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江苏省苏州市2022-2023学年 七年级下数学第二次月考模拟卷（一）
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这是一份江苏省苏州市2022-2023学年 七年级下数学第二次月考模拟卷（一），共25页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列命题中共有几个真命题，观察等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题）
1．下列运算正确的是（ ）
A．3ab﹣ab＝3B．（a+b）2＝a2+b2
C．a÷a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b）2＝9a4b2
2．若m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣2＞n+2B．2m＞2nC．−m2＞n2D．m2＞n2
3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
4．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（ ）
A．1B．5C．﹣1D．﹣5
5．下列命题中共有几个真命题（ ）
①各边相等的两个多边形一定全等；
②三角形的三个内角中至少有两个锐角；
③三角形的内角大于它的外角；
④同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．根据下列条件不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°D．AB＝3，AC＝4，∠C＝5°
7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ）
A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2
8．如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的有（ ）个
①当α＝15°时，DC∥AB；②当OC⊥AB时，α＝45°；③当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°；④整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共8小题）
9．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ．
10．若am＝8，an＝2，则am﹣n＝ ．
11．已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y＝ ．
12．一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 ．
13．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．
14．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 ．
15．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ．（填写序号）
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1）计算−12022+(π−3)0+(12)−1；
（2）（﹣a）3•a2+（2a4）2÷a3．
18．分解因式：
（1）6x2﹣9xy+3x；
（2）xy2﹣x．
19．（1）解方程组x+2y=42x+3y=1；
（2）解不等式组3(x−1)＜5x+12x−4≤x−12，并写出它的最大整数解．
20．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b=12．
21．如图，在△ABC中，点E是AC上一点，AE＝AB，过点E作DE∥AB，且DE＝AC．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝76°，∠ADE＝32°，∠ECD＝52°，求∠CDE的度数．
22．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
23．【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
（1）方法一可表示为 ；
方法二可表示为 ；
（2）根据方法一和方法二，你能得出a，b，c之间的数量关系是 （等式的两边需写成最简形式）；
（3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为 ．
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ．（等号两边需化为最简形式）
（5）已知2m﹣n＝4，mn＝2，利用上面的规律求8m3﹣n3的值．
24．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒．
（1）CP的长为 cm（用含t的代数式表示）；
（2）若存在某一时刻t，使得△EBP和△PCQ同时为等腰直角三角形时，求t与a的值．
（3）若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，求t与a的值．
25．如图，MN∥GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO＝116°，∠OBH＝144°．
（1）∠AOB＝ °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB＝35°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE＝n∠OAE，∠HBF＝n∠OBF，且∠AFB＝60°，求n的值．
江苏省苏州市2022-2023学年度
七年级下数学第二次月考模拟卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列运算正确的是（ ）
A．3ab﹣ab＝3B．（a+b）2＝a2+b2
C．a÷a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b）2＝9a4b2
【考点】完全平方公式；负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则作答．
【解答】解：A、3ab﹣ab＝2ab，故本选项不符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
C、a÷a﹣1＝a2，故本选项不符合题意；
D、（﹣3a2b）2＝9a4b2，故本选项符合题意．
故选：D．
2．若m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣2＞n+2B．2m＞2nC．−m2＞n2D．m2＞n2
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、左边减2，右边加2，故A错误；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、左边除以﹣2，右边除以2，故C错误；
