数学1.2 数轴习题

这是一份数学1.2 数轴习题，文件包含专题26数轴贯穿有理数的经典考法九大题型教师版-2023年七年级上册数学举一反三系列浙教版docx、专题26数轴贯穿有理数的经典考法九大题型学生版-2023年七年级上册数学举一反三系列浙教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc6890" 【题型1 数轴上点的平移】 PAGEREF _Tc6890 \h 1
\l "_Tc594" 【题型2 数轴上点表示的数】 PAGEREF _Tc594 \h 4
\l "_Tc28893" 【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】 PAGEREF _Tc28893 \h 6
\l "_Tc22819" 【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】 PAGEREF _Tc22819 \h 9
\l "_Tc24075" 【题型6 数轴与方程思想的运算】 PAGEREF _Tc24075 \h 18
\l "_Tc18905" 【题型7 数轴上的动点定值问题】 PAGEREF _Tc18905 \h 20
\l "_Tc15313" 【题型8 数轴上的折叠问题】 PAGEREF _Tc15313 \h 25
\l "_Tc5872" 【题型9 数轴上点的规律问题】 PAGEREF _Tc5872 \h 29
【题型1 数轴上点的平移】
【例1】（2022•惠安县校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，如图所示．
（1）将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 ﹣3 ；
（2）将点C向左平移3个单位得到数m，再向右平移2个单位得到数n，则m，n分别是多少？
（3）怎样移动A、B、C中的两点，使三个点表示的数相同？你有几种方法？
【分析】（1）B点表示的数是1，再向左移动4个单位可得到表示的数是﹣3；
（2）C点表示的数是3，向左移动3个单位得到数m＝3﹣3，再向右移2个单位得到数n＝0+2；
（3）移动方法有3种，①把A、B两点移到C点处；②把A、C两点移到B点处；③把C、B两点移到A点处．
【解答】解：（1）点B表示的数是1，向左平移4个单位是1﹣4＝﹣3，即该点表示的数是﹣3；
（2）点C表示的数是3，所以m＝3﹣3＝0，n＝0+2＝2；
（3）有三种方法：①是C不动，将点A向右平移5个单位，将B向右平移2个单位；
②是B不动，将A向右平移3个单位，将C向左平移2个单位；
③是A不动，将B向左平移3个单位，将C向左平移5个单位．
故答案为：﹣3
【变式1-1】（2022•沂水县一模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，1，将点A向右平移2个单位长度，得到点C（点C不与点B重合），若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【分析】根据CO＝BO且点C不与点B重合可得点C表示的数为﹣1，据此可得a＝﹣1﹣2＝﹣3．
【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣1，
∴a＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：D．
【变式1-2】（2022•乳山市期中）已知点A，B在数轴上表示的数分别是﹣2，3，解决下列问题：
（1）将点A在数轴上向左平移个单位长度后记为A1，A1表示的数是 ﹣2 ，将点B在数轴上向右平移1个单位长度后记为B1，B1表示的数是 4 ；
（2）在（1）的条件下，将点B1向 左 移动 1 个单位长度后记为B2，则B2表示的数与A1表示的数互为相反数；
（3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5个单位长度，则点B2表示的数是多少？
【分析】（1）把点A表示的数减得到A1表示的数，把点B表示的数加上1得到B1表示的数；
（2）若B2表示的数与A1表示的数互为相反数，则B2表示的数为2，然后确定平移的方法与距离；
（3）讨论：若将原点在数轴上向右移动5个单位长度，相当于把点B2向左平移5个单位，从而得到B2表示的数；若将原点在数轴上向左移动5个单位长度，相当于把点B2向右平移5个单位，从而得到B2表示的数．
【解答】解：（1）A1表示的数为﹣22；B1表示的数是4；
（2）在（1）的条件下，将点B1向左移动1个单位长度后记为B2，则B2表示的数与A1表示的数互为相反数；
（3）在（2）的条件下，若将原点在数轴上向右移动5个单位长度，则点B2表示的数是﹣2；若将原点在数轴上向左移动5个单位长度，则点B2表示的数是7；
故答案为﹣2；4；左，1．
【变式1-3】（2022•工业园区期末）【理解概念】
对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以2，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移3个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B、C、D、E、F经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′、C′、D′、E′、F′．
【巩固新知】
（1）若点A表示的数为﹣1，则点A′表示的数为 1 ．
（2）若点B′表示的数为9，则点B表示的数为 3 ．
【应用拓展】
（3）若点C表示的数为5，且CD′＝3CD，求点D表示的数；
（4）已知点E在点F的左侧，将点E′、F′再次进行“倍移”后，得到的点分别为E″、F″，若E″F″＝2020，求EF的长．
【分析】（1）由﹣1×2+3＝1，即可得出对应点A'表示的数为1；
（2）设点B表示的数为x，2x+3＝9，即可得出结论；
（3）设点D表示的数为d，则D′表示的数为 2d+3，由|2d+3﹣5|＝3|d﹣5|，即可得出结论；
（4）设点E表示的数为e，点F表示的数为f，则e＜f，则点E′表示的数为2e+3，点F′表示的数为2f+3，进而可表达E′′和F′′，再根据条件列等式求解．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣1，
∴﹣1×2+3＝1，
∴点A'表示的数为1，
故答案为：1．
（2）设点B表示的数为x，
∵点B'表示的数是9，
∴2x+3＝9，
解得：x＝3，
故答案为：3．
（3）设点D表示的数为d，D′表示的数为 2d+3，
∵CD′＝3CD，
∴|2d+3﹣5|＝3|d﹣5|，
