2024上海闵行区高三上学期学业质量调研试题（一模）数学含答案

这是一份2024上海闵行区高三上学期学业质量调研试题（一模）数学含答案，共8页。试卷主要包含了；8等内容，欢迎下载使用。


考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．
2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1.已知集合，若，则实数________．
2.若，则=________.
3.若，则的最小值为________.
4.已知，则=________．
5.已知圆锥的底面周长为,母线长为，则该圆锥的侧面积为________.
6.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_____.
7.若将函数的图像向右平移个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则________．
8.已知,数列是公差为的等差数列，若的值最小，则________．
9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________．
10.若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为________．
11.已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________．
12.已知点在正方体的表面上，到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点的个数为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
14.某校读书节期间，共名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取人.下列说法正确的是（ ）
（A）高二和高三年级获奖同学共人 （B）获奖同学中金奖所占比例一定最低
（C）获奖同学中金奖所占比例可能最高 （D）获金奖的同学可能都在高一年级
15.已知复数、在复平面内对应的点分别为、,（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ）
（A） （B） （C）的周长 （D）的面积
16.已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“”是“”的充要条件；
②“对任意，都有”是“在上为严格增函数”的充要条件.
（A）①真命题；②假命题 （B）①假命题；②真命题
（C）①真命题；②真命题 （D）①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图,在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面,且,设分别为的中点.
(1)证明:直线平面；
(2)求直线与平面所成的角的正切值.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，角所对边的边长分别为，且.
(1)若,，求的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：
其中、均为正整数,.
（1）从这名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率；
（2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组、的值，使得事件与相互独立，并说明理由．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；
（3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知，．
（1）若为函数的驻点，求实数的值；
（2）若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由；
（3）若，是否存在等差数列，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．
参考答案与评分标准
一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．；
7．；8．；9．； 10．； 11．；12．.
二. 选择题 13．C； 14．D； 15．A； 16．C．
M
三. 解答题
17．(1) [证明]连接,为正方形且为的中点，
为的中点，又为中点，
. …………………………………2分
又不在平面上,平面，
平面. ………………………………………6分
(2) [解] ，,
为等腰直角三角形，
取中点,由等腰三角形性质可知, ………………………………8分
又平面平面，平面平面，
, ……………………………………………10分
连接,则为直线与平面所成的角， ………………………12分
由，可得,
直线与平面所成的角的正切值为. ……………………………14分
18．[解] (1)将,带入条件中可得， ………………………2分
由余弦定理可得； …………………………6分
(2) ，由正弦定理可得, ………8分
,
,， ……………………10分
,所以,即, …………………12分
又因为为锐角三角形，,.………………14分
19．[解]（1）从这名小青荷中随机抽取两名的方法数为，……………………2分
抽取的两名都不会说日语的方法数为， ………………………………4分
因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为； ………………6分
（抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为 给2分）
（2）当、时，事件与相互独立， ……………………………8分
理由如下：
从这些小青荷中随机抽取一名，事件发生的概率，
事件发生的概率， …………………………………10分
事件与同时发生的概率， …………………………12分
，
因此，事件与相互独立. …………………………………14分
（其它答案：当、时，，，；
当、时，，，.）
（2）[另解] 从这些小青荷中随机抽取一名，事件发生的概率，
事件发生的概率， …………………………8分
事件与同时发生的概率， …………………………10分
若事件与相互独立，则，
整理得， …………………………12分
所以可取、或、或、. ……………14分
(学生只需写出三种情况中的一种即可)
20．[解]（1）联立，由点在第一象限，得， …………………………2分
由，得，所以； ……4分（2）曲线和关于直线对称，
取关于的对称点，则在曲线上， ………………6分
，
又因为，
所以只需求到上动点的距离的最小值，
令，则，………8分
当时，的最小值为，
所以（当，时）的最小值为．…10分
（3）由（1）可得
，（），
，（）， …………………………12分
因此当时，，
当时，， ………………………………………14分
由，得， ……………………………………………16分
解得． ……………………………………………18分21．[解]（1）由题意， …………………2分
由为函数的驻点，得，
因此； ……………………………………………4分
（2）当时，，
， ………………………………………………6分
原问题等价于是否存在，使得，
令
因为函数在区间 上是一段连续曲线，
且，， ……………………………………………8分
由零点存在定理，存在，使得，
即曲线存在切线与直线互相垂直； ……………………10分
（3）当时，，，
假设存在等差数列满足题意，
则，
即，
将代入上式得，，………………………12分
即，令，……………14分
则，
因此函数在上为严格减函数， …………………………………16分
由题意，，所以，即．
因此，不存在等差数列满足题目条件．……………18分
男生小青荷
女生小青荷
会说日语
8
12
会说韩语