人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展一：用导数研究曲线的切线问题的十种类型-直击高考考点归纳-讲义

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拓展一：用导数研究曲线的切线问题的十种类型 用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。 导数的几何意义： 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即（为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 注：曲线在点处的切线是指P为切点，斜率为的切线，是唯一的一条切线。但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。 2、求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 已知切点，求y＝f (x)过点P的切线方程 求曲线在处切线的步骤： ◆先求，即曲线在处切线的斜率． ◆再求，则切线过点； ◆最后由点斜式写出直线方程：． 特别的，如果在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：． （2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． (6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 考点一 求曲线切线的斜率 1．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）曲线在点处的切线的斜率为____________． 2．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）曲线在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022秋·湖南岳阳·高二校联考期中）函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ． 考点二 曲线在某点处的切线问题 已知曲线和切线斜率，求切点坐标 5．（2022秋·湖南邵阳·高二统考期末）已知曲线上过切点的一条切线的斜率为1，则___________. 6．（2023秋·江苏·高二统考期末）曲线的一条切线的斜率为（为自然对数的底数），该切线的方程为 ____． 7．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（    ） A．7 B． C． D．4 8．（2022秋·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________． 已知切点和切线斜率，求曲线 9．（2022·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考一模）设曲线在点处的切线方程为，则___________. 10．（山西省部分学校2023届高二上学期期末数学试题）已知函数的图象在点处的切线斜率为，则______. 11．（2022秋·山西·高二校联考阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．0 C．－1 D．e 12．（2022秋·河南安阳·高二安阳一中校考期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 已知曲线和切点，求切线方程 13．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，则曲线在处的切线方程为__________. 14．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）设函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2022秋·福建福州·高二校考期末）设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2022秋·福建·高二福建师大附中校考阶段练习）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___． 17．（2023·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S． 考点三 过某点的曲线的切线问题 18．（2022秋·江苏南通·高二期末）已知函数，则曲线经过点的切线方程是______． 19．（2022秋·安徽·高二石室中学校联考阶段练习）过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 20．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_________． 21．（2022秋·江苏·高二校联考阶段练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 22．（2022秋·广东广州·高二校考期中）函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则______. 考点四 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围) 23．（2022秋·广东肇庆·高二统考阶段练习）已知直线与曲线相切，则_________. 24．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 25．（2022秋·河北衡水·高二校考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A． B． C． D． 26．（2022秋·陕西宝鸡·高二校考阶段练习）已知曲线在点处的切线方程为，则_____ 27．（2022秋·四川泸州·高二校考阶段练习）已知直线与曲线相切，则的最小值为________. 考点五 两条切线平行、垂直问题 28．（2022秋·黑龙江大庆·高二校考阶段练习）若曲线在处的切线平行于x轴，则实数_____________． 29．（2022春·贵州贵阳·高二校联考期末）若函数的图像在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 30．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______． 31．（2022秋·安徽安庆·高二校考阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（2022秋·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（    ） A． B． C． D． 33．（2022秋·浙江·高二统考期中）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 考点六 求切线倾斜角的取值范围 34．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）曲线，在点处的切线的倾斜角为____________. 35．（2022·全国·高二假期作业）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．. 36．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 37．（2022·高二课时练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围． 38．（2022秋·湖南岳阳·高二校考阶段练习）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______. 39．（2022·贵州·校联考模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七 探究曲线的切线的条数 40．（2022秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数，不论为何值，曲线均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是_________． 41．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______. 42．（2022秋·湖南长沙·高二宁乡一中校考期中）过点可以作两条直线与曲线相切，则实数a的取值范围是______． 43．【多选】（2022秋·辽宁·高二本溪高中校联考阶段练习）若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 44．（2022·四川南充·高二统考期中）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当时，可作两条切线，则b的值为 B．当，时，可作两条切线 C．当，时，有且仅有一条切线 D．当时，可作三条切线，则 45．（2022秋·四川成都·高二校考期中）过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为______． 46．（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点八 两曲线的公切线问题 47．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 48．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 49．（2022·广东肇庆·校考模拟预测）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________. 50．（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）若存在直线与曲线，都相切，则的范围是__________. 51．（2023·全国·高二专题练习）已知，，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为 A． B． C． D． 52．（2022秋·江西抚州·高二金溪一中校考阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 53．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第一中学校考期中）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________. 54．（2022春·山东德州·高二统考期末）已知函数，． (1)若的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间； (2)当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值． 考点九 满足条件的切线是否存在的问题 55．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知函数． (1)若m＝－4，求的极值． (2)是否存在非零实数m，使得直线与曲线相切？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 56．（2022秋·辽宁辽阳·高二统考阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性． (2)试问曲线是否存在经过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，说明你的理由． 考点十 与曲线切线方程有关的最值问题 57．（2022秋·云南昆明·高二昆明一中校考阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 58．（2022秋·陕西宝鸡·高二宝鸡中学校考阶段练习）已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________ 59．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线上，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 60．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．e 61．（2022秋·北京·高二北大附中校考阶段练习）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 62．（2022秋·江苏·高二校联考阶段练习）设，，则的最小值为__________．