解得：d＝13或d．
∴点D表示的数为13或．
（4）设点E表示的数为e，点F表示的数为f，则e＜f，
∴EF＝f﹣e，
∴点E′表示的数为2e+3，点F′表示的数为2f+3，
∴点E′′表示的数为2（2e+3）+3＝4e+9，点F′′表示的数为2（2f+3）+3＝4f+9，
∴E′′F′′＝4f+9﹣（4e+9）＝4（f﹣e）＝2020，
∴f﹣e＝505，
即EF的长为505．
【题型2 数轴上点表示的数】
【例2】（2022秋•三元区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，本题中π的取值为3.14）
（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 6.28 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【解答】解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28，
∴点A表示的数是6.28，
故答案为：6.28；
（2）①∵+2﹣1﹣5+4＝0，
∴第4次滚动后，Q点距离原点最近；
∵（+2）+（﹣1）+（﹣5）＝﹣4，
∴第3次滚动后，Q点距离原点最远；
②∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17，
∴17×2π×1＝106.76，
∴当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有106.76，
∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
∴1×2π×1≈6.28，
∴此时点Q所表示的数是6.28．
【变式2-1】（2022秋•德惠市校级月考）东方红中学位于东西方向的一条路上，一天我们学校的李老师出校门去家访，他先向西走100米到聪聪家，再向东走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：
（1）如果把这条路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数轴上标出聪聪家与青青家的大概位置（数轴上一格表示50米）．
（2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西20米所表示的数是多少？
（4）你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离？
【分析】画数轴要注意正方向，原点和单位长度；数轴上两点间的距离公式是|a﹣b|＝|﹣100+150|＝50；聪聪家向西20米所表示的数是﹣120；求数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．
【解答】解：（1）依题意可知图为：
（2）∵|﹣100﹣（﹣150）|＝50（m），
∴聪聪家与刚刚家相距50米．
（3）聪聪家向西20米所表示的数是﹣100﹣20＝﹣120．
（4）求数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．
【变式2-2】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（ ）
A．3B．3.1C．πD．3.2
【分析】计算出圆的周长即可知道点O′所表示的数，而圆的周长＝π×直径．
【解答】解：圆的周长＝π×1＝π，
所以O′对应的数是π，
故选：C．
【变式2-3】（2022•南安市模拟）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点DD．点E
【分析】根据d＜1，得到﹣3＜﹣3d，对照数轴即可得出答案．
【解答】解：∵d＜1，
∴﹣3＜﹣3d，
故选：B．
【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】
【例3】（2022秋•岳池县期中）有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．
【解答】解：由数轴上a、b、c的位置关系可知：
①a＜0＜b＜c，
∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，
∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故①正确；
②∵0＜b＜1，
∴b2＜b，b，
∴b2＜b，故②错误；
③∵|a|＞1，1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc；故③错误；
④∵a＜b，c＞a，c＞b，a＜0，
∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+c﹣b+a＝a．故④正确．
故正确的结论有①④，一共2个．
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•新郑市期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述错误的是（ ）
A．数轴是以小明所在的位置为原点
B．数轴采用向北为正方向
C．小刚所在的位置对应的数有可能是
D．小刚在小颖的南边
【分析】根据数轴上四人的位置判断即可．
【解答】解：A、数轴以小明所在的位置为原点，说法正确，不符合题意；
B、数轴采用向北为正方向，说法正确，不符合题意；
C、小刚所在的位置的数可能为﹣2.4，说法不正确，符合题意；
D、小刚在小颖的南边，说法正确，不符合题意．
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•海淀区校级期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么原点的位置可能是（ ）
A．线段AM上，且靠近点AB．线段AB上，且靠近点B
C．线段BM上，且靠近点BD．线段BM上，且靠近点M
【分析】由点A，B，M的位置可知，a和b的符号相反，则a＜0＜b，且|a|＜|b|，结合数轴的定义，可知原点一定在AB上，且靠近点A．
【解答】解：由点A，B，M的位置可知，a＜0＜b，且BM＜AM，
∴b﹣（a+b）＜（a+b）﹣a，即﹣a＜b，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴原点一定在AM上，且靠近点A．
故选：A．