D、两边乘以不同的数，故D错误；
故选：B．
3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【考点】平行线的性质．
【分析】作BD∥AE，如图，利用平行线的传递性得到BD∥CF，再根据平行线的性质由BD∥AE得到∠ABD＝∠A＝120°，则∠DBC＝30°，然后利用BD∥CF求出∠C．
【解答】解：作BD∥AE，如图，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∵BD∥AE，
∴∠ABD＝∠A＝120°，
∴∠DBC＝150°﹣120°＝30°，
∵BD∥CF，
∴∠C+∠DBC＝180°，
∴∠C＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
4．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（ ）
A．1B．5C．﹣1D．﹣5
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】先分解，再对比求出a．
【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．
∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．
∴a＝1．
故选A．
5．下列命题中共有几个真命题（ ）
①各边相等的两个多边形一定全等；
②三角形的三个内角中至少有两个锐角；
③三角形的内角大于它的外角；
④同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】根据全等图形的概念、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：①各边相等的两个多边形不一定全等，故本小题说法是假命题；
②三角形的三个内角中至少有两个锐角，本小题说法是真命题；
③三角形的内角大于与它不相邻的外角，故本小题说法是假命题；
④两直线平行，同旁内角互补，故本小题说法是假命题；
故选：A．
6．根据下列条件不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°D．AB＝3，AC＝4，∠C＝5°
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．符合全等三角形的判定定理SSS，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
B．符合全等三角形的判定定理SAS，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
C．符合两直角三角形全等的判定定理HL，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的△ABC，故本选项符合题意；
故选：D．
7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ）
A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2
【考点】平方差公式；规律型：数字的变化类；多项式乘多项式．
【分析】先根据规律求x的值，再求代数式的值．
【解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．
∴x6﹣1＝0．
∴x6＝1．
∴（x3）2＝1．
∴x3＝±1．
∴x＝±1．
当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．
当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．
故选：D．
8．如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的有（ ）个
①当α＝15°时，DC∥AB；②当OC⊥AB时，α＝45°；③当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°；④整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
A．1B．2C．3D．4
【考点】旋转的性质；平行线的判定与性质；直角三角形的性质．
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况分别计算出夹角即可；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD、OA和CD、OB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．
【解答】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，
∴∠OMN＝∠C，
∴DC∥AB，
故①正确；
当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，
∴α＝45°或225°，
故②错误；
当边OB与边OD在同一直线上时，设CD与AB交点为E，分以下两种情况，
（1）OB与OD重合时，如下图
此时∠EBO＝∠ABO＝45°，∠EDB＝180°﹣∠ODC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠E＝180°﹣∠EBO﹣∠EDB＝180°﹣45°﹣120°＝15°，
（2）OB与OD在同一直线上且不重合时，如下图，
此时∠∠EBD＝45°，∠EDB＝180°﹣∠ODC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠E＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB＝180°﹣45°﹣120°＝15°，
故③正确；
整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，故有AB和CD、OA和CD、OB和CD存在平行，还有AB与OC，OD分别平行，根据图形的对称性可判断有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，
故④正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
【考点】命题与定理．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”，
故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形．
10．若am＝8，an＝2，则am﹣n＝ 4 ．
【考点】同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的除法法则求解．
【解答】解：am﹣n=aman=8÷2＝4．
故答案为：4．
11．已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y＝ 5﹣3x ．
【考点】解二元一次方程．
【分析】先用含有x的式子表示t，然后代入y＝3t﹣1中，直接求解．
