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教科版高中物理选择性必修第二册第2章素养培优课4电磁感应中的电路及图像问题学案
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这是一份教科版高中物理选择性必修第二册第2章素养培优课4电磁感应中的电路及图像问题学案，共19页。
素养培优课(四) 电磁感应中的电路及图像问题 考点1 电磁感应中的电路问题 1．电磁感应中电路知识的关系图 2．解决电磁感应中的电路问题三部曲 【典例1】 在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 000匝，横截面积S＝20 cm2，螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF。在一段时间内，垂直穿过螺线管的磁场的磁感应强度B的方向如图甲所示，大小按如图乙所示的规律变化，则下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A．螺线管中产生的感应电动势为1.2 V B．闭合S，电路中的电流稳定后，电容器下极板带负电 C．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为2.56×10-2 W D．S断开后，流经R2的电量为1.8×10-2 C C [根据法拉第电磁感应定律：E＝nΔΦΔt＝nSΔBΔt，解得E＝0.8 V，A错误；根据楞次定律可知，螺线管的感应电流盘旋而下，则螺线管下端是电源的正极，电容器下极板带正电，B错误；根据闭合电路欧姆定律，有：I＝ER1+R2+r＝0.08 A，根据P＝I2R1得，电阻R1的电功率P＝2.56×10-2 W，C正确；S断开后，流经R2的电量即为S闭合时电容器极板上所带的电量Q，电容器两极板间的电压为：U＝IR2＝0.4 V，流经R2的电量为Q＝CU＝1.2×10-5 C，D错误。] (1)“电源”的确定方法：切割磁感线的导体(或磁通量发生变化的闭合线圈)相当于“电源”，该部分，导体(或线圈)的电阻相当于电源的“内阻”。 (2)电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。 [跟进训练] 1．法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。实验装置的示意图如图所示，两块面积均为S的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d。水流速度处处相同，大小为v，方向水平。金属板与水流方向平行。地磁场磁感应强度的竖直分量为B，水的电阻率为ρ，水面上方有一阻值为R的电阻通过包裹材料绝缘的导线和电键K连接到两金属板上，忽略边缘效应，求： (1)该发电装置的电动势； (2)通过电阻R的电流强度； (3)电阻R消耗的电功率。 [解析] (1)由法拉第电磁感应定律，有E＝Bdv。 (2)两金属板间河水的电阻r＝ρdS 由闭合电路欧姆定律，有I＝Er+R＝BdvSρd+SR。 (3)由电功率公式P＝I2R，得P＝BdvSρd+SR2R。 [答案] (1)Bdv (2)BdvSρd+SR (3)BdvSρd+SR2R 考点2 电磁感应中的图像问题 1．电磁感应中常见的图像问题 2．处理图像问题要做到“四明确、一理解” 【典例2】 (多选)如图所示，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计。虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知PQ进入磁场时加速度恰好为零。从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是( ) A B C D AD [设PQ进入磁场匀速运动的速度为v，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨宽度为L，两根导线棒的总电阻为R； 根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得PQ进入磁场时电流I0＝BLvR保持不变，根据右手定则可知电流方向Q→P； 如果PQ离开磁场时MN还没有进入磁场，此时电流为零；当MN进入磁场时也是匀速运动，通过PQ的感应电流大小不变，方向相反； 如果PQ没有离开磁场时MN已经进入磁场，此时电流为零，当PQ离开磁场时MN的速度大于v，安培力大于重力沿斜面向下的分力，电流逐渐减小，通过PQ的感应电流方向相反；故A、D正确，B、C错误。] 【典例3】 将一段导线绕成图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内。回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中。回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示。用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图像是( ) 甲 乙 A B C D B [根据B-t图像可知，在0～T2时间内，B-t图线的斜率为负且为定值，根据法拉第电磁感应定律E＝nΔBΔtS可知，该段时间圆环区域内感应电动势和感应电流是恒定的，由楞次定律可知，ab中电流方向为b→a，再由左手定则可判断ab边受到向左的安培力，且0～T2时间内安培力恒定不变，方向与规定的正方向相反；在T2～T时间内，B-t图线的斜率为正且为定值，故ab边所受安培力仍恒定不变，但方向与规定的正方向相同，综上可知，B正确。] 