【变式3-3】（2022秋•海陵区校级期中）如图，数轴上的点M，N表示的数分别是m，n，点M在表示0，1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示﹣1，﹣2的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n的值一定小于0
B．|3m+n|的值一定小于2
C．的值可能比2000大
D．的值不可能比2000大
【分析】根据m、n的取值范围，这个选项进行判断即可．
【解答】解：由题意得，0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，
∴m2＞0，﹣2n＞0，
∴m2﹣2n＞0，因此选项A不符合题意；
∵0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，
∴﹣2＜m+n＜0，0＜2m＜2，
∴﹣2＜3m+n＜2，因此选项B符合题意；
m﹣n＝m+（﹣n）＞1，∴1，因此选项C不符合题意；
的值无穷大，而﹣1，因此可能大于2000，因此选项D不符合题意，
故选：B．
【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】
【例4】（2022秋•盱眙县期中）已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”，例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A、B的“4节点”．
请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ 6 ．
（2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为 ﹣2.5或2.5 ；
（3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的一半，且此时点E为点A、B的“n节点”，求出n的值．
【分析】（1）根据“n节点”的概念解答；
（2）设点D表示的数为x，根据“5节点”的定义列出方程分情况，并解答；
（3）需要分类讨论：①当点E在BA延长线上时，②当点E在线段AB上时，③当点E在AB延长线上时，根据BEAE，先求点E表示的数，再根据AC+BC＝n，列方程可得结论．
【解答】解：（1）∵A表示的数为﹣2，B表示的数为2，点C在数轴上表示的数为﹣3，
∴AC＝1，BC＝5，
∴n＝AC+BC＝1+5＝6．
故答案为：6．
（2）如图所示：
∵点D是数轴上点A、B的“5节点”，
∴AD+BD＝5，
∵AB＝4，
∴D在点A的左侧或在点A的右侧，
设点D表示的数为x，则AD+BD＝5，
∴﹣2﹣x+2﹣x＝5或x﹣2+x﹣（﹣2）＝5，
x＝﹣2.5或2.5，
∴点D表示的数为2.5或﹣2.5；
故答案为：﹣2.5或2.5；
（3）分三种情况：
①当点E在BA延长线上时，
∵不能满足BEAE，
∴该情况不符合题意，舍去；
②当点E在线段AB上时，可以满足BEAE，如下图，
n＝AE+BE＝AB＝4；
③当点E在AB延长线上时，
∵BEAE，
∴BE＝AB＝4，
∴点E表示的数为6，
∴n＝AE+BE＝8+4＝12，
综上所述：n＝4或n＝12．
【变式4-1】（2022秋•江夏区校级月考）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝ 14 ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ 8 ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ 12或16 ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．（1）①根据距离定义可直接求得答案14．②根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP＝AB﹣AP进行求解．③需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP＝AB+BP作答．（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．（3）因为M点的速度为每秒2个单位长度，远小于P、Q的速度，因此M点永远在P、Q的右侧．“当其中一个点与另外两个点的距离相等时”这句话可以理解成一点在另外两点正中间．因此有几种情况进行讨论，第一是Q在P和M的正中间，另一种是P在Q和M的正中间．第三种是PQ重合时，MP＝MQ，三种情况分别列式进行计算求解．
【解答】解：
（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14．
②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．
③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x；
当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x．
（3）设经过时间T秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T，Q点坐标为﹣8T，M点坐标为2﹣2T．
当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得Ts．
当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉．
当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ，
∴﹣12﹣6T＝﹣8T，
∴T＝6s．
因此，当T秒时，此时，M，Q＝﹣10，P．
当T＝6秒时，此时，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48．
【变式4-2】（2022•长汀县期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．
（1）数 3 所表示的点是{M，N}的奇点；数 ﹣1 所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？
【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；
根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；
（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知：分4种情况列式：①PB＝3PA；②PA＝3PB；③AB＝3PA；④PA＝3AB；可以得出结论．