【解答】解：∵x＝2﹣t，
∴t＝2﹣x，
代入y＝3t﹣1得，y＝3（2﹣x）﹣1＝5﹣3x，
即y＝5﹣3x．
故答案为：5﹣3x．
12．一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 ﹣3＜a≤﹣2 ．
【考点】一元一次不等式的整数解；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先根据数轴写出不等式的解集，再根据该不等式有两个负整数解，可以写出这两个负整数，从而可以得到a的取值范围．
【解答】解：由数轴可得，
x≥a，
∵该不等式有两个负整数解，
∴这两个负整数解是﹣1，﹣2，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故答案为：﹣3＜a≤﹣2．
13．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 2＜x≤4 ．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意得：3(3x−2)−2≤283[3(3x−2)−2]−2＞28，
解得：2＜x≤4，
故答案为：2＜x≤4．
14．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△DEF，利用割补法可得阴影部分的面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
在△BAF和△EDF中，
∠BAD=∠D∠AFB=∠DFEBF=EF，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△DEF，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形ACEF+S△AFB＝S△ACD=12⋅AC⋅AD=12×6×8=24．
故答案为：24．
15．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ﹣2021 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减得出m+n＝﹣1，将m2＝n+2021两边乘以m，n2＝m+2021两边乘以n再相加便可得出．
【解答】解：将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减，
得m2﹣n2＝n﹣m，
（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），
m+n＝﹣1，
解法一：
将m2＝n+2021两边乘以m，得m³＝mn+2021m①，
将n2＝m+2021两边乘以n，得n³＝mn+2021n②，
由①+②得：m³+n³＝2mn+2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021×（﹣1）＝﹣2021．
故答案为﹣2021．
解法二：
∵m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），
∴m2﹣n＝2021，n2﹣m＝2021（m≠n），
∴m3﹣2mn+n3
＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2021m+2021n
＝2021（m+n）
＝﹣2021，
故答案为﹣2021．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ①②④⑤ ．（填写序号）
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF＝PG＝PH，
∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD与△PGE中，∠DFP=∠EGPPF=PG∠DPF=∠EPG，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中，BP=BPPF=PH，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD＝AE，③不正确；
故答案为：①②④⑤．
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1）计算−12022+(π−3)0+(12)−1；
（2）（﹣a）3•a2+（2a4）2÷a3．
【考点】整式的除法；零指数幂；负整数指数幂；有理数的减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+2
＝2；
（2）原式＝﹣a5+4a8÷a3
＝﹣a5+4a5
＝3a5．
18．分解因式：
（1）6x2﹣9xy+3x；
（2）xy2﹣x．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）直接提公因式3x可分解因式；
（2）先提公因式x，再根据平方差公式可解答．
【解答】解：（1）6x2﹣9xy+3x
＝3x（2x﹣3y+1）；
（2）xy2﹣x
＝x（y2﹣1）
＝x（y+1）（y﹣1）．
19．（1）解方程组x+2y=42x+3y=1；
（2）解不等式组3(x−1)＜5x+12x−4≤x−12，并写出它的最大整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解二元一次方程组；解一元一次不等式组．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大整数解即可．
【解答】解：（1）x+2y=4①2x+3y=1②，
①×2﹣②得：y＝7，
把y＝7代入①得：x+14＝4，
解得：x＝﹣10，
则方程组的解为x=−10y=7；
（2）3(x−1)＜5x+1①2x−4≤x−12②，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤73，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤73，
则不等式组最大整数解为2．
20．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b=12．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2＝2ab，
当a＝﹣3，b=12时，原式＝﹣3．
21．如图，在△ABC中，点E是AC上一点，AE＝AB，过点E作DE∥AB，且DE＝AC．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝76°，∠ADE＝32°，∠ECD＝52°，求∠CDE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠AED，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠EAD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠AED，
在△ABC和△EAD中，AE=AB∠BAC=∠AEDDE=AC，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△EAD，