电磁感应中图像选择类的两个常用方法 [跟进训练] 2．如图甲所示，在周期性变化的匀强磁场区域内有一垂直于磁场、半径为r＝1 m、电阻为R＝3.14 Ω的单匝金属圆线圈，若规定逆时针方向为电流的正方向，当磁场按图乙所示的规律变化时，线圈中产生的感应电流与时间的关系图像正确的是( ) 甲 乙 A B C D B [由题图乙知，0～1 s内，穿过磁场的磁感应强度的变化率ΔBΔt＝2 T/s，感应电动势E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtπr2，感应电流I＝ER＝ΔBΔt·πr2R＝2 A，由楞次定律知感应电流的方向为逆时针方向，为正值；1～3 s内，穿过磁场的磁感应强度的变化率ΔBΔt＝1T/s，感应电流I′＝E'R＝ΔB'Δt'·πr2R＝1 A，由楞次定律知感应电流的方向为顺时针方向，为负值，故B正确。] 3．如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，图中能正确反映线圈中所产生的感应电流(逆时针方向为正)或其所受的安培力(向左为正方向)随时间变化的图像是( ) A B C D D [由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和离开磁场时，安培力总是阻碍物体的运动，方向始终向左，所以外力始终水平向右，因安培力的大小不同且在中间时最大，故D正确，C错误；当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时最大，故A、B错误。] 素养培优练(四) 电磁感应中的电路及图像问题 一、选择题 1．如图所示，两个互连的金属圆环中，小金属圆环的电阻是大金属圆环电阻的12，磁场垂直穿过大金属圆环所在区域。当磁感应强度随时间均匀变化时，在大金属圆环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为( ) A．12E B．13E C．23E D．E B [a、b间的电势差相当于路端电压，而小金属圆环电阻占电路总电阻的13，故Uab＝13E，B正确。] 2．(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10 Ω的电阻。一阻值R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是( ) A．导体棒ab中电流的流向为由b到a B．cd两端的电压为1 V C．de两端的电压为1 V D．fe两端的电压为1 V BD [由右手定则可知ab中电流方向为a→b，A错误；导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv＝2 V，ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de和cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝E2R×R＝Blv2＝1 V，B、D正确，C错误。] 3．用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2 m，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示。当磁场以10 T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间电势差是( ) A．Uab＝0.1 V B．Uab＝－0.1 V C．Uab＝0.2 V D．Uab＝－0.2 V B [题目中正方形线框的左半部分因磁通量变化而产生感应电动势，从而在线框中有感应电流产生，把左半部分线框看成电源，其电动势为E，内阻为r2，画出等效电路如图所示，则a、b两点间的电势差即为电源的路端电压，设正方形边长为l，且依题意知ΔBΔt＝10 T/s。由E＝ΔΦΔt得，E＝ΔBSΔt＝ΔBΔt·l22＝10×0.222 V＝0.2 V，所以U＝IR＝E r2+ r2·r2＝0.1 V，由于a点电势低于b点电势，故Uab＝－0.1 V，即B正确。] 4．如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场．当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为( ) A．2BRv B． 22BRv C． 24BRv D．324BRv D [设整个圆环的电阻为r，位于题图所示位置时，电路的外电阻是圆环总电阻的34，即磁场外的部分。而在磁场内切割磁感线的有效长度是 2R，其相当于电源，E＝B·2R·v，根据闭合电路欧姆定律可得U＝ 34rrE＝324BRv，D正确。] 5．如图所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面。环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为R2的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为( ) A．Bav3 B．Bav6 C．2Bav3 D．