【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，
8÷（3+1）＝2，
5﹣2＝3；
﹣3+2＝﹣1．
故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点．
故答案为：3；﹣1；
（2）30﹣（﹣50）＝80，
80÷（3+1）＝20，
30﹣20＝10，
﹣50+20＝﹣30，
﹣50﹣80÷3＝﹣76（舍去），
﹣50﹣80×3＝﹣290（舍去）．
故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．
【变式4-3】（2022•湖里区校级期中）已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点．
（1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点．
①若点M运动到原点O时，此时点M 不是 【A，B】的好点（填是或者不是）
②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间
（3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【分析】（1）画出数轴，并在数轴上标出点A、点B即可；
（2）①先根据数轴上两点的距离表示出BM和AM的长，再根据好点的定义即可求解；
②分三种情况进行讨论：当点M在点B的右侧；当点M在点A与B之间时；当点M在点A的左侧时；代入计算即可；
（3）同理按（2）②分三种情况计算．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）①AM＝2，BM＝7，
2×7＝14≠2，
故点M不是【A，B】的好点；
②当点M在点B的右侧时，
2（t+2）＝t﹣7，
解得t＝﹣11（舍去）；
当点M在点A与B之间时，
2（t+2）＝7﹣t，
解得t＝1；
当点M在点A的左侧时，
2（﹣2+t）＝7+t，
解得t＝11．
故点M的运动方向是向右，运动时间是1或点M的运动方向是向左，运动时间是11秒；
（3）线段BM与AM的差即BM﹣AM的值发生变化，理由是：
设点M对应的数为c，
由BM＝|c﹣7|，AM＝|c+2|，
则分三种情况：当点M在点B的右侧时，
BM﹣AM＝c﹣7﹣c﹣2＝﹣9；
当点M在点A与B之间时，BM﹣AM＝7﹣c﹣c﹣2＝5﹣2c，
当点M在点A的左侧时，BM﹣AM＝7﹣c+c+2＝9．
故答案为：不是．
【题型5 数轴上的行程问题】
【例5】（2022秋•东阿县期末）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 4 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动．当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？
【分析】（1）根据中点的定义可得；
（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程＝速度×时间可得答案．
【解答】解：（1）根据题意知点C表示的数为4，
故答案为：4；
（2）设点C表示的数为x，
当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去；
当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，
当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，
即点C表示的数为﹣6或14；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，
由题意知﹣4+t＝12﹣2t，
解得：t，
则相遇时点P对应的数为﹣4；
②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，
∴点M的运动时间为秒，
则点M所经过的总路程是316单位．
【变式5-1】（2022秋•市中区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数；
（3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）A，B之间的距离为120，M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；
（2）它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），
即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），
即从数﹣20向右运动48个单位到数28；
（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），
相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
【变式5-2】（2022•越秀区二模）甲、乙两个昆虫分别在数轴原点和+8的A处，分别以1单位长度/s，1.5单位长度/s速度同时相向而行．
（1）第一次相遇在数轴上何处；
（2）若同时沿数轴的负方向而行，乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫？
（3）在（1）的条件下，两个昆虫分别到达点A和O处后迅速返回第二次相遇于数轴何处？
【分析】（1）设相遇时间为t，然后列出方程求出t值，再求解即可；
（2）设追上的时间为t，利用追击问题列出方程求解，再求解即可；
（3）设第二次相遇的时间为t，然后求出相遇点到原点的距离即可．
【解答】解：（1）设相遇时间为t，
根据题意得，t+1.5t＝8，
解得t＝3.2，
所以相遇点在数轴上3.2处；
（2）设追上的时间为t，
根据题意得，1.5t﹣t＝8，
解得t＝16，
所以乙昆虫在数轴上﹣16处追上甲昆虫；
（3）设第二次相遇的时间为t，
根据题意得，t+1.5t＝3×8，
解得t＝9.6，
∴9.6×1.5﹣8＝6.4，
所以第二次相遇于数轴6.4处．
【变式5-3】（2022春•南关区校级月考）一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为﹣10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度/s．
（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．