∴∠B＝∠EAD＝76°，
由三角形的外角性质得，∠CED＝∠EAD+∠ADE＝76°+32°＝108°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣108°﹣52°＝20°．
22．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，根据“如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
依题意得：3x+2y=56x+4y=32，
解得：x=16y=4．
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，
依题意得：16m+4（100﹣m）≤1000，
解得：m≤50．
答：甲种工具最多购买50件．
23．【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
（1）方法一可表示为 12ab+12ab+12c2 ；
方法二可表示为 12（a+b）2 ；
（2）根据方法一和方法二，你能得出a，b，c之间的数量关系是 c2＝a2+b2 （等式的两边需写成最简形式）；
（3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为 10 ．
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ．（等号两边需化为最简形式）
（5）已知2m﹣n＝4，mn＝2，利用上面的规律求8m3﹣n3的值．
【考点】勾股定理；认识立体图形；几何体的表面积．
【分析】（1）分两种方法表示出面积即可；
（2）把（1）中的式子整理可得答案；
（3）把数值代入（2）中得到的结论即可；
（4）分两种方法表示出体积即可；
（5）根据（4）的等式代入数值可得答案．
【解答】解：（1）方法一可表示为：12ab+12ab+12c2；
方法二可表示为：12（a+b）2．
故答案为：12ab+12ab+12c2；12（a+b）2．
（2）∵12ab+12ab+12c2=12（2ab+c2），
12（a+b）2=12（2ab+a2+b2），
∴12（2ab+c2）=12（2ab+a2+b2），
∴c2＝a2+b2．
故答案为：c2＝a2+b2．
（3）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，
∴c＝10．
故答案为：10．
（4）方法一可表示为：（a+b）3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（5）由（4）可得：
（2m﹣n）3＝8m3﹣12m2n+6mn2﹣n3＝8m3﹣n3﹣6mn（2m﹣n），
∵2m﹣n＝4，mn＝2，
∴64＝8m3﹣n3﹣6×2×4，
∴8m3﹣n3＝64+48＝112．
24．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒．
（1）CP的长为 （10﹣4t） cm（用含t的代数式表示）；
（2）若存在某一时刻t，使得△EBP和△PCQ同时为等腰直角三角形时，求t与a的值．
（3）若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，求t与a的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据PC＝BC﹣PB计算即可．
（2）根据等腰直角三角形的性质构建方程求解即可．
（3）分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答．
【解答】解：（1）PC＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm，
故答案为（10﹣4t）．
（2）当△BPE是等腰直角三角形时，BE＝BP＝6cm，
∴t=64=1.5，
当△PCQ是等腰直角三角形时，PC＝CQ＝10﹣6＝4（cm），
∴a=41.5=83
综上所述，t＝1.5，a=83．
（2）当△BPE≌△CPQ时，
BP＝PC，BE＝CQ，
即4t＝10﹣4t，at＝6，
解得t=54，a＝4.8
当△BPE≌△CQP时，
BP＝CQ，BE＝PC，
即4t＝at，10﹣4t＝6，
解得t＝1，a＝4．
25．如图，MN∥GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO＝116°，∠OBH＝144°．
（1）∠AOB＝ 100 °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB＝35°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE＝n∠OAE，∠HBF＝n∠OBF，且∠AFB＝60°，求n的值．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）过O作OP∥MN，由MN∥OP∥GH，得∠NAO+∠POA＝180°，∠POB+∠OBH＝180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH＝360°，故∠AOB＝100°；
（2）过C作CE∥MN，过D作DF∥MN，由MN∥CE∥DF∥GH，得∠NAC＝∠ACE，∠ECD＝∠CDF，∠FDB＝∠DBG，而AC平分∠NAO，BD平分∠OBG，∠NAO＝116°，∠OBH＝144°，即得∠ACE＝∠NAC=12∠NAO＝58°，∠FDB＝∠DBG=12∠OBG=12（180°﹣∠OBH）＝18°，根据∠CDB＝35°，得∠CDF＝∠CDB﹣∠FDB＝17°＝∠ECD，即得∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝75°；
（3）设BF交MN于T，由∠NAO＝116°，得∠MAO＝64°，故∠MAE=nn+1×64°＝∠FAT，同理∠OBH＝144°，∠HBF＝n∠OBF，得∠FBH=nn+1×144°，从而∠FTN＝∠FBH=nn+1×144°，又∠FTN＝∠F+∠FAT，得nn+1×144°＝60°+nn+1×64°，即得n＝3．
【解答】解：（1）过O作OP∥MN，如图：
∵MN∥GH，
∴MN∥OP∥GH，
∴∠NAO+∠POA＝180°，∠POB+∠OBH＝180°，
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH＝360°，
∵∠NAO＝116°，∠OBH＝144°，
∴∠AOB＝360°﹣116°﹣144°＝100°，
故答案为：100．
（2）过C作CE∥MN，过D作DF∥MN，如图：
∵MN∥GH，
∴MN∥CE∥DF∥GH，
∴∠NAC＝∠ACE，∠ECD＝∠CDF，∠FDB＝∠DBG，
∵AC平分∠NAO，BD平分∠OBG，∠NAO＝116°，∠OBH＝144°，
∴∠ACE＝∠NAC=12∠NAO＝58°，∠FDB＝∠DBG=12∠OBG=12（180°﹣∠OBH）＝18°，
∵∠CDB＝35°，
∴∠CDF＝∠CDB﹣∠FDB＝17°＝∠ECD，
∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝75°；
（3）设BF交MN于T，如图：
∵∠NAO＝116°，
∴∠MAO＝64°，
∵∠MAE＝n∠OAE，
∴∠MAE=nn+1×64°＝∠FAT，