Bav A [导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·12v＝Bav，外电路电阻大小为 R2· R2 R2+ R2＝R4，由闭合电路欧姆定律有|UAB|＝E R2+ R4·R4＝13Bav，故A正确。] 6．如图所示，导体杆OP在作用于OP中点且垂直于OP的力作用下，绕O轴沿半径为r的光滑的半圆形框架在匀强磁场中以一定的角速度转动。磁场的磁感应强度为B，AO间接有电阻R，杆和框架电阻不计，回路中的总电功率为P，则( ) A．外力的大小为2Br PR B．外力的大小为Br PR C．导体杆旋转的角速度为2PRBr2 D．导体杆旋转的角速度为1Br2PR C [设导体杆转动的角速度为ω，则导体杆转动切割磁感线产生的感应电动势E＝12Br2ω，I＝ER，根据题述回路中的电功率为P，则P＝EI；设维持导体杆匀速转动的外力为F，则有P＝Fv2，v＝rω，联立解得F＝Br PR，ω＝2 PRBr2，C正确，A、B、D错误。] 7．如图甲所示，圆形线圈处于垂直于线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度的变化如图乙所示。在t＝0时磁感应强度的方向指向纸里，则在0～T4和T2～3T4的时间内，关于环中的感应电流i的大小和方向的说法，正确的是( ) 甲 乙 A．i大小相等，方向先是顺时针，后是逆时针 B．i大小相等，方向先是逆时针，后是顺时针 C．i大小不等，方向先是顺时针，后是逆时针 D．i大小不等，方向先是逆时针，后是顺时针 A [由i＝ER＝ΔBΔt·SR∝ΔBΔt＝k可知，在0～T4和T2～3T4时间内i的大小相等；0～T4和T2～3T4时磁场分别是垂直纸面向里减小和向外减小，由楞次定律和安培定则可知其方向分别为顺时针和逆时针，故A正确。] 8．如图所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里。abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为l，t＝0时刻，bc边与磁场区域边界重合。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿a→b→c→d→a的感应电流为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是图中的( ) A B C D B [开始时bc边进入磁场切割磁感线，根据右手定则可知，电流方向为逆时针，即为负方向，当bc边开始出磁场时，回路中磁通量减小，产生的感应电流为顺时针，方向为正方向，故A、C错误；开始时bc边进入磁场切割磁感线，根据感应电动势大小公式：E＝Blv可得，有效切割长度越来越长，感应电动势增大，故感应电流越来越大，且电流方向为负方向；当bc边开始出磁场时，根据感应电动势大小公式：E＝Blv可得，切割长度越来越长，感应电动势增大，故感应电流越来越大，且电流方向为正方向，故B正确，D错误。] 9．矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下处于静止状态，如图甲所示。磁感线方向与导线框所在平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图像如图乙所示。t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直线框平面向里，在0～4 s时间内，导线框ad边所受安培力随时间变化的图像(规定向左为安培力的正方向)可能是选项图中的( ) 甲 乙 A B C D D [根据题图乙，由E＝ΔΦΔt＝S ΔBΔt和I＝ER可知，在0～4 s时间内的感应电流大小恒定。根据楞次定律可知，在0～2 s时间内，电流方向为顺时针方向；在2～4 s时间内，电流方向为逆时针方向；根据左手定则可知ad边所受安培力方向：在0～1 s时间内向左，在1～2 s时间内向右，在2～3 s时间内向左，在3～4 s时间内向右，A、C错误；尽管电流大小不变，可Fad＝BLadI，B均匀变化时，安培力均匀变化，故B错误，D正确。] 10．某同学用粗细均匀的同一种导线制成“9”字形线框，放在有理想边界的匀强磁场旁，磁感应强度为B，如图所示。已知磁场的宽度为2d，ab＝bc＝cd＝da＝ce＝ef＝d，导线框从紧靠磁场的左边界以速度v向x轴的正方向匀速运动，设U0＝Bdv。则在选项中最能体现be两点间的电压随坐标x变化关系的图像是( ) A B C D A [x在0～d过程：线框进入磁场，bc、ce产生的感应电动势都是E＝Bdv＝U0，根据右手定则判断可知，b点的电势高于c点的电势，bc间的电势差为Ubc＝34E＝34U0，则be两点间的电压Ube＝Ubc＋E＝34U0＋U0＝74U0；在d～2d过程：线框完全进入磁场，磁通量不变，没有感应电流产生，ad、bc、ce产生的感应电动势都是E＝Bdv＝U0，根据右手定则判断可知，b点的电势高于e点的电势，be两点间的电压Ube＝2E＝2U0；在2d～3d过程：线框穿出磁场，ad边产生的感应电动势是E＝Bdv＝U0，根据右手定则判断可知，a点的电势高于d点的电势，则得b点的电势高于e点的电势。be两点间的电压Ube＝14E＝14U0，故A正确。] 二、非选择题 11．如图所示，在一个正方形金属线圈区域内，存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直，金属线圈所围的面积S＝200 cm2，匝数n＝1 000，线圈电阻r＝1.0 Ω。线圈与电阻R构成闭合回路，电阻R＝4.0 Ω。匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图所示，求： (1)在t＝2.0 s时刻，通过电阻R的感应电流的大小； (2)在t＝2.0 s时刻，电阻R消耗的电功率； (3)0～6.0 s内整个闭合电路中产生的热量。 [解析] (1)根据法拉第电磁感应定律，0～4.0 s时间内线圈中磁通量均匀变化，产生恒定的感应电流。 t1＝2.0 s时的感应电动势 E1＝nΔΦΔt1＝nB4-B0SΔt1 ＝1 000×0.4-0.2×200×10-44 V＝1 V 根据闭合电路欧姆定律，闭合回路中的感应电流I1＝E1R+r＝15 A＝0.2 A。 (2)在t＝2.0 s时刻，电阻R消耗的电功率P＝I12R＝0.16 W。 (3)根据焦耳定律，0～4.0 s内闭合电路中产生的热量Q1＝I12(r＋R)Δt1＝0.8 J 由题图图像可知，在4.0 s～6.0 s时间内，线圈中产生的感应电动势E2＝nΔΦ2Δt2＝nΦ6-Φ4Δt2 根据闭合电路欧姆定律，t2＝5.0 s时闭合回路中的感应电流I2＝E2R+r＝0.8 A 闭合电路中产生的热量Q2＝I22(r＋R)Δt2＝6.4 J 故0～6.0 s内整个闭合电路中产生的热量Q＝Q1＋Q2＝7.2 J。 [答案] (1)0.2 A (2)0.16 W (3)7.2 J 12．如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度。它的右臂挂着电阻为R的矩形线圈，匝数为n，线圈水平边长为L，处于方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场内。重力加速度为g。 (1)当线圈中的电流为I时，在t时间内通过线圈横截面的电荷量q； (2)当线圈中通过逆时针方向电流I时，调节砝码使两臂达到平衡。然后使电流反向，大小不变，这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再达到新的平衡。请用n、m、L、I计算出磁感应强度B的表达式； (3)剪断细线，矩形线圈由静止下落，经一段时间，线圈的上边离开磁感应强度为B1的匀强磁场前瞬间的速度为v。不计空气阻力，求线圈离开磁场前瞬间，感应电流的电功率P。 [解析] (1)根据I＝qt，可得q＝It。 (2)设电流方向未改变时，等臂天平的左盘内砝码质量为m1，右盘内的砝码和线圈的总质量为m2，则由等臂天平的平衡条件得m1g＝m2g－nBIL 电流方向改变后，同理可得(m＋m1)g＝m2g＋nBIL 两式相减得B＝mg2nIL。 (3)线圈上边刚离开磁场前产生的感应电动势为E＝nB1Lv 由闭合电路欧姆定律得I＝nB1LvR 线圈消耗的电功率为P＝I2R 解得P＝nB1Lv2R。 [答案] (1)It (2)mg2nIL (3)nB1Lv2R 13．如图(a)，磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全而设计的一种刹车形式。磁场很强的钕磁铁长条安装在轨道上，刹车金属片安装在过山车底部或两侧。简化为图(b)的模型，相距为l、水平放置的导轨处于磁感应强度大小为B、方向竖直的匀强磁场中，整个回路中的等效电阻为R，将过山车上的刹车金属片等效为一根金属杆AB，过山车的质量为m。不计轨道摩擦和空气阻力。 (1)求水平磁力刹车减速的加速度a大小随速度v变化的关系式； (2)试比较用磁力刹车和用摩擦力刹车的区别； (3)若过山车进入水平磁力刹车轨道开始减速时，速度为30 m/s，刹车产生的加速度大小为15 m/s2。过山车的速度v随位移x的变化规律满足：v＝v0－B2l2mRx(设水平轨道起点x＝0)。在图(c)中画出水平磁力刹车减速的加速度大小随速度变化的图线，并求出过山车在水平轨道上减速到10 m/s时滑行的距离。 (a) (b) (c) [解析] (1)金属杆AB在磁场中切割磁感线运动，产生感应电动势E＝Blv 根据牛顿第二定律F＝ma 可得a＝F安m＝BIlm＝B BlvRlm＝B2l2mRv。 (2)磁力刹车：速度越大，减速的加速度越大。 (当速度减到一定程度时，加速度过小，不足以阻止列车。依赖于磁场的基本属性，除电磁铁外，使用永磁体的刹车不需要电力)。摩擦力刹车：摩擦力恒定，与速度无关。存在不稳定性，比如下雨天刹车打滑等。 (3)水平磁力刹车减速的加速度大小随速度变化的图线如图所示 由金属杆减速的加速度a＝B2l2mRv 从图中可得斜率k＝B2l2mR＝0.5 s-1 代入v＝v0－B2l2mRx，可得x＝40 m。 [答案] (1)B2l2mRv (2)见解析 (3)见解析图 40 m 培优目标1．进一步理解公式E＝nΔΦΔt与E＝BLv的区别和联系，能够应用两个公式求解感应电动势。 2．掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路。 3．综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题。图像类型随时间变化的图像，如B-t图像、Φ-t图像、E-t图像、I-t图像 随位移变化的图像，如E-x图像、I-x图像(所以要先看坐标轴：哪个物理量随哪个物理量变化要弄清)问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像(画图像的方法) (2)由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量(用图像)应用知识四个规律左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律排除法定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。函数法根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