（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？
（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：CM＝1：2．若干秒后，C点在﹣12处，求此时N点在数轴上的位置．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，即可解决问题；
（2）由OA+OB大于6个单位长度，分两种情况，一种B在右侧，一种A点在右侧，再根据时间＝路程÷时间，即可解决问题；
（3）要想始终保持CA＝2CB，则C点的速度应介于A、B两者之间，设出C点速度为x个单位/秒，联立方程，解方程即可得出C点的运动速度，再由速度求时间，由时间求得N点的运动路程从而解得N点在数轴上的位置．
【解答】解：（1）依题意，得 10÷2＝5 5÷5＝1
所以N点的运动速度是1个单位长度/s；
（2）∵OM+ON＝10+5＝15＞6，且M点运动速度大于N点的速度，
∴分两种情况，
①当点M在点N的左侧时，
运动时间为＝（OM+OM﹣6）÷（2﹣1）＝（10+5﹣6）÷1＝9s．
②当点M在点N的右侧时，
运动时间为＝（OM+ON+6）÷（2﹣1）＝（10+5+6）÷1＝21s
综合①②得，9秒和21秒时，两点相距都是6个单位长度；
（3）设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知
10+（2﹣x）×t＝[5+（x﹣1）×t]×2，
整理，得2﹣x＝2x﹣2，
解得x，即C点的运动速度为个单位/秒
∴当C点在﹣12处运动时间为129s，
∴N点运动路程是1×9＝9，
∴N点在数轴上的位置是﹣4．
【题型6 数轴与方程思想的运算】
【例6】（2022秋•越秀区校级期中）在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知3a＝4b﹣3，则代数式c﹣5d的值是（ ）
A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8
【分析】根据3a＝4b﹣3求出b的值，进而求出a，c，d的值，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：∵a＝b﹣2，3a＝4b﹣3，
∴b＝﹣3，
∴c＝﹣2，a＝﹣5，d＝2，
则c﹣5d＝﹣2﹣5×2＝﹣12．
故选：C．
【变式6-1】（2022秋•余姚市期末）数轴上有6个点．每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示：
（1）完成填空：c﹣a＝ 3 ，d﹣c＝ 2 ，d﹣a＝ 5 ；
（2）比较a+d和b+c的大小；
（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．
【分析】（1）根据题意求出所求式子的值即可；
（2）利用作差法比较大小即可；
（3）根据4c＝a+2b求出c的值，进而求出a，b，d的值，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：（1）根据题意得：c﹣a＝3，c﹣b＝1，d﹣a＝5；
故答案为：3；2；5；
（2）∵（a+d）﹣（b+c）＝a+d﹣b﹣c＝（a﹣b）+（d﹣c）＝﹣2+2＝0，
∴a+d＝b+c；
（3）∵a＝c﹣3，b＝c﹣1，
∴4c＝c﹣3+2（c﹣1），
解得：c＝﹣5，a＝﹣8，b＝﹣6，d＝﹣3，
则原式＝﹣8﹣6+5﹣3＝﹣12．
【变式6-2】（2022秋•武昌区校级月考）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且b﹣2a＝9，请在图中标出原点O，并求出3c+d﹣2a的值．
【分析】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．
【解答】解：若原点是A，则a＝0，b＝4，此时b﹣2a＝﹣8，和已知不符，排除；
若原点是点B，则a＝﹣4，b＝0，此时b﹣2a＝8，和已知相不符，排除；
若原点是点D，则a＝﹣8，b＝﹣4，此时b﹣2a＝12，和已知不相符，排除；
若原点是点C，则a＝﹣5，b＝﹣1，此时b﹣2a＝9，和已知相符，正确；
当点C是原点时，3c+d﹣2a＝3×0+3﹣2×（﹣5）＝13．
【变式6-3】（2022•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点 C ．
【分析】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．
【解答】解：若原点为A，则a＝0，d＝7，此时d+2a+5＝12，与题意不符合，舍去；
若原点为B，则a＝﹣3，d＝4，此时d+2a+5＝﹣3，与题意不符合，舍去；
若原点为C，则a＝﹣4，d＝3，此时d+2a+5＝0，与题意符合；
若原点为D，则a＝﹣7，d＝0，此时d+2a+5＝﹣9，与题意不符合，舍去．
故答案为：C．
【题型7 数轴上的动点定值问题】
【例7】（2022秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为 6 ； 运动1秒后线段AB的长为 4 ；
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为 5t 和 3t ；
（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值； 若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据两点间距离公式计算即可；
（2）根据路程＝速度×时间，计算即可；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）分两种情形构建方程解决问题；
【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，
运动1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，
∴AB＝﹣1+5＝4．
故答案为6，4．
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t，3t，
故答案为5t，3t．
（3）由题意：（5﹣3）t＝6，
∴t＝3．
（4）由题意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，
解得t或，
∴t的值为或秒时，线段AB的长为5．