∵∠OBH＝144°，∠HBF＝n∠OBF，
∴∠FBH=nn+1×144°，
∵MN∥GH，
∴∠FTN＝∠FBH=nn+1×144°，
∵∠FTN＝∠F+∠FAT，
∴nn+1×144°＝60°+nn+1×64°，
解得n＝3
一．选择题（共8小题）
1．下列运算正确的是（ ）
A．3ab﹣ab＝3B．（a+b）2＝a2+b2
C．a÷a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b）2＝9a4b2
2．若m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣2＞n+2B．2m＞2nC．−m2＞n2D．m2＞n2
3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
4．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（ ）
A．1B．5C．﹣1D．﹣5
5．下列命题中共有几个真命题（ ）
①各边相等的两个多边形一定全等；
②三角形的三个内角中至少有两个锐角；
③三角形的内角大于它的外角；
④同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．根据下列条件不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°D．AB＝3，AC＝4，∠C＝5°
7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ）
A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2
8．如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的有（ ）个
①当α＝15°时，DC∥AB；②当OC⊥AB时，α＝45°；③当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°；④整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共8小题）
9．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ．
10．若am＝8，an＝2，则am﹣n＝ ．
11．已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y＝ ．
12．一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 ．
13．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．
14．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 ．
15．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ．（填写序号）
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1）计算−12022+(π−3)0+(12)−1；
（2）（﹣a）3•a2+（2a4）2÷a3．
18．分解因式：
（1）6x2﹣9xy+3x；
（2）xy2﹣x．
19．（1）解方程组x+2y=42x+3y=1；
（2）解不等式组3(x−1)＜5x+12x−4≤x−12，并写出它的最大整数解．
20．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b=12．
21．如图，在△ABC中，点E是AC上一点，AE＝AB，过点E作DE∥AB，且DE＝AC．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝76°，∠ADE＝32°，∠ECD＝52°，求∠CDE的度数．
22．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
23．【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
（1）方法一可表示为 ；
方法二可表示为 ；
（2）根据方法一和方法二，你能得出a，b，c之间的数量关系是 （等式的两边需写成最简形式）；
（3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为 ．
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ．（等号两边需化为最简形式）
（5）已知2m﹣n＝4，mn＝2，利用上面的规律求8m3﹣n3的值．
24．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒．
（1）CP的长为 cm（用含t的代数式表示）；
（2）若存在某一时刻t，使得△EBP和△PCQ同时为等腰直角三角形时，求t与a的值．
（3）若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，求t与a的值．
25．如图，MN∥GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO＝116°，∠OBH＝144°．
（1）∠AOB＝ °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB＝35°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE＝n∠OAE，∠HBF＝n∠OBF，且∠AFB＝60°，求n的值．
江苏省苏州市2022-2023学年度
七年级下数学第二次月考模拟卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列运算正确的是（ ）
A．3ab﹣ab＝3B．（a+b）2＝a2+b2
C．a÷a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b）2＝9a4b2
【考点】完全平方公式；负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则作答．
【解答】解：A、3ab﹣ab＝2ab，故本选项不符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
C、a÷a﹣1＝a2，故本选项不符合题意；
D、（﹣3a2b）2＝9a4b2，故本选项符合题意．
故选：D．
2．若m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣2＞n+2B．2m＞2nC．−m2＞n2D．m2＞n2
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、左边减2，右边加2，故A错误；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、左边除以﹣2，右边除以2，故C错误；
D、两边乘以不同的数，故D错误；
故选：B．
3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【考点】平行线的性质．
