人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展七：导数双变量问题的7种考法总结-直击高考考点归纳-讲义

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拓展七：导数双变量问题7种考法总结 知识点1 导数的双变量问题 导数中有一类问题涉及到两个变量，例如 m 和 n、a和b 、和。显然涉及两个变量的问题我们是不会处理的，如何把两个变量转化为一个变量就成了我们问题解决的关键。 方法一：换元法：也是最核心、最常见的方法。就是将式子齐次化，化成形如或的函数，进行了齐次化后可以令或者作为单元，这样就达到了减元的目的。 方法二：一般可以通过联立的等式，通过对两式进行相加（相减）等操作，对所求式 等进行化简。 方法三：消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出。 方法四：构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了 的单调性问题。 还有其他的一些方法技巧性较强，我们在后面的题目中进行详细剖析。 如：形如 的函数，可结合图像构造函数的切线方程，求斜率； 知识点2 参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立问题 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 考点一 利用比值换元 1．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 2．（2023·四川宜宾·高三统考期中）已知函数，在定义域内有两个不同的极值点 (1)求的取值范围； (2)求证： 3．（2023秋·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求的取值范围. （2）设的两个极值点为，证明 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，证明： 考点二 利用差值换元 6．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，证明：. 7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数． （1）若，讨论的单调性； （2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：． 8．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同零点，求证：. 9．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若（其中），证明：； 考点三 利用整体换元 10．（2022·全国·高三专题练习）若，令，则的最小值属于（    ） A． B． C． D． 11．（2022秋·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________. 考点四 消元 12．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知函数，若函数在定义域上有两个极值点，，而且. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，在定义域上有两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证: 15．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若存在两个极值点，证明：. 16．（2023·陕西铜川·校考一模）已知函数． (1)若存在使得成立，求a的取值范围； (2)设函数有两个极值点，且，求证：． 考点五 极值点偏移 17．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数． (1)证明：若，则； (2)证明：若有两个零点，，则． 18．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数，且 (1)求实数的值 (2)若关于的方程有个不同的实数根，，求证：． 19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若存在，，使得，则． 20．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，证明：. 21．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有两个不相等的实数根，证明：． 考点六 利用同构转化 22．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意的，都有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最大值为______． 24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______. 26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围__________. 27．（2022秋·浙江杭州·高三统考期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，函数，且，，，求的取值范围． 考点七 任意性和存在性问题 28．（2023春·山西太原·高二太原市实验中学校考期中）已知函数，，当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 29．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考开学考试）已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为_____． 30．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，，且存在，，使得，求实数t的取值范围． 31．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）设函数. （1）求函数的递增区间； （2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围.