素养培优课(四) 电磁感应中的电路及图像问题 考点1 电磁感应中的电路问题 1．电磁感应中电路知识的关系图 2．解决电磁感应中的电路问题三部曲 【典例1】 在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 000匝，横截面积S＝20 cm2，螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF。在一段时间内，垂直穿过螺线管的磁场的磁感应强度B的方向如图甲所示，大小按如图乙所示的规律变化，则下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A．螺线管中产生的感应电动势为1.2 V B．闭合S，电路中的电流稳定后，电容器下极板带负电 C．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为2.56×10-2 W D．S断开后，流经R2的电量为1.8×10-2 C C [根据法拉第电磁感应定律：E＝nΔΦΔt＝nSΔBΔt，解得E＝0.8 V，A错误；根据楞次定律可知，螺线管的感应电流盘旋而下，则螺线管下端是电源的正极，电容器下极板带正电，B错误；根据闭合电路欧姆定律，有：I＝ER1+R2+r＝0.08 A，根据P＝I2R1得，电阻R1的电功率P＝2.56×10-2 W，C正确；S断开后，流经R2的电量即为S闭合时电容器极板上所带的电量Q，电容器两极板间的电压为：U＝IR2＝0.4 V，流经R2的电量为Q＝CU＝1.2×10-5 C，D错误。] (1)“电源”的确定方法：切割磁感线的导体(或磁通量发生变化的闭合线圈)相当于“电源”，该部分，导体(或线圈)的电阻相当于电源的“内阻”。 (2)电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。 [跟进训练] 1．法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。实验装置的示意图如图所示，两块面积均为S的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d。水流速度处处相同，大小为v，方向水平。金属板与水流方向平行。地磁场磁感应强度的竖直分量为B，水的电阻率为ρ，水面上方有一阻值为R的电阻通过包裹材料绝缘的导线和电键K连接到两金属板上，忽略边缘效应，求： (1)该发电装置的电动势； (2)通过电阻R的电流强度； (3)电阻R消耗的电功率。 [解析] (1)由法拉第电磁感应定律，有E＝Bdv。 (2)两金属板间河水的电阻r＝ρdS 由闭合电路欧姆定律，有I＝Er+R＝BdvSρd+SR。 (3)由电功率公式P＝I2R，得P＝BdvSρd+SR2R。 [答案] (1)Bdv (2)BdvSρd+SR (3)BdvSρd+SR2R 考点2 电磁感应中的图像问题 1．电磁感应中常见的图像问题 2．处理图像问题要做到“四明确、一理解” 【典例2】 (多选)如图所示，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计。虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知PQ进入磁场时加速度恰好为零。从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是( ) A B C D AD [设PQ进入磁场匀速运动的速度为v，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨宽度为L，两根导线棒的总电阻为R； 根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得PQ进入磁场时电流I0＝BLvR保持不变，根据右手定则可知电流方向Q→P； 如果PQ离开磁场时MN还没有进入磁场，此时电流为零；当MN进入磁场时也是匀速运动，通过PQ的感应电流大小不变，方向相反； 如果PQ没有离开磁场时MN已经进入磁场，此时电流为零，当PQ离开磁场时MN的速度大于v，安培力大于重力沿斜面向下的分力，电流逐渐减小，通过PQ的感应电流方向相反；故A、D正确，B、C错误。] 【典例3】 将一段导线绕成图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内。回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中。回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示。用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图像是( ) 甲 乙 A B C D B [根据B-t图像可知，在0～T2时间内，B-t图线的斜率为负且为定值，根据法拉第电磁感应定律E＝nΔBΔtS可知，该段时间圆环区域内感应电动势和感应电流是恒定的，由楞次定律可知，ab中电流方向为b→a，再由左手定则可判断ab边受到向左的安培力，且0～T2时间内安培力恒定不变，方向与规定的正方向相反；在T2～T时间内，B-t图线的斜率为正且为定值，故ab边所受安培力仍恒定不变，但方向与规定的正方向相同，综上可知，B正确。] 电磁感应中图像选择类的两个常用方法 [跟进训练] 2．