【分析】作BD∥AE，如图，利用平行线的传递性得到BD∥CF，再根据平行线的性质由BD∥AE得到∠ABD＝∠A＝120°，则∠DBC＝30°，然后利用BD∥CF求出∠C．
【解答】解：作BD∥AE，如图，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∵BD∥AE，
∴∠ABD＝∠A＝120°，
∴∠DBC＝150°﹣120°＝30°，
∵BD∥CF，
∴∠C+∠DBC＝180°，
∴∠C＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
4．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（ ）
A．1B．5C．﹣1D．﹣5
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】先分解，再对比求出a．
【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．
∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．
∴a＝1．
故选A．
5．下列命题中共有几个真命题（ ）
①各边相等的两个多边形一定全等；
②三角形的三个内角中至少有两个锐角；
③三角形的内角大于它的外角；
④同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】根据全等图形的概念、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：①各边相等的两个多边形不一定全等，故本小题说法是假命题；
②三角形的三个内角中至少有两个锐角，本小题说法是真命题；
③三角形的内角大于与它不相邻的外角，故本小题说法是假命题；
④两直线平行，同旁内角互补，故本小题说法是假命题；
故选：A．
6．根据下列条件不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°D．AB＝3，AC＝4，∠C＝5°
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．符合全等三角形的判定定理SSS，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
B．符合全等三角形的判定定理SAS，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
C．符合两直角三角形全等的判定定理HL，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的△ABC，故本选项符合题意；
故选：D．
7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ）
A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2
【考点】平方差公式；规律型：数字的变化类；多项式乘多项式．
【分析】先根据规律求x的值，再求代数式的值．
【解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．
∴x6﹣1＝0．
∴x6＝1．
∴（x3）2＝1．
∴x3＝±1．
∴x＝±1．
当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．
当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．
故选：D．
8．如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的有（ ）个
①当α＝15°时，DC∥AB；②当OC⊥AB时，α＝45°；③当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°；④整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
A．1B．2C．3D．4
【考点】旋转的性质；平行线的判定与性质；直角三角形的性质．
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况分别计算出夹角即可；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD、OA和CD、OB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．
【解答】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，
∴∠OMN＝∠C，
∴DC∥AB，
故①正确；
当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，
∴α＝45°或225°，
故②错误；
当边OB与边OD在同一直线上时，设CD与AB交点为E，分以下两种情况，
（1）OB与OD重合时，如下图
此时∠EBO＝∠ABO＝45°，∠EDB＝180°﹣∠ODC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠E＝180°﹣∠EBO﹣∠EDB＝180°﹣45°﹣120°＝15°，
（2）OB与OD在同一直线上且不重合时，如下图，
此时∠∠EBD＝45°，∠EDB＝180°﹣∠ODC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠E＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB＝180°﹣45°﹣120°＝15°，
故③正确；
整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，故有AB和CD、OA和CD、OB和CD存在平行，还有AB与OC，OD分别平行，根据图形的对称性可判断有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，
故④正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
【考点】命题与定理．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”，
故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形．
10．若am＝8，an＝2，则am﹣n＝ 4 ．
【考点】同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的除法法则求解．
【解答】解：am﹣n=aman=8÷2＝4．
故答案为：4．
11．已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y＝ 5﹣3x ．
【考点】解二元一次方程．
【分析】先用含有x的式子表示t，然后代入y＝3t﹣1中，直接求解．
【解答】解：∵x＝2﹣t，
∴t＝2﹣x，
代入y＝3t﹣1得，y＝3（2﹣x）﹣1＝5﹣3x，
即y＝5﹣3x．
故答案为：5﹣3x．
12．一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 ﹣3＜a≤﹣2 ．