【变式7-1】（2022秋•绥宁县期中）阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝ 5 cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为 ﹣5或3 ；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为 ﹣1+x ；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【分析】（1）根据题意容易画出图形；
（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；
设D表示的数为a，
∵AD＝4cm，
∴|﹣1﹣a|＝4，
解得：a＝﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
故答案为：5，﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
故答案为：﹣1+x；
（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝（5+3t）cm，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝（2+3t）cm，
∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3（cm），
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．
【变式7-2】（2022秋•黄陂区期末）数轴上A，B，C三点对应的数a，b，c满足（a+40）2+|b+10|＝0，B为线段AC的中点．
（1）直接写出A，B，C对应的数a，b，c的值．
（2）如图1，点D表示的数为10，点P，Q分别从A，D同时出发匀速相向运动，点P的速度为6个单位/秒，点Q的速度为1个单位/秒．当点P运动到C后迅速以原速返回到A又折返向C点运动；点Q运动至B点后停止运动，同时P点也停止运动．求在此运动过程中P，Q两点相遇点在数轴上对应的数．
（3）如图2，M，N为A，C之间两点（点M在N左边，且它们不与A，C重合），E，F分别为AN，CM的中点，求的值．
【分析】（1）根据（a+40）2+|b+10|＝0，可求出a、b的值，B为线段AC的中点．进而可求出c的值；
（2）分两种情况进行解答，一种是在A、D之间首次相遇，二是点P到C后返回追及Q相遇，设运动时间，根据相遇、追及问题数量关系列方程求出时间，进而求出相应时所对应的数；
（3）根据线段的中点的意义，用中点线段EF表示AC后即可得出答案．
【解答】解：（1）∵（a+40）2+|b+10|＝0，
∴a＝﹣40，b＝﹣10，
∵B为线段AC的中点，
∴10，
∴c＝20，
即：a＝﹣40，b＝﹣10，c＝20；
（2）如图1，设运动的时间为t秒，
①当P与Q第一次相遇时，有6t+t＝10﹣（﹣40），
解得，t，
此时相遇点对应的数为10；
②当点P到C返回追上点Q时，有6t﹣60＝t+10，
解得，t＝14，
此时相遇点对应的数为10﹣14＝﹣4，
答：在此运动过程中P，Q两点相遇点在数轴上对应的数为﹣4或；
（3）如图2，∵E，F分别为AN，CM的中点，
∴AN＝2EN，CM＝2MF，
∴AC＝2EN+2MF﹣MN
∴2，
【变式7-3】（2022•荔湾区期末）数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动．
（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB＝16，ON＝2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；
（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点C，D运动的过程中，满足OD＝4AC，若点M为直线AB上一点，且AM﹣BM＝OM，求的值．
【分析】（1）设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，表示出CD的长，进而用b﹣a＝16代入即可求出答案；
（2）设运动的时间为t秒，由OD＝4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM﹣BM＝OM得到m、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【解答】解：（1）设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，则，b﹣a＝16，
∵点C是OA的中点，点D是BN的中点，
∴点C在数轴上表示的数为，点D在数轴上表示的数为，
∴CD9，
答：CD的长为9；
（2）设运动的时间为t秒，点M表示的数为m，
则OC＝t，BD＝4t，即点C在数轴上表示的数为﹣t，点D在数轴上表示的数为b﹣4t，
∴AC＝﹣t﹣a，OD＝b﹣4t，
由OD＝4AC得，b﹣4t＝4（﹣t﹣a），
即：b＝﹣4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（m﹣b）＝m，即：m＝b﹣a；
∴1；
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝m，即：m＝a+b；
∴；
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝﹣m，即：ma；
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM﹣BM＝OM得，a﹣m﹣（b﹣m）＝﹣m，即：m＝b﹣a；
而m＜0，b﹣a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【题型8 数轴上的折叠问题】
【例8】（2022秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 D
A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ﹣1009 ．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 ﹣2015 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ﹣1008 B点表示 1010 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；
②探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；
②由对称中心是1，AB＝2018，则A点表示﹣1008，B点表示1010；
