2024届上海市奉贤区高三一模考试数学试题及参考答案

这是一份2024届上海市奉贤区高三一模考试数学试题及参考答案，共9页。


一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．若，其中是虚数单位，则=_____________．
2．设集合，，则_____________．
3．曲线的渐近线方程为__________．
4．某公司生产的糖果每包标识质量是500，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过5克的可能性为，则的值为____________． （用含的代数式表达）
5．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为_____________．
6． 已知数列是各项为正的等比数列，，，则其前10项和 __________．
7．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，
则_____________．
9．设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为__________．
10．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处（如图所示），则 . （精确到）
11．已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____________．
12．已知正方体的棱长为1，，则
的最大值是____________．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．已知两个不同的平面和，为平面内的一条直线，则“”是“”的 （ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件 ； D．既非充分也非必要条件．
14． 函数在定义域上是 （ ）
A．严格增的奇函数； B．严格增的偶函数 ；
C．严格减的奇函数； D．严格减的偶函数．
15．若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（ ）
A．； B．； C．； D．．
16． 已知等差数列的前项和为，且关于正整数的不等式与不等式的解集均为．
命题：集合中元素的个数一定是偶数个；
命题：若数列的公差，且，则．
下列说法中正确的是（ ）
A．命题是真命题，命题是假命题； B．命题是假命题，命题是真命题；
C．命题是假命题，命题是假命题； D．命题是真命题，命题是真命题．
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知
（1）求角的大小；
（2）当，时，求边长和的面积．
18．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．
如图，已知四面体中，平面，．
（1）若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积；
（2）若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小．
19．某连锁便利店从年到年销售商品品种为种，从年开始，该便利店进行了全面升级，销售商品品种为种.下表中列出了从年到年的利润额.
（1）若某年的利润额超过万元，则该便利店当年会被评选为示范店；若利润额不超过万元，则该便利店当年不会被评选为示范店.试完成列联表，并判断商品品种数量与便利店是否为示范店有关？（显著性水平，）
（2）请根据年至年（剔除年的数据）的数据建立与的线性回归模型①；根据年至年的数据建立与的线性回归模型②.分别用这两个模型，预测年该便利店的利润额并说明这样的预测值是否可靠？（回归系数精确到，利润精确到万元）
回归系数与的公式如下：
20．已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆上有一动点，求的取值范围；
（3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
21．若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
（1）求证：函数不是“增函数”；
（2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
（3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
参考答案
一、填空题
1．； 2．；
3．； 4．；
5．； 6．；
7．； 8．；
9．； 10．；
11．； 12．
二、选择题（本大题满分18分，共4题，前两题各4分，后两题各5分）
13．B 14．A 15．C 16．B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（1）由正弦定理得
由于，得 2分
展开得
化简得， 2分
则
所以 2分
由正弦定理，得，
，因为，所以是锐角，即 2分
因为,
所以， 3分
所以 3分
18．（1）
为直角三角形 2分
为直角三角形 1分 为直角三角形
则是鳖臑 1 分
3分
（2）面
因为不可能是直角 1分
若，可以证得可得是二面角的平面角
所以二面角的平面角的大小为． 3分
若，可得是二面角的平面角，所以
所以二面角的平面角的正弦值为 3分
19．解：
（1）列联表为 3分
， 2分
可以判断商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关. 1分
（2）线性回归模型①：， 2分
当时，预测值为； 1分
线性回归模型②， 2分
当时，预测值为. 1分
模型①的预测不可靠，根据（1）可以知道商品品种与便利店的品质有关，影响了利润额，因此按照经济发展规律，应该用比较新的数据即品种为3000种的数据进行预测； 1分
模型②的预测不可靠，2022年可能因为受疫情影响或者其它不可因素，其利润额60.5为异常数据，应该剔除. 1分
20．（1）由题意，得，所以 2分
则椭圆的标准方程为 2分
（2） 设动点， 1分
， 1分
2分
所以的取值范围为 2分
显然直线的斜率存在，所以可以设设直线，联立得到
整理，得
则
则 2分
又直线与椭圆交于两点
化简得则 ① 1分

如果//，则 2分
设直线为，
整理得
要使得存在点，则
整理得② 1分
由①②式得，
则，解得 1分
所以当时，不存在点，使得// 1分
21．解：（1）取，则，因为
故函数不是“增函数”. 4分
（2）因为函数是“增函数”，故任意的，
有恒成立，
即恒成立 2分

所以恒成立.
又，，故，则
则，即. 4分
记，
根据题意，得可得方程的一个解 2分
再求
，令，
设， 故在上是严格增函数，
又因为，故在恒成立，故，
故在上是严格增函数； 所以是唯一解 3分
设,其中.
，由在上是严格增函数以及
得，
即
所以在上是严格增函数，
因为，则,故，得证. 3分
年份
利润额
/万元
品种为种
品种为种
总计
被评为示范店次数
未被评为示范店次数
总计
品种为种
品种为种
总计
被评为示范店次数
未被评为示范店次数
总计