未知数列出方程是解题的关键．
12. 中，、、，则外接圆圆心坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】先画出图形，证明，可得的外心是斜边的中点，从而可得答案．
【详解】解：如图，∵、、，
∴，

∴的外心是斜边的中点，
∴外接圆的圆心坐标为：，即；
故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形，求解直角三角形的外心坐标，熟记直角三角形的外心是斜边的中点是解本题的关键．
13. 如图，在中，，，若点A在反比例函数图像上，则经过点B的反比例函数表达式为______．

【答案】##
【解析】
【分析】设经过点的反比例函数表达式为，过点作轴于点，过点作轴于点，然后结合相似三角形的性质、三角函数以及的几何意义，即可求解．
【详解】解：设经过点的反比例函数表达式为，过点作轴于点，过点作轴于点，

，
，
，
，
，
，
，
，
即，经过点的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的性质以及三角函数，解题的关键是运用数形结合的思想方法，掌握辅助线的作法．
14. 已知抛物线的函数关系为，则该抛物线的顶点坐标为______（用含a的代数式表示）；若该抛物线与线段有两个公共点，则a的取值范围为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由，可得顶点坐标为：；求解函数与轴的交点坐标分别为：，，抛物线与轴的交点坐标为：，再分两种情况讨论：当时，如图，函数图象与直线在只有1个交点或没有交点，不符合题意，当时，如图，函数图象与直线在有2个交点，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为：；
令，则，
解得：，，
函数与轴的交点坐标分别为：，，
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为：，
当时，如图，

∴函数图象与直线在只有1个交点或没有交点，不符合题意，
当时，如图，

∵函数图象与直线在有2个交点，
∴，
解得：；
故答案为：，
【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）解答应写明文字说明和运算步骤．
15. 已知是锐角，且．求值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据且是锐角求出的度数，再将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：∵且是锐角，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，根据的正弦值求出的度数是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．

（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的；
（2）画出绕C点逆时针旋转后得到的；
（3）直接写出的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）分别确定A，B，C的位似对应点，，，再顺次连接即可；
（2）分别确定A，B绕C点逆时针旋转后的对应点，，再顺次连接即可；
（3）由位似的性质可得：，由旋转的性质可得：， ，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图即为所求；
【小问2详解】
如图即为所求；
【小问3详解】
由位似的性质可得：，由旋转的性质可得：，
∵，
∴
∴
【点睛】本题考查的是位似的作图与位似图形的性质，旋转的作图，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记位似与旋转的性质进行作图是解本题的关键．
17. 已知一个二次函数的图像如图所示，将该函数图像先向左平移2个单位再向下平移1个单位得到新函数的图像，求出新函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】由图像可知该函数为二次函数，对称轴为直线且过点、．设该函数的表达式为，再建立方程组求解解析式，最后利用平移规则可得答案.
【详解】解：由图像可知该函数为二次函数，对称轴为直线且过点、．
设该函数的表达式为，
把、代入得：
，解得：，
∴，
把先向左平移2个单位再向下平移1个单位得，
∴新函数的函数表达式为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图像的平移，掌握待定系数法是解本题的关键.
18. 如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．

（1）求证：；
（2）若的平分线交于点F，交于点G，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）由（1）可得，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案．
【小问1详解】
解：∵，，，，
∴，．
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
由（1）可得，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．
19. 如图，为了测量古塔高度，小明先从与古塔底端B在同一水平线上的点A出发，沿斜坡（坡角为）行走50米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在点E测得古塔顶端C的仰角为，底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内．请据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据，，）．

【答案】70米
【解析】
【分析】延长交于点M，作于点N，可得，由题意可知，，，可得，证明．，求解，从而可得答案．
【详解】解：延长交于点M，作于点N，

则，四边为矩形，
∴．
由题意可知，，，
∴．
在中，，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，．
∴，
∴古塔的高度米．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
20. 如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，可得，，，可得，证明四边形正方形，可得．证明，从而可得结论；
（2）连接，求解，可得，可得，再由勾股定理可得答案.
【小问1详解】
证明：作于点M，作于点N，
又∵，
∴四边形为矩形，
∵，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴即．
【小问2详解】
连接，

由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键.
21. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，其中．

（1）求点B的坐标；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求得两函数的解析式，再联立方程组求解点B坐标即可；
（2）先求得直线与y轴的交点C的坐标得到，再由求解即可；
（3）根据图像直接求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，得：，解得：，
∴；
把代入，得：，解得：，
∴；
联立，解得：或，
∴．
【小问2详解】
解：设与y轴交于点C，当时，，
∴，则，
∴．
【小问3详解】
解：当或时，，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法函数解函数解析式、坐标与图形、解二元一次方程组、图像法解不等式的解集等知识，理解题意，利用数形结合思想求解是解答的关键．
22. 抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，直线与抛物线的对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标；
（2）当时，二次函数的最大值为8，求t的值；
（3）点D是抛物线上A、B两点之间的一动点（包括A、B），点D的坐标为，，求当n取何值时，m的值最小，最小值是多少？
【答案】（1）
（2）
（3），最小值为
【解析】
【分析】（1）先求解抛物线的对称轴，再利用可得答案；
（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线，可得当时，随x的增大而减小，可得当时，取得最大值，再列方程可得答案；
（3）把代入，可得，结合，说明，结合，则，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【小问2详解】
由（1）可知抛物线对称轴为直线，
∴当时，随x的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
∴，
解得：或（舍），
∴．
【小问3详解】
把代入得：，∴，
，
当时，，由（1）可知抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，m取得最小值．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，列二次函数关系式，勾股定理的应用，熟练的建立二次函数模型是解本题的关键．
23. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点F，交于点E，于点H，连接交于点D．
（1）求证：；
（2）若点D为的中点，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，证明，，，可得．，从而可得结论；
（2）证明．由（1）可得，可得，可得．设，再分别表示，从而可得答案；
（3）由（2）可得，，证明，可得，则 ，，．证明，可得，证明，可得．结合，从而可得答案.
【小问1详解】
证明：如图，

∵的垂直平分，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵点D为的中点，
∴，
∴．
由（1）可得，
∴，
∴，
∴．
设，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
【小问3详解】
由（2）可得，，
由（1）同理可得：，而，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，．
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
由（2）可得，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质，并灵活运用是解本题的关键.