③利用中点坐标公式即可解决问题．
【解答】解：（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），
故选D．
②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是﹣1009．
（2）①∵对称中心是1，
∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，
②∵对称中心是1，AB＝2018，
∴则A点表示﹣1008，B点表示1010，
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为．
故答案是；（1）①D； ②﹣1009；
（2）①﹣2015； ②﹣1008，1010；
（3）．
【变式8-1】（2022秋•苏州期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 ﹣2 ．
【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，可以表示出AC的距离，在根据A′B＝3，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程求解即可．
【解答】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B点表示的数为9，
∴点A′表示的数为9+3＝12，
根据折叠得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【变式8-2】（2022秋•丰城市期中）操作探究：小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴（如图所示），
操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 3 表示的点重合；
操作二：（2）折叠纸面，使﹣2表示的点与6表示的点重合，请你回答以下问题：
①﹣5表示的点与数 9 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为20，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数各是多少
③已知在数轴上点M表示的数是m，点M到第②题中的A、B两点的距离之和为30，求m的值．
【分析】（1）直接利用已知得出中点进而得出答案；
（2）①利用﹣2表示的点与6表示的点重合得出中点，进而得出答案；
②利用数轴再结合A、B两点之间距离为20，即可得出两点表示出的数据；
③利用②中A，B的位置，利用分类讨论进而得出m的值．
【解答】解：（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是0，
∴﹣3表示的点与3表示的点重合，
故答案为：3；
（2）∵﹣2表示的点与6表示的点重合，
∴对称中心是数2表示的点，
①﹣5表示的点与数9表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为20（A在B的左侧），
则点A表示的数是2﹣10＝﹣8，点B表示的数是2+10＝12．
③当点M在点A左侧时，则12﹣m+（﹣8﹣m）＝30，
解得：m＝﹣13；
当点M在点B右侧时，则m﹣（﹣8）+m﹣12＝30，
解得：m＝17；
综上，m＝﹣13或17
【变式8-3】（2022秋•邗江区校级月考）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 2 表示的点重合
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①数7对应的点与数 ﹣5 对应的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（点A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
（3）点C在数轴上，将它向右移动4个单位，再向左2个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则C原来表示的数是多少？请列式计算，说明理由．
【分析】（1）由折叠后1表示的点与﹣1表示的点重合，可知折叠中心为0，进而得出答案为2，
（2）由（1）的方法可知折叠中心表示的数为1，①根据数轴上两点之间的距离的计算方法，列方程求解即可，②设两个未知数，列方程组求解，
（3）由题意得点C的新位置在原位置的右边，又关于原点对称，且新位置与原位置的距离为2，列方程可求．
【解答】解：（1）∵折叠后1表示的点与﹣1表示的点重合，
∴对折的中心所表示的数为0，
∵﹣2到原点0的距离为2，
∴只有2到原点0的距离为2，
故答案为：2．
（2）∵折叠后﹣2表示的点与4表示的点重合
∴折叠中心表示的数为（﹣2+4）÷2＝1，
①设这个数为m，则有：7﹣1＝1﹣m，
解得：m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
②设A表示的数为a，B表示的数为b，由题意得，
b﹣1＝1﹣a且b﹣a＝2019，
解得，a＝﹣1008.5，b＝1010.5，
答：A点表示的数是﹣1008.5，B点表示的数是1010.5．
（3）设点C原位置表示的数为c，则点C的新位置表示的数为c+2，根据题意得，
c+2＝﹣c，
解得，c＝﹣1，
答：C原来表示的数是﹣1．
【题型9 数轴上点的规律问题】
【例9】（2022秋•茅箭区校级月考）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互为相反数．
（1）求a，b，c的值．（2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数．
（3）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．
【分析】（1）由|a+6|+（b+3）2＝0，可得a、b，由b，c互为相反数，可得c；
（2）根据时间＝路程÷速度求出相遇的时间，即可得出点m表示的数．
（3）设y秒后丙到A，B，C三点的距离之和为40个单位，分丙应位于AB或BC之间两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵|a+6|+（b+3）2＝0，
∴a＝﹣6，b＝﹣3，
∵b，c互为相反数，
∴b+c＝0．解得c＝3，
（2）（3+6）÷（4+6）＝0.9，
点m表示的数为：3﹣0.9×6＝﹣2.4；
（3）第1次向右移动1个单位长度是﹣2；
第2次向右移动2个单位长度是0；
第3次向左移动3个单位长度是﹣3；