如图甲所示，在周期性变化的匀强磁场区域内有一垂直于磁场、半径为r＝1 m、电阻为R＝3.14 Ω的单匝金属圆线圈，若规定逆时针方向为电流的正方向，当磁场按图乙所示的规律变化时，线圈中产生的感应电流与时间的关系图像正确的是( ) 甲 乙 A B C D B [由题图乙知，0～1 s内，穿过磁场的磁感应强度的变化率ΔBΔt＝2 T/s，感应电动势E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtπr2，感应电流I＝ER＝ΔBΔt·πr2R＝2 A，由楞次定律知感应电流的方向为逆时针方向，为正值；1～3 s内，穿过磁场的磁感应强度的变化率ΔBΔt＝1T/s，感应电流I′＝E'R＝ΔB'Δt'·πr2R＝1 A，由楞次定律知感应电流的方向为顺时针方向，为负值，故B正确。] 3．如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，图中能正确反映线圈中所产生的感应电流(逆时针方向为正)或其所受的安培力(向左为正方向)随时间变化的图像是( ) A B C D D [由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和离开磁场时，安培力总是阻碍物体的运动，方向始终向左，所以外力始终水平向右，因安培力的大小不同且在中间时最大，故D正确，C错误；当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时最大，故A、B错误。] 素养培优练(四) 电磁感应中的电路及图像问题 一、选择题 1．如图所示，两个互连的金属圆环中，小金属圆环的电阻是大金属圆环电阻的12，磁场垂直穿过大金属圆环所在区域。当磁感应强度随时间均匀变化时，在大金属圆环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为( ) A．12E B．13E C．23E D．E B [a、b间的电势差相当于路端电压，而小金属圆环电阻占电路总电阻的13，故Uab＝13E，B正确。] 2．(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10 Ω的电阻。一阻值R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是( ) A．导体棒ab中电流的流向为由b到a B．cd两端的电压为1 V C．de两端的电压为1 V D．fe两端的电压为1 V BD [由右手定则可知ab中电流方向为a→b，A错误；导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv＝2 V，ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de和cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝E2R×R＝Blv2＝1 V，B、D正确，C错误。] 3．用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2 m，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示。当磁场以10 T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间电势差是( ) A．Uab＝0.1 V B．Uab＝－0.1 V C．Uab＝0.2 V D．Uab＝－0.2 V B [题目中正方形线框的左半部分因磁通量变化而产生感应电动势，从而在线框中有感应电流产生，把左半部分线框看成电源，其电动势为E，内阻为r2，画出等效电路如图所示，则a、b两点间的电势差即为电源的路端电压，设正方形边长为l，且依题意知ΔBΔt＝10 T/s。由E＝ΔΦΔt得，E＝ΔBSΔt＝ΔBΔt·l22＝10×0.222 V＝0.2 V，所以U＝IR＝E r2+ r2·r2＝0.1 V，由于a点电势低于b点电势，故Uab＝－0.1 V，即B正确。] 4．如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场．当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为( ) A．2BRv B． 22BRv C． 24BRv D．324BRv D [设整个圆环的电阻为r，位于题图所示位置时，电路的外电阻是圆环总电阻的34，即磁场外的部分。而在磁场内切割磁感线的有效长度是 2R，其相当于电源，E＝B·2R·v，根据闭合电路欧姆定律可得U＝ 34rrE＝324BRv，D正确。] 5．如图所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面。环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为R2的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为( ) A．Bav3 B．Bav6 C．2Bav3 D．Bav A [导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·12v＝Bav，外电路电阻大小为 R2· R2 R2+ R2＝R4，由闭合电路欧姆定律有|UAB|＝E R2+ R4·R4＝13Bav，故A正确。] 6．如图所示，导体杆OP在作用于OP中点且垂直于OP的力作用下，绕O轴沿半径为r的光滑的半圆形框架在匀强磁场中以一定的角速度转动。