【考点】一元一次不等式的整数解；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先根据数轴写出不等式的解集，再根据该不等式有两个负整数解，可以写出这两个负整数，从而可以得到a的取值范围．
【解答】解：由数轴可得，
x≥a，
∵该不等式有两个负整数解，
∴这两个负整数解是﹣1，﹣2，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故答案为：﹣3＜a≤﹣2．
13．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 2＜x≤4 ．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意得：3(3x−2)−2≤283[3(3x−2)−2]−2＞28，
解得：2＜x≤4，
故答案为：2＜x≤4．
14．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△DEF，利用割补法可得阴影部分的面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
在△BAF和△EDF中，
∠BAD=∠D∠AFB=∠DFEBF=EF，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△DEF，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形ACEF+S△AFB＝S△ACD=12⋅AC⋅AD=12×6×8=24．
故答案为：24．
15．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ﹣2021 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减得出m+n＝﹣1，将m2＝n+2021两边乘以m，n2＝m+2021两边乘以n再相加便可得出．
【解答】解：将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减，
得m2﹣n2＝n﹣m，
（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），
m+n＝﹣1，
解法一：
将m2＝n+2021两边乘以m，得m³＝mn+2021m①，
将n2＝m+2021两边乘以n，得n³＝mn+2021n②，
由①+②得：m³+n³＝2mn+2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021×（﹣1）＝﹣2021．
故答案为﹣2021．
解法二：
∵m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），
∴m2﹣n＝2021，n2﹣m＝2021（m≠n），
∴m3﹣2mn+n3
＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2021m+2021n
＝2021（m+n）
＝﹣2021，
故答案为﹣2021．
16．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为 ①②④⑤ ．（填写序号）
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF＝PG＝PH，
∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD与△PGE中，∠DFP=∠EGPPF=PG∠DPF=∠EPG，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中，BP=BPPF=PH，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD＝AE，③不正确；
故答案为：①②④⑤．
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1）计算−12022+(π−3)0+(12)−1；
（2）（﹣a）3•a2+（2a4）2÷a3．
【考点】整式的除法；零指数幂；负整数指数幂；有理数的减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+2
＝2；
（2）原式＝﹣a5+4a8÷a3
＝﹣a5+4a5
＝3a5．
18．分解因式：
（1）6x2﹣9xy+3x；
（2）xy2﹣x．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）直接提公因式3x可分解因式；
（2）先提公因式x，再根据平方差公式可解答．
【解答】解：（1）6x2﹣9xy+3x
＝3x（2x﹣3y+1）；
（2）xy2﹣x
＝x（y2﹣1）
＝x（y+1）（y﹣1）．
19．（1）解方程组x+2y=42x+3y=1；
（2）解不等式组3(x−1)＜5x+12x−4≤x−12，并写出它的最大整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解二元一次方程组；解一元一次不等式组．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大整数解即可．
【解答】解：（1）x+2y=4①2x+3y=1②，
①×2﹣②得：y＝7，
把y＝7代入①得：x+14＝4，
解得：x＝﹣10，
则方程组的解为x=−10y=7；
（2）3(x−1)＜5x+1①2x−4≤x−12②，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤73，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤73，
则不等式组最大整数解为2．
20．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b=12．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2＝2ab，
当a＝﹣3，b=12时，原式＝﹣3．
21．如图，在△ABC中，点E是AC上一点，AE＝AB，过点E作DE∥AB，且DE＝AC．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝76°，∠ADE＝32°，∠ECD＝52°，求∠CDE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠AED，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠EAD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠AED，
在△ABC和△EAD中，AE=AB∠BAC=∠AEDDE=AC，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△EAD，
∴∠B＝∠EAD＝76°，
由三角形的外角性质得，∠CED＝∠EAD+∠ADE＝76°+32°＝108°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣108°﹣52°＝20°．