第4次向左移动4个单位长度是﹣7；
第5次向右移动5个单位长度是﹣2；
第6次向右移动6个单位长度是4；
第7次向左移动7个单位长度是﹣3；
第8次向左移动8个单位长度是﹣11．
依次规律可得﹣2每四次出现一次，
2019÷4＝504…3，
所以第2017次是﹣2，第2018次是﹣2+2018＝2016，第2019次是2016﹣2019＝﹣3．
答：点P表示的数是﹣3．
【变式9-1】（2022秋•成都期末）在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2016在数轴上表示的数是 ﹣1 ．
【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵点A1在数轴表示的数是，
∴A22，
A31，
A4，
A52，
A6＝﹣1，
…，
2016÷3＝672，
所有点A2016在数轴上表示的数是﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式9-2】（2022秋•翁牛特旗期中）已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点．
（1）数轴上A、B两点的距离为 8 ．
（2）当P点满足PB＝2PA时，求P点表示的数．
（3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4．
①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则k的值是多少？
②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是 3000 （请直接写答案）．
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法，即两个数差的绝对值，
（2）分两种情况，在点A的左侧和右侧，用（1）中的方法列方程解答即可，
（3）①利用距离公式得到a+2﹣4+6﹣8+10﹣12＝12，求出a即可，
②同①方法建立方程求出a即可．
【解答】解：（1）|+2﹣（﹣6）|＝8，
故答案为：8．
（2）设点表示的数为x，
①当点P在点A的左侧时，有2（2﹣x）＝x﹣（﹣6）
解得，x，
②当点P在点A的右侧时，有x+6＝2（x﹣2），
解得，x＝10
答：点P所表示的数为或10．
（3）①设k0所表示的数为a，由题意得，
a+2﹣4+6﹣8+10﹣12＝12，
解得，a＝18，
答：k0所表示的数为18．
②由题意的，
a+2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+2002﹣2004＝1998，
解得，a＝3000，
故答案为：3000．
【变式9-3】（2022秋•海淀区校级期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数中，最小的数是 ﹣5 ；
（2）若使点B所表示的数最大，则需将点C至少向 左 移动 5 个单位；
（3）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 3或7 个单位；
（4）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 3 种，其中移动所走的距离和最少的是 7 个单位；
（5）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第101次时，应跳 201 步，落脚点表示的数是 ﹣101 ；跳了第n次（n是正整数）时，落脚点表示的数是 （﹣1）nn ．
【分析】（1）根据图形，点B向左移动3个单位，则点B表示﹣5，然后根据数轴上的数右边的总比左边的大解答；
（2）点C先左移动至点B的左边，即可是点B表示的数最大；
（3）先求出A、B两点的距离为2，然后使C到B的距离等于2即可；
（4）每固定一个点就是一种方法，所以共有三种，分别求出三种情况的距离之和，即可得解；
（5）根据规律发现，所条步数是奇数列，写出表达式，然后把n＝101代入进行计算即可求解，根据向左跳是负数，向右跳是正数，列出算式，然后两个数一组就，计算后再求和即可，当跳了n次时，分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）点B向左移动3个单位，表示的数是﹣5，根据图形，最小的数是﹣5；
（2）点B、C之间的距离是3﹣（﹣2）＝3+2＝5，
∴向左移动5个单位；
（3）AB＝（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2，
设点C移动后表示的数是x，则|﹣2﹣x|＝2，
∴x+2＝2或x+2＝﹣2，
解得x＝0或x＝﹣4，
当x＝0时，3﹣0＝3，
当x＝﹣4时，3﹣（﹣4）＝7，
∴点C向左移动3或7个单位；
（4）有①点A、B向点C移动，②点B、C向点A移动，③点A、C向点B移动，三种情况，
①移动距离为：7+5＝12，
②移动距离为：2+7＝9，
③移动距离为：2+5＝7，
∴所走距离之和最少的是A、C向点B移动，为7；
∴移动方法有3种，最少距离之和为7；
（5）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步，
…
∴第n次跳（2n﹣1）步，
当n＝101时，2×101﹣1＝202﹣1＝201，
此时，所表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣197+199﹣201，
＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣197+199）﹣201，
＝2201，
＝100﹣201，
＝﹣101，
①当n是偶数时，表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣（2n﹣3）+（2n﹣1），
＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）]，
＝2n，
②当n是奇数时，表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣（2n﹣5）+（2n﹣3）﹣（2n﹣1），
＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（2n﹣5）+（2n﹣3）]﹣（2n﹣1），
＝2（2n﹣1），
＝n﹣1﹣2n+1，
＝﹣n，
∴跳了第n次（n是正整数）时，落脚点表示的数是（﹣1）nn．
故答案为：（1）﹣5；（2）左，5；（3）3或7；（4）3，7；（5）201，﹣101，（﹣1）nn