磁场的磁感应强度为B，AO间接有电阻R，杆和框架电阻不计，回路中的总电功率为P，则( ) A．外力的大小为2Br PR B．外力的大小为Br PR C．导体杆旋转的角速度为2PRBr2 D．导体杆旋转的角速度为1Br2PR C [设导体杆转动的角速度为ω，则导体杆转动切割磁感线产生的感应电动势E＝12Br2ω，I＝ER，根据题述回路中的电功率为P，则P＝EI；设维持导体杆匀速转动的外力为F，则有P＝Fv2，v＝rω，联立解得F＝Br PR，ω＝2 PRBr2，C正确，A、B、D错误。] 7．如图甲所示，圆形线圈处于垂直于线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度的变化如图乙所示。在t＝0时磁感应强度的方向指向纸里，则在0～T4和T2～3T4的时间内，关于环中的感应电流i的大小和方向的说法，正确的是( ) 甲 乙 A．i大小相等，方向先是顺时针，后是逆时针 B．i大小相等，方向先是逆时针，后是顺时针 C．i大小不等，方向先是顺时针，后是逆时针 D．i大小不等，方向先是逆时针，后是顺时针 A [由i＝ER＝ΔBΔt·SR∝ΔBΔt＝k可知，在0～T4和T2～3T4时间内i的大小相等；0～T4和T2～3T4时磁场分别是垂直纸面向里减小和向外减小，由楞次定律和安培定则可知其方向分别为顺时针和逆时针，故A正确。] 8．如图所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里。abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为l，t＝0时刻，bc边与磁场区域边界重合。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿a→b→c→d→a的感应电流为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是图中的( ) A B C D B [开始时bc边进入磁场切割磁感线，根据右手定则可知，电流方向为逆时针，即为负方向，当bc边开始出磁场时，回路中磁通量减小，产生的感应电流为顺时针，方向为正方向，故A、C错误；开始时bc边进入磁场切割磁感线，根据感应电动势大小公式：E＝Blv可得，有效切割长度越来越长，感应电动势增大，故感应电流越来越大，且电流方向为负方向；当bc边开始出磁场时，根据感应电动势大小公式：E＝Blv可得，切割长度越来越长，感应电动势增大，故感应电流越来越大，且电流方向为正方向，故B正确，D错误。] 9．矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下处于静止状态，如图甲所示。磁感线方向与导线框所在平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图像如图乙所示。t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直线框平面向里，在0～4 s时间内，导线框ad边所受安培力随时间变化的图像(规定向左为安培力的正方向)可能是选项图中的( ) 甲 乙 A B C D D [根据题图乙，由E＝ΔΦΔt＝S ΔBΔt和I＝ER可知，在0～4 s时间内的感应电流大小恒定。根据楞次定律可知，在0～2 s时间内，电流方向为顺时针方向；在2～4 s时间内，电流方向为逆时针方向；根据左手定则可知ad边所受安培力方向：在0～1 s时间内向左，在1～2 s时间内向右，在2～3 s时间内向左，在3～4 s时间内向右，A、C错误；尽管电流大小不变，可Fad＝BLadI，B均匀变化时，安培力均匀变化，故B错误，D正确。] 10．某同学用粗细均匀的同一种导线制成“9”字形线框，放在有理想边界的匀强磁场旁，磁感应强度为B，如图所示。已知磁场的宽度为2d，ab＝bc＝cd＝da＝ce＝ef＝d，导线框从紧靠磁场的左边界以速度v向x轴的正方向匀速运动，设U0＝Bdv。则在选项中最能体现be两点间的电压随坐标x变化关系的图像是( ) A B C D A [x在0～d过程：线框进入磁场，bc、ce产生的感应电动势都是E＝Bdv＝U0，根据右手定则判断可知，b点的电势高于c点的电势，bc间的电势差为Ubc＝34E＝34U0，则be两点间的电压Ube＝Ubc＋E＝34U0＋U0＝74U0；在d～2d过程：线框完全进入磁场，磁通量不变，没有感应电流产生，ad、bc、ce产生的感应电动势都是E＝Bdv＝U0，根据右手定则判断可知，b点的电势高于e点的电势，be两点间的电压Ube＝2E＝2U0；在2d～3d过程：线框穿出磁场，ad边产生的感应电动势是E＝Bdv＝U0，根据右手定则判断可知，a点的电势高于d点的电势，则得b点的电势高于e点的电势。be两点间的电压Ube＝14E＝14U0，故A正确。] 二、非选择题 11．如图所示，在一个正方形金属线圈区域内，存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直，金属线圈所围的面积S＝200 cm2，匝数n＝1 000，线圈电阻r＝1.0 Ω。线圈与电阻R构成闭合回路，电阻R＝4.0 Ω。匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图所示，求： (1)在t＝2.0 s时刻，通过电阻R的感应电流的大小； (2)在t＝2.0 s时刻，电阻R消耗的电功率； (3)0～6.0 s内整个闭合电路中产生的热量。 [解析] (1)根据法拉第电磁感应定律，0～4.0 s时间内线圈中磁通量均匀变化，产生恒定的感应电流。 