22．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，根据“如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
依题意得：3x+2y=56x+4y=32，
解得：x=16y=4．
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，
依题意得：16m+4（100﹣m）≤1000，
解得：m≤50．
答：甲种工具最多购买50件．
23．【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
（1）方法一可表示为 12ab+12ab+12c2 ；
方法二可表示为 12（a+b）2 ；
（2）根据方法一和方法二，你能得出a，b，c之间的数量关系是 c2＝a2+b2 （等式的两边需写成最简形式）；
（3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为 10 ．
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ．（等号两边需化为最简形式）
（5）已知2m﹣n＝4，mn＝2，利用上面的规律求8m3﹣n3的值．
【考点】勾股定理；认识立体图形；几何体的表面积．
【分析】（1）分两种方法表示出面积即可；
（2）把（1）中的式子整理可得答案；
（3）把数值代入（2）中得到的结论即可；
（4）分两种方法表示出体积即可；
（5）根据（4）的等式代入数值可得答案．
【解答】解：（1）方法一可表示为：12ab+12ab+12c2；
方法二可表示为：12（a+b）2．
故答案为：12ab+12ab+12c2；12（a+b）2．
（2）∵12ab+12ab+12c2=12（2ab+c2），
12（a+b）2=12（2ab+a2+b2），
∴12（2ab+c2）=12（2ab+a2+b2），
∴c2＝a2+b2．
故答案为：c2＝a2+b2．
（3）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，
∴c＝10．
故答案为：10．
（4）方法一可表示为：（a+b）3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（5）由（4）可得：
（2m﹣n）3＝8m3﹣12m2n+6mn2﹣n3＝8m3﹣n3﹣6mn（2m﹣n），
∵2m﹣n＝4，mn＝2，
∴64＝8m3﹣n3﹣6×2×4，
∴8m3﹣n3＝64+48＝112．
24．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒．
（1）CP的长为 （10﹣4t） cm（用含t的代数式表示）；
（2）若存在某一时刻t，使得△EBP和△PCQ同时为等腰直角三角形时，求t与a的值．
（3）若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，求t与a的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据PC＝BC﹣PB计算即可．
（2）根据等腰直角三角形的性质构建方程求解即可．
（3）分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答．
【解答】解：（1）PC＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm，
故答案为（10﹣4t）．
（2）当△BPE是等腰直角三角形时，BE＝BP＝6cm，
∴t=64=1.5，
当△PCQ是等腰直角三角形时，PC＝CQ＝10﹣6＝4（cm），
∴a=41.5=83
综上所述，t＝1.5，a=83．
（2）当△BPE≌△CPQ时，
BP＝PC，BE＝CQ，
即4t＝10﹣4t，at＝6，
解得t=54，a＝4.8
当△BPE≌△CQP时，
BP＝CQ，BE＝PC，
即4t＝at，10﹣4t＝6，
解得t＝1，a＝4．
25．如图，MN∥GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO＝116°，∠OBH＝144°．
（1）∠AOB＝ 100 °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB＝35°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE＝n∠OAE，∠HBF＝n∠OBF，且∠AFB＝60°，求n的值．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）过O作OP∥MN，由MN∥OP∥GH，得∠NAO+∠POA＝180°，∠POB+∠OBH＝180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH＝360°，故∠AOB＝100°；
（2）过C作CE∥MN，过D作DF∥MN，由MN∥CE∥DF∥GH，得∠NAC＝∠ACE，∠ECD＝∠CDF，∠FDB＝∠DBG，而AC平分∠NAO，BD平分∠OBG，∠NAO＝116°，∠OBH＝144°，即得∠ACE＝∠NAC=12∠NAO＝58°，∠FDB＝∠DBG=12∠OBG=12（180°﹣∠OBH）＝18°，根据∠CDB＝35°，得∠CDF＝∠CDB﹣∠FDB＝17°＝∠ECD，即得∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝75°；
（3）设BF交MN于T，由∠NAO＝116°，得∠MAO＝64°，故∠MAE=nn+1×64°＝∠FAT，同理∠OBH＝144°，∠HBF＝n∠OBF，得∠FBH=nn+1×144°，从而∠FTN＝∠FBH=nn+1×144°，又∠FTN＝∠F+∠FAT，得nn+1×144°＝60°+nn+1×64°，即得n＝3．
【解答】解：（1）过O作OP∥MN，如图：
∵MN∥GH，
∴MN∥OP∥GH，
∴∠NAO+∠POA＝180°，∠POB+∠OBH＝180°，
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH＝360°，
∵∠NAO＝116°，∠OBH＝144°，
∴∠AOB＝360°﹣116°﹣144°＝100°，
故答案为：100．
（2）过C作CE∥MN，过D作DF∥MN，如图：
∵MN∥GH，
∴MN∥CE∥DF∥GH，
∴∠NAC＝∠ACE，∠ECD＝∠CDF，∠FDB＝∠DBG，
∵AC平分∠NAO，BD平分∠OBG，∠NAO＝116°，∠OBH＝144°，
∴∠ACE＝∠NAC=12∠NAO＝58°，∠FDB＝∠DBG=12∠OBG=12（180°﹣∠OBH）＝18°，
∵∠CDB＝35°，
∴∠CDF＝∠CDB﹣∠FDB＝17°＝∠ECD，
∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝75°；
（3）设BF交MN于T，如图：
∵∠NAO＝116°，
∴∠MAO＝64°，
∵∠MAE＝n∠OAE，
∴∠MAE=nn+1×64°＝∠FAT，
∵∠OBH＝144°，∠HBF＝n∠OBF，
∴∠FBH=nn+1×144°，
∵MN∥GH，
∴∠FTN＝∠FBH=nn+1×144°，
∵∠FTN＝∠F+∠FAT，
∴nn+1×144°＝60°+nn+1×64°，
解得n＝3
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