t1＝2.0 s时的感应电动势 E1＝nΔΦΔt1＝nB4-B0SΔt1 ＝1 000×0.4-0.2×200×10-44 V＝1 V 根据闭合电路欧姆定律，闭合回路中的感应电流I1＝E1R+r＝15 A＝0.2 A。 (2)在t＝2.0 s时刻，电阻R消耗的电功率P＝I12R＝0.16 W。 (3)根据焦耳定律，0～4.0 s内闭合电路中产生的热量Q1＝I12(r＋R)Δt1＝0.8 J 由题图图像可知，在4.0 s～6.0 s时间内，线圈中产生的感应电动势E2＝nΔΦ2Δt2＝nΦ6-Φ4Δt2 根据闭合电路欧姆定律，t2＝5.0 s时闭合回路中的感应电流I2＝E2R+r＝0.8 A 闭合电路中产生的热量Q2＝I22(r＋R)Δt2＝6.4 J 故0～6.0 s内整个闭合电路中产生的热量Q＝Q1＋Q2＝7.2 J。 [答案] (1)0.2 A (2)0.16 W (3)7.2 J 12．如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度。它的右臂挂着电阻为R的矩形线圈，匝数为n，线圈水平边长为L，处于方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场内。重力加速度为g。 (1)当线圈中的电流为I时，在t时间内通过线圈横截面的电荷量q； (2)当线圈中通过逆时针方向电流I时，调节砝码使两臂达到平衡。然后使电流反向，大小不变，这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再达到新的平衡。请用n、m、L、I计算出磁感应强度B的表达式； (3)剪断细线，矩形线圈由静止下落，经一段时间，线圈的上边离开磁感应强度为B1的匀强磁场前瞬间的速度为v。不计空气阻力，求线圈离开磁场前瞬间，感应电流的电功率P。 [解析] (1)根据I＝qt，可得q＝It。 (2)设电流方向未改变时，等臂天平的左盘内砝码质量为m1，右盘内的砝码和线圈的总质量为m2，则由等臂天平的平衡条件得m1g＝m2g－nBIL 电流方向改变后，同理可得(m＋m1)g＝m2g＋nBIL 两式相减得B＝mg2nIL。 (3)线圈上边刚离开磁场前产生的感应电动势为E＝nB1Lv 由闭合电路欧姆定律得I＝nB1LvR 线圈消耗的电功率为P＝I2R 解得P＝nB1Lv2R。 [答案] (1)It (2)mg2nIL (3)nB1Lv2R 13．如图(a)，磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全而设计的一种刹车形式。磁场很强的钕磁铁长条安装在轨道上，刹车金属片安装在过山车底部或两侧。简化为图(b)的模型，相距为l、水平放置的导轨处于磁感应强度大小为B、方向竖直的匀强磁场中，整个回路中的等效电阻为R，将过山车上的刹车金属片等效为一根金属杆AB，过山车的质量为m。不计轨道摩擦和空气阻力。 (1)求水平磁力刹车减速的加速度a大小随速度v变化的关系式； (2)试比较用磁力刹车和用摩擦力刹车的区别； (3)若过山车进入水平磁力刹车轨道开始减速时，速度为30 m/s，刹车产生的加速度大小为15 m/s2。过山车的速度v随位移x的变化规律满足：v＝v0－B2l2mRx(设水平轨道起点x＝0)。在图(c)中画出水平磁力刹车减速的加速度大小随速度变化的图线，并求出过山车在水平轨道上减速到10 m/s时滑行的距离。 (a) (b) (c) [解析] (1)金属杆AB在磁场中切割磁感线运动，产生感应电动势E＝Blv 根据牛顿第二定律F＝ma 可得a＝F安m＝BIlm＝B BlvRlm＝B2l2mRv。 (2)磁力刹车：速度越大，减速的加速度越大。 (当速度减到一定程度时，加速度过小，不足以阻止列车。依赖于磁场的基本属性，除电磁铁外，使用永磁体的刹车不需要电力)。摩擦力刹车：摩擦力恒定，与速度无关。存在不稳定性，比如下雨天刹车打滑等。 (3)水平磁力刹车减速的加速度大小随速度变化的图线如图所示 由金属杆减速的加速度a＝B2l2mRv 从图中可得斜率k＝B2l2mR＝0.5 s-1 代入v＝v0－B2l2mRx，可得x＝40 m。 [答案] (1)B2l2mRv (2)见解析 (3)见解析图 40 m 培优目标1．进一步理解公式E＝nΔΦΔt与E＝BLv的区别和联系，能够应用两个公式求解感应电动势。 2．掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路。 3．综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题。图像类型随时间变化的图像，如B-t图像、Φ-t图像、E-t图像、I-t图像 随位移变化的图像，如E-x图像、I-x图像(所以要先看坐标轴：哪个物理量随哪个物理量变化要弄清)问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像(画图像的方法) (2)由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量(用图像)应用知识四个规律左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律排除法